2.1. 基底與矩陣表示

在第一講的開始, 我們就明確地指出: 線性代數是研究線性空間, 即向量空間、 模和其上的線性變換以及與之相關的問題的數學學科。這一講中, 將仔細討論向量空間。 關於向量空間有以下這些常規、 常用的定義。

A. $ S $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上的向量空間 $ {\mathcal V} $ 的部分集合, 如果將 $ {\mathcal V} $ 的加法與 $ {\mathbb F} $ 對 $ {\mathcal V} $ 的純量乘積限制在 $ S $ 上, $ S $ 也成為一個向量空間, 則稱 $ S $ 為 $ {\mathcal V} $ 的子空間。 我們用一個簡潔的方法來看這個定義: $ S $ 為 $ {\mathcal V} $ 的子空間若且唯若 \begin{equation} \label{eq:2.1.0} \alpha\,\vec u+\beta\,\vec v\in S,\quad \forall \,\,\,\vec u,\,\vec v\in S,\quad \forall \,\,\, \alpha,\,\beta\in {\mathbb F}. \end{equation} 首先, 若 $ S $ 為一向量空間, 則來自 $ {\mathcal V} $ 上的向量加法與純量乘積必須滿足封閉性而成為在 $ S $ 上的兩個二元運算, 故\eqref{eq:2.1.0}成立; 另一方面, 既然這兩個運算都是來自原來的向量空間 $ {\mathcal V}$, 所以, 加法的交換律、結合律、純量乘積與加法之間的分配律當然成立, 我們只要驗證在 $ S $ 上存在加法單位元素與反元素。在\eqref{eq:2.1.0}中取 $ \alpha=\beta= 0$, 則 $ \vec 0\in S$; 若令 $ \alpha=-1 $ 及 $ \beta= 0$, 則 $ -\vec u\in S$, 故 $ S $ 為一向量空間。

B. 若 $ {\mathcal V}_1,\,\ldots\, {\mathcal V}_n $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上的 $ n $ 個向量空間, 令 $$ {\mathcal V}=\big\{(\vec v_1,\,\ldots\,\vec v_n):\,\, \vec v_j\in {\mathcal V}_j, \quad j=1,\ldots, n\big\}, $$ 且在其上定義加法 $$ (\vec v_1,\,\ldots\,\vec v_n)+ (\vec u_1,\ldots,\vec u_n)=(\vec v_1+\vec u_1,\ldots,\vec v_n+\vec u_n), $$ $ {\mathbb F} $ 對 $ {\mathcal V} $ 的純量乘積為 $$ \alpha\,(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)= (\alpha\,\vec v_1,\ldots,\alpha\,\vec v_n), $$ 這裡 $ \alpha\in {\mathbb F}$, 則 $ {\mathcal V} $ 成為一個向量空間, 稱為向量空間 $ {\mathcal V}_1,\ldots, {\mathcal V}_n $ 的直和(direct sum), 記作 $$ {\mathcal V}={\mathcal V}_1\oplus\cdots\oplus {\mathcal V}_n. $$ 若 $ S_1 $ 是向量空間 $ {\mathcal V} $ 的一個子空間, 且有子空間 $ S_2 $, 使得 $ {\mathcal V}=S_1\oplus S_2 $, 則稱 $ S_2 $ 為 $ S_1 $ 的補空間 (complement)。記作 $ S_1^c $。 可證 $ {\mathcal V} $ 的任一子空間一定有補空間。

C. 向量空間 $ {\mathcal V} $ 中的一個(有限)非空部分集合 $ S $ 稱為線性獨立 (linearly independent), 如果由 $$ \alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_n\vec v_n=\vec 0 $$ 可導出 $ \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$, 這裡 $ \vec v_j\in {\mathcal V}_j$, $ \alpha_j\in {\mathbb F}$, $ j=1,\ldots, n $。 $ {\mathcal V} $ 一個部分集合如果不是線性獨立, 則稱為線性相依(linearly dependent)。 事實上, 我們可以將這個概念推廣到有無限個元素的部分集合上去: $ {\mathcal V} $ 為一向量空間, $ S\subset {\mathcal V}$, 若 $ S $ 中之任何有限個元素皆為線性獨立, 則集合 $ S $ 稱為線性獨立; 否則稱 $ S $ 為線性相依。

D. 我們稱向量空間 $ {\mathcal V} $ 的一個部分集合 $ S $ 生成(span) $ {\mathcal V}$, 如果 $ {\mathcal V} $ 中的每個向量可以寫成 $ S $ 中的一些向量的線性組合, 即對每個 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 可以寫成 $$ \vec v=\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_n\vec v_n$$ 這裡 $ \vec v_j\in S$, $ \alpha_j\in {\mathbb F}$, $ j=1,\ldots, n $。 若 $ S $ 為向量空間 $ {\mathcal V} $ 的一個部分集合, 在A.中我們已討論過, $ S $ 未必是 $ {\mathcal V} $ 的一個子空間; 考慮由 $ S $ 中的元素之線性組合的全體所組成的另一集合 $ \langle S\rangle$, 記作 $$ \langle S\rangle={\mbox {span}}(S)=\big\{\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_k\vec v_k: \,\,\alpha_j\in {\mathbb F}, \,\,\vec v_j\in S, \,\,k=1,2,\cdots\big\}. $$ 不難證明 $ \langle S\rangle $ 是 $ {\mathcal V} $ 中包含集合 $ S $ 最小的一個子空間。

E. 向量空間 $ {\mathcal V} $ 中的一個線性獨立且生成 $ {\mathcal V} $ 的部分集合, 稱為 $ {\mathcal V} $ 的基底。向量空間 $ {\mathcal V} $ 的基底的基數(cardinality)稱為 $ {\mathcal V} $ 的維數(dimension), 記作 $ {\mbox{dim}}({\mathcal V}) $。 當基底為有限集合時, 這就是基底中元素的個數。

這樣定義的基底是否存在? 這樣定義的維數是否合理? 我們有下面的命題。

命題2.1.1: 除了零空間 $ \{0\} $ 之外, 任意向量空間一定存在一組基底。

證明: 設 $ {\mathcal V} $ 是非零向量空間, $ {\mathcal V} $ 中線性獨立的部分集合的全體記作 $ {\mathcal A} $。 任取一個非零向量 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 令 $ S=\{\vec v\}$, 則 $ S $ 是 $ {\mathcal V} $ 中的一個線性獨立的部分集合, 故 $ {\mathcal A}\ne \emptyset $。 在 $ {\mathcal A} $ 中可按集合的包含關係 "$\subset $" 定義一個偏序(partially order), 若 $ I_1\subset I_2\subset \cdots $ 是 $ {\mathcal V} $ 中線性獨立部分集合的一條鏈, 則 $$ U=\cup_j\,I_j $$ 仍為 $ {\mathcal V} $ 中一個線性獨立的部分集合, 故任一條鏈必有上界。因此, 由Zorn 引理 (Zorn引理: 若 $ P $ 為一個偏序集合(partially ordered set), 每個鏈都有上界, 則 $ P $ 有極大元素), 我們知道 $ {\mathcal A} $ 必有極大元素, 即 $ {\mathcal V} $ 有極大線性獨立的部分集合 ${\mathcal B}$, 也就是說 $ {\mathcal B} $ 是線性獨立的, 但任意真包含 $ {\mathcal B} $ 的部分集合一定不是線性獨立的, 於是 $ {\mathcal B} $ 生成 $ {\mathcal V}$, 若不然, 必存在向量 $ \vec u\in {\mathcal V}\setminus {\mathcal B}$, 它不是 $ {\mathcal B} $ 中的向量的線性組合, 於是 $ {\mathcal B}\cup \{\vec u\} $ 是一個真包含 $ {\mathcal B} $ 的線性獨立的部分集合, 因而得到矛盾。這便證明了向量空間基底的存在性。

命題2.1.2: 當向量空間的基底為有限集合時, 這樣定義的維數是合理的。

證明: 我們先來證明如下的結果。 若 $ {\mathcal V} $ 是一向量空間, 向量 $ \vec v_1\,\ldots,\, \vec v_n $ 是線性獨立的, 而向量 $ \vec w_1\,\ldots,\, \vec w_m $ 生成 $ {\mathcal V}$, 因此推出 $ n\,\le \, m $。 先列出這兩個集合: $$ \big\{ \vec w_1,\ldots, \vec w_m\big\};\qquad \big\{\vec v_1,\ldots, \vec v_n\big\}. $$ 將後面的向量 $ \vec v_n $ 移到前一個集合, 成為 $$ \big\{\vec v_n,\, \vec w_1\,\ldots,\, \vec w_m\big\};\qquad \big\{\vec v_1,\ldots, \vec v_{n-1}\big\}. $$ 由於 $ \vec w_1,\ldots, \vec w_m $ 生成 $ {\mathcal V}$, 故 $ \vec v_n $ 可以寫成 $ \vec w_1,\ldots, \vec w_m $ 的線性組合, 故可以從 $ \vec w_j $, $ j=1,\ldots,m $ 中移走其中的一個, 我們不妨假設是 $ \vec w_1$, 這樣, $ \vec v_n,\,\vec w_2,\ldots, \vec w_m $ 仍然能生成 $ {\mathcal V}$; 因而得到新的兩個集合: $$ \big\{\vec v_n,\,\vec w_2\,\ldots,\, \vec w_m\big\};\qquad \big\{\vec v_1,\ldots, \vec v_{n-1}\big\}. $$ 我們繼續將後面的向量 $ \vec v_{n-1} $ 移到前一個集合, 成為 $$ \big\{\vec v_{n-1},\,\vec v_n,\, \vec w_2\,\ldots,\, \vec w_m\big\};\qquad \big\{\vec v_1,\ldots, \vec v_{n-2}\big\}. $$ 同樣理由可以從前面的集合中移走其中的一個, 我們不妨假設是 $ \vec w_2$, 這樣, $ \vec v_{n-1},\,\vec v_n,\,\vec w_3,\ldots, \vec w_m $ 仍然能生成 $ {\mathcal V}$; 因而得到新的兩個集合: $$ \big\{\vec v_{n-1},\,\vec v_n,\, \vec w_3,\ldots, \vec w_m\big\};\qquad \big\{\vec v_1,\ldots, \vec v_{n-2}\big\}. $$ 這個步驟可以一直進行下去, 直到所有的 $ \vec v_j$, $ j=1,\ldots, n$, 或所有的 $ \vec w_k$, $ k=1,\ldots, m $ 全部移完為止, 這一過程稱為對向量集合 $ \{\vec w_1,\ldots, \vec w_m\} $ 進行Steinitz替換。若所有的 $ \vec w_k$, $ k=1,\,\ldots\, m $ 首先移完, 即 $ m\lt n$, 則前一個集合只是後一個集合 $ \{\vec v_1,\ldots,\, \vec v_n\} $ 的一個真部分集合, 而這又生成 $ {\mathcal V}$, 這與 $ \vec v_1,\ldots, \vec v_n $ 是線性獨立相互矛盾, 故必須是 $ m\ge n $。 由此結果便得到: 若 $ {\mathcal V} $ 由有限個向量所生成, 則 $ {\mathcal V} $ 的任意兩個基底有相同的基數, 即在此情形下, 維數的定義是合理的, 命題因而證畢。

從上面的討論, 我們雖然只涉及有限維的向量空間, 但在線性代數中, 的確存在無限維的向量空間; 例如 $ L^2([0,2\pi])$, 定義在閉區間 $ [0,2\pi] $ 上所有平方可積函數所成的集合, 這是一個向量空間。 在富氏分析中我們知道 $ \{1,\cos(nx),\sin(nx)\}_{n\in {\mathbb N}} $ 為 $ C([0,2\pi]) $ 的一組基底。但在這五次的演講中, 我們只討論有限維的向量空間。

由命題2.1.2, 不難證出若 $ {\mathcal V} $ 是一 $ n $ 維的向量空間, 則 $ \{\vec v_1,\ldots,\vec v_n\} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一組基底之充分必要條件為 $ \{\vec v_1,\ldots,\vec v_n\} $ 是線性獨立。假設 $ \{\vec v_1,\ldots,\vec v_n\} $ 線性獨立, 故對任一 $ \vec u\in {\mathcal V}$, $ \{\vec v_1,\ldots,\vec v_n,\vec u\} $ 是線性相依, 因為 $ {\mbox{dim}}({\mathcal V})=n $。 故存在不全為零的數 $ \alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta\in {\mathbb F} $ 使得 $$ \sum_{j=1}^n\alpha_j\vec v_j+\beta\vec u=\vec 0 $$ 我們知 $ \beta\ne 0$, 否則 $ \sum_{j=1}^n \alpha_j\vec v_j=\vec 0$; 但是 $ \{\vec v_1,\ldots,\vec v_n\} $ 是線性獨立, 因此 $ \alpha_j=\vec 0$, $ j=1,\ldots,n $。 所以 $$ \vec u= -\frac{1}{\beta}\big(\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_n\vec v_n\big), $$ 即 $ \langle \{\vec v_1,\ldots,\vec v_n,\vec u\}\rangle={\mathcal V}$, 因此 $ \{\vec v_1,\ldots,\vec v_n\} $ 生成 $ {\mathcal V} $。

F. 若 $ {\mathcal W} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上的向量空間 $ {\mathcal V} $ 的子空間, $ \vec u,\,\vec v\in {\mathcal V}$, 若 $ \vec u-\vec v\in {\mathcal W}$, 則稱 $ \vec u $ 與 $ \vec v $ 同餘模 $ {\mathcal W} $ (congruent modulo $ {\mathcal W} $), 記作 $$ \vec u\,\cong\, \vec v,\quad {\mbox {mod}}\, {\mathcal W}. $$ 將所有與 $ \vec v $ 同餘的元素的全體記作 $ [\vec v]$, 換句話說, $ \vec u\in [\vec v] $ 若且唯若 $ \vec u\,\cong\, \vec v$, $ {\mbox {mod}}\, {\mathcal W} $。 稱 $ [\vec v] $ 為向量空間 $ {\mathcal V} $ 中 $ {\mathcal W} $ 的一個陪集(coset)。 同餘是一個等價關係, 它將 $ {\mathcal V} $ 進行劃分, 而 $ [\vec v] $ 是塊。 若 $ \widetilde{\mathcal V}=\{\vec v\in {\mathcal V}$ 且 $\vec v$ 只在唯一的陪集中$\}$ 則陪集的全體可記作 $$ {\mathcal V}/{\mathcal W}=\big\{\vec v+{\mathcal W}:\,\, \vec v\in \widetilde {\mathcal V}\big\}. $$ 在 $ {\mathcal V}/{\mathcal W} $ 中定義的加法為 $$ (\vec v+{\mathcal W})+(\vec u+{\mathcal W})= (\vec v+\vec u)+{\mathcal W}, $$ $ {\mathbb F} $ 對 $ {\mathcal V}/{\mathcal W} $ 的純量乘積為 $$ \alpha\,(\vec v+{\mathcal W})= \alpha\,\vec v+{\mathcal W}, $$ 則 $ {\mathcal V}/{\mathcal W} $ 為一個向量空間, 稱為 $ {\mathcal V} $ 模 $ {\mathcal W} $ 的商空間(quotient space of $ {\mathcal V} $ modulo $ {\mathcal W} $)。

由以上這些定義, 可以得到如下命題。

命題2.1.3: 如果 $ {\mathcal B} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上 $ n $ 維向量空間 $ {\mathcal V} $ 的部分集合, 則以下敘述是等價的

1. $ {\mathcal B} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一組基底;
2. $ {\mathcal V} $ 中的每一個向量 $ \vec v $ 可唯一的寫為 $$ \vec v= \alpha_1\vec b_1+\cdots+\alpha_n\vec b_n, $$ 這裡 $ \vec b_j\in {\mathcal B}$, $ \alpha_j\in {\mathbb F}$, $ j=1,\ldots, n$;
3. $ {\mathcal B} $ 是 $ {\mathcal V} $ 中極小生成集;
4. $ {\mathcal B} $ 是 $ {\mathcal V} $ 中極大線性獨立集合。

命題2.1.4: 若 $ {\mathcal W}_1 $ 與 $ {\mathcal W}_2 $ 為有限維向量空間 $ {\mathcal V} $ 的兩個子空間, 則 \begin{equation} \label{eq:2.1.1} {\mbox {dim}}({\mathcal W}_1)+ {\mbox {dim}}({\mathcal W}_2)= {\mbox {dim}}({\mathcal W}_1+ {\mathcal W}_2)+ {\mbox {dim}}({\mathcal W}_1\,\cap\, {\mathcal W}_2) \end{equation}

若 $ {\mathcal V} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上 $ n $ 維向量空間, $ {\mathcal B}=\{\vec b_1,\ldots,\vec b_n\} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一組基底, 則對每個向量 $ \vec v\in {\mathcal V} $ 存在唯一的一組有限數列 $ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) $ 使得 $ \vec v $ 可以寫成 $$ \vec v= \alpha_1\vec b_1+\cdots+\alpha_n\vec b_n=\big[\vec b_1,\,\cdots,\,\vec b_n\big] \left[\begin{array}{c} \alpha_1\\[-10pt] \vdots\\[-10pt] \alpha_n \end{array}\right]. $$ 故對基底 $ {\mathcal B} $ 來講, $ \vec v $ 可以用列向量 $ [\alpha_1,\ldots,\alpha_n]^T $ 表示之, 記作 $ [\vec v]_{\mathcal B}$, 稱為向量 $ \vec v $ 在基底 $ {\mathcal B} $ 下的座標。 如果 $ {\mathcal C}=\{\vec c_1, \ldots,\vec c_n\} $ 也是 $ {\mathcal V} $ 的一組基底, 則存在唯一的 $ n\times n $ 可逆矩陣 $ M_{{\mathcal B},{\mathcal C}} =[\vec A_1,\ldots,\vec A_n]$, 這裡 $ \vec A_j$, $ j=1,\ldots,n $ 為 $ n $ 個列向量, 使得 $$ [\vec v]_{\mathcal C}= M_{{\mathcal B},{\mathcal C}}[\vec v]_{\mathcal B}. $$ 若取 $ \vec v=\vec b_j$, 則得到 $ \vec A_j=[\vec b_j]_{\mathcal C}$, $ j=1,\ldots,n$, 即 $$ M_{{\mathcal B},{\mathcal C}}=\big[[\vec b_1]_{\mathcal C},\ldots,[\vec b_n]_{\mathcal C}\big]. $$

若 $ {\mathcal V} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上 $ n $ 維向量空間, $ {\mathcal B} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一組基底, 考慮映射 $$ \Phi_{\mathcal B}\,:\, {\mathcal V}\,\rightarrow\,{\mathbb F}^n, \qquad \Phi_{\mathcal B}(\vec v)= [\vec v]_{\mathcal B},\quad \forall \,\,\vec v\in {\mathcal V} . $$ 我們很容易證明: $ \Phi_{\mathcal B} $ 是 $ {\mathcal V} $ 到 $ {\mathbb F}^n $ 的同構映射, 即 $ \Phi_{\mathcal B} $ 是一線性雙射。因此, $ {\mathcal V} $ 與 $ {\mathbb F}^n $ 是同構的! 於是我們有如下的定理:

定理2.1.1: 體 $ {\mathbb F} $ 上 $ n $ 維向量空間 $ {\mathcal V} $ 同構於 $ {\mathbb F}^n $。 體 $ {\mathbb F} $ 上兩個向量空間同構若且唯若它們的維數相同。

這個定理告訴我們, 在同構意義下, $ n $ 維向量空間只有一個, 即為大家十分熟悉的 $ {\mathbb F}^n $。 當 $ {\mathbb F}={\mathbb R} $ 時, 這便是我們所熟悉的 $ n $ 維歐氏空間。

2.2. 對偶空間

有了線性空間, 即向量空間, 首先要討論的是定義在其上最簡單的一類線性函數, 即線性泛函 (linear functional)。

定義2.2.1: 若 $ {\mathcal V} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上 $ n $ 維向量空間, 函數 $$ f\,:\,{\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathbb F} $$ 滿足 $$ f(\alpha\,\vec u,+\beta\,\vec v)= \alpha\, f(\vec u)+\beta\,f(\vec v), $$ 對任意 $ \alpha,\,\beta\in {\mathbb F} $ 與 $ \vec u,\,\vec v\in {\mathcal V} $ 都成立, 則稱 $ f $ 為 $ {\mathcal V} $ 上的線性泛函。

將 $ {\mathcal V} $ 上所有線性泛函的全體記作 $ {\mathcal V}^\ast $, 若 $ f,\,g\in {\mathcal V}^\ast $, 定義加法為: 對任意 $ \vec u\in {\mathcal V}$, $$ (f+g)\,(\vec u)= f(\vec u)+g(\vec u), $$ 定義 $ {\mathbb F} $ 對 $ {\mathcal V}^\ast $ 的純量乘積為: 對任意 $ \vec u\in {\mathcal V} $ 及 $ \alpha\in {\mathbb F}$, $$ (\alpha\,f)\,(\vec u)= \alpha\,f(\vec u). $$

顯面易見這樣定義了加法與純量乘積之後, $ {\mathcal V}^\ast $ 也是一個向量空間, 稱為 $ {\mathcal V} $ 的對偶空間(dual space)。

設 $ {\mathcal V} $ 是一個 $ n $ 維向量空間, $ {\mathcal B}=\{\vec b_1,\ldots,\vec b_n\} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一組基底, 對每一個 $ \vec b_j$, $ j=1,\ldots,n$, 可以定義一個線性泛函 $ \vec b_j^\ast\in {\mathcal V}^\ast $, 使得 \begin{equation} \label{eq:2.2.1} \vec b_j^\ast\,(\vec b_k)=\delta_{jk},\qquad j,k= 1,\ldots, n, \end{equation} 這裡 $ \delta_{jk} $ 是Kronecker函數, 即 $ \delta_{jj}=1$, $ \delta_{jk}=0$, $ j\ne k $。 不難證明, $ {\mathcal B}^\ast=\{\vec b_1^\ast,\ldots,\vec b_n^\ast\} $ 是 $ {\mathcal V}^\ast $ 的一組基底, 稱 $ {\mathcal B}^\ast $ 為 $ {\mathcal B} $ 的對偶基底 (dual basis)。由此立得 $$ {\mbox{dim}}({\mathcal V})={\mbox{dim}}({\mathcal V}^\ast). $$

由於 $ {\mathcal V}^\ast $ 也是向量空間, 故 $ {\mathcal V}^\ast $ 有對偶空間 $ {\mathcal V}^{\ast\ast}=({\mathcal V}^\ast)^\ast $, 若 $ {\mathcal V} $ 是有限維向量空間, 則 $$ {\mbox{dim}}({\mathcal V}^{\ast\ast})={\mbox{dim}}({\mathcal V}^\ast)={\mbox{dim}}({\mathcal V}). $$ 因此由定理2.1.1知: 對有限維向量空間 $ {\mathcal V}$, 有 $ {\mathcal V}\,\thickapprox\, {\mathcal V}^\ast $。

若 $$ T_1\,:\,\vec x=\sum_{j=1}^nx_j\vec b_j\,\rightarrow\, \vec v^\ast=\sum_{j=1}^nx_j \vec b_j^\ast\in {\mathcal V}^\ast. $$ 由於 $ {\mbox{dim}}({\mathcal V}^{\ast})={\mbox{dim}}({\mathcal V}) $ 及定理2.1.1, 我們知道 $ T_1 $ 是一個同構映射, 且 $ {\mathcal V}\,\thickapprox\, {\mathcal V}^\ast $。 對任意 $ \vec y=\sum_{k=1}^n y_k\vec b_k\in {\mathcal V}$, 由\eqref{eq:2.2.1}, $$ \vec x^\ast(\vec y)=\sum_{j=1}^n x_j\vec b_j^\ast (\vec y)=\sum_{j=1}^n x_j\vec b_j^\ast\Big(\sum_{k=1}^ny_k\vec b_k\Big)=\sum_{j=1}^n x_jy_j. $$ 同樣對每個 $ \vec b_j^\ast$, $ j=1,\ldots,n$, 可以定義一個線性泛函 $ \vec b_j^{\ast\ast}\in {\mathcal V}^{\ast\ast}$, 使得 $$ \vec b_j^{\ast\ast}\,(\vec b_k^\ast)=\delta_{jk},\qquad j,k= 1,\ldots, n, $$ 這裡 $ \delta_{jk} $ 是Kronecker函數。不難證明, $ {\mathcal B}^{\ast\ast}=\{\vec b_1^{\ast\ast},\ldots,\vec b_n^{\ast\ast}\} $ 是 $ {\mathcal V}^{\ast\ast} $ 的一組基底, 為 $ {\mathcal B}^\ast $ 的對偶基底。若 $$ T_2\,:\,\vec x^\ast=\sum_{j=1}^nx_j\vec b_j^\ast\,\rightarrow\, \vec v^{\ast\ast} =\sum_{j=1}^nx_j\vec b_j^{\ast\ast}\in {\mathcal V}^{\ast\ast}, $$ 與上面同樣理由, $ T_2 $ 是一個同構映射, 且 $ {\mathcal V}^\ast\,\thickapprox\, {\mathcal V}^{\ast\ast} $。 對任意 $ \vec z=\sum_{l=1}^n z_l\vec b_l\in {\mathcal V}^\ast$, 由\eqref{eq:2.2.1}知, $$ \vec z(\vec b_k)=\sum_{l=1}^n z_l\vec b_l^\ast (\vec b_k)=z_k. $$ 故 $ \vec z=\sum_{k=1}^n \vec z(\vec b_k)\vec b_k^\ast $。 於是 \begin{eqnarray*} \vec x^{\ast\ast}(\vec z)&=&\sum_{j=1}^n x_j\vec b_j^{\ast\ast} (\vec z)\\ &=&\sum_{j=1}^n x_j\vec b_j^{\ast\ast}\Big(\sum_{k=1}^n\vec z(\vec b_k) \vec b_k^\ast \Big)=\sum_{j=1}^n x_j\vec z(\vec b_j)\\ &=&\vec w\Big(\sum_{k=1}^nx_k \vec b_k\Big )=\vec z(\vec x). \end{eqnarray*} 令 $ T=T_2\,\circ\,T_1$, 則 $ T\,:\,{\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathcal V}^{\ast\ast} $ 是一個同構映射, 且 $ T(\vec x)=T_2\,(T_1(\vec x))=T_2(\vec x^\ast)= \vec x^{\ast\ast} $ 對每個 $ \vec x\,\, {\mathcal V} $ 都成立。已證 $ \vec x^{\ast\ast}(\vec z)= \vec z(\vec x) $ 對每個 $ \vec z\,\, {\mathcal V}^\ast $ 都成立。由上述兩式可見, $ \vec x $ 在 $ {\mathcal V} $ 的同構映射 $ T $ 下的像不依賴於 $ {\mathcal V} $ 中基底的選取。稱這樣的同構映射為自然同構映射。 在這樣的自然同構映射下, 可以把 $ \vec x $ 與 $ T(\vec x)=\vec x^{\ast\ast} $ 等同。從而把 $ {\mathcal V} $ 與 $ {\mathcal V}^\ast $ 互為對偶空間。這就是把 $ {\mathcal V}^\ast $ 稱為 $ {\mathcal V} $ 的對偶空間的原因。讀者可參閱命題2.2.4、命題3.2.2及命題3.2.3的(2)與(3)。

一個十分重要的線性泛函是零化子。

定義2.2.2: 若 $ M $ 是向量空間 $ {\mathcal V} $ 的非空部分集合, 在 $ {\mathcal V}^\ast $ 中的集合 $$ M^\circ=\big\{f\in {\mathcal V}^\ast\,:\,\,\,f(M)=0\big\} $$ 稱為 $ M $ 的零化子(annihilator), 這裡 $ f(M)=\{f(\vec v):\,\,\vec v\in M\} $。

關於零化子有如下一些結論。

命題2.2.1: $ M^\circ $ 是 $ {\mathcal V}^\ast $ 的子空間, 即使 $ M $ 不是 $ {\mathcal V} $ 的子空間。

命題2.2.2: 當 $ M $ 是 $ n $ 維向量空間的子空間, 則 $$ {\mbox{dim}}(M)+ {\mbox{dim}}(M^\circ)=n. $$

證明: 若 $ {\mathcal U}=\{\vec u_1,\ldots,\vec u_k\} $ 是 $ M $ 的一組基底, 將 $ {\mathcal U} $ 擴充為 $$ {\mathcal B}=\big\{\vec u_1,\ldots,\vec u_k,\vec v_1,\ldots,\vec v_{n-k}\big\}, $$ 使 $ {\mathcal B} $ 成為 $ {\mathcal V} $ 的一組基底, 則 $$ {\mathcal B}^\ast=\big\{\vec u_1^\ast,\ldots,\vec u_k^\ast,\vec v_1^\ast,\ldots,\vec v_{n-k}^\ast \big\}, $$ 是 $ {\mathcal B} $ 的對偶基底。我們現在來證 $ \{\vec v_1^\ast,\ldots,\vec v_{n-k}^\ast \} $ 是 $ M^\circ $ 的一組基底。顯然它們是線 性獨立的; 現在只要證它們生成 $ M^\circ $。 若 $ f\in M^\circ$, 則 $ f\in {\mathcal V}^\ast$, 故 $ f $ 可以寫成 $$ f= \alpha_1\vec u_1^\ast+\cdots+\alpha_k\vec u_k^\ast+\beta_1 \vec v_1^\ast\,+\cdots\,+\beta_{n-k}\vec v_{n-k}^\ast, $$ 這裡 $ \alpha_j\in {\mathbb F}$, $ j=1,\ldots,k$, $ \beta_j \in{\mathbb F}$, $ j=1,\ldots,n-k $。 由於 $ f\in M^\circ$, 則 $ f(\vec u_j) =0$, 但 $ f(\vec u_j)=\alpha_j$, 故 $ \alpha_j=0$, $ j=1,\ldots,k $。 因此, $$ f= \beta_1\vec v_1^\ast\,+\cdots\,+\beta_{n-k}\vec v_{n-k}^\ast. $$ 於是 $ \{\vec v_1^\ast,\ldots,\vec v_{n-k}^\ast\} $ 生成 $ M^\circ$; 因此命題得證。

命題2.2.3: 若 $ M,\,N $ 是向量空間 $ {\mathcal V} $ 的部分集合, 且 $ M\subset N$, 則 $$ N^\circ\subset M^\circ. $$

命題2.2.4: 若 $ {\mathcal V} $ 是有限維向量空間, 如視 $ {\mathcal V}^{\ast\ast} $ 與 $ {\mathcal V} $ 等同, 則對 $ {\mathcal V} $ 的任一部分集合 $ M$, 都有 $$ M^{\circ\circ}={\mbox{span}}(M). $$ 若 $ {\mathcal W} $ 為 $ {\mathcal V} $ 的子空間, 則 $ {\mathcal W}^{\circ\circ} ={\mathcal W} $。

命題2.2.5: 若 $ {\mathcal W}_1 $ 與 $ {\mathcal W}_2 $ 是有限維向量空間 $ {\mathcal V} $ 的子空間, 則 $$ \big({\mathcal W}_1\,\cap\, {\mathcal W}_2\big)^\circ={\mathcal W}_1^\circ+ {\mathcal W}_2^\circ, $$ 及 $$ \big({\mathcal W}_1+ {\mathcal W}_2\big)^\circ={\mathcal W}_1^\circ\,\cap\, {\mathcal W}_2^\circ. $$

命題2.2.6: 若向量空間 $ {\mathcal V} $ 是它的兩個子空間 $ {\mathcal W}_1 $ 與 $ {\mathcal W}_2 $ 的直和, 即 $ {\mathcal V}={\mathcal W}_1\oplus {\mathcal W}_2$, 則

1. $ {\mathcal W}_1^\ast\,\thickapprox\, {\mathcal W}_2^\circ $ 及 $ {\mathcal W}_2^\ast\,\thickapprox\, {\mathcal W}_1^\circ$;
2. $ \big({\mathcal W}_1\oplus {\mathcal W}_2\big)^\ast= {\mathcal W}_1^\circ \oplus {\mathcal W}_2^\circ $。

證明: 我們先證(1): 若 $ f\in {\mathcal W}_2^\circ\subset {\mathcal V}^\ast$, 則 $ f({\mathcal W}_2)=0 $。 定義映射 $$ T\,:\,f\,\rightarrow\, f\Big|_{{\mathcal W}_1}, $$ 即將 $ f\in {\mathcal W}_2^\circ $ 視為 $ f $ 在 $ {\mathcal W}_1 $ 上的限制, 顯然, $ f\Big|_{{\mathcal W}_1}\in {\mathcal W}_1^\ast$, 故這是 $ {\mathcal W}_2^\circ $ 到 $ {\mathcal W}_1^\ast $ 的映射, 易見這是線性的。 若 $ f\Big|_{{\mathcal W}_1}=0$, 則因 $ f({\mathcal W}_2)=0$, 這便導出 $ f=0 $。 故映射 $ T $ 是一對一。 若 $ g\in {\mathcal W}_1^\ast$, 定義 $ f $ 為 $$ f(\vec w_1+\vec w_2)= g(\vec w_1), $$ 這裡 $ \vec w_1\in {\mathcal W}_1$, $ \vec w_2\in {\mathcal W}_2$, 顯然 $ f\in {\mathcal V}^\ast $。 由於 $$ f(\vec 0+\vec w_2)= g(\vec 0)= 0, $$ 對所有 $ \vec w_2\in {\mathcal W}_2 $ 都成立, 故 $ f\in {\mathcal W}_2^\circ $。 而 $ f\Big|_{{\mathcal W}_1}=g$, 故任給 $ g\in {\mathcal W}_1^\ast$, 就有 $ f\in {\mathcal W}_2^\circ\subset {\mathcal V}^\ast$, 使得 $ f\Big|_{{\mathcal W}_1}=g$, 故 $ T $ 為滿射。因此, $ {\mathcal W}_2^\circ\,\thickapprox\, {\mathcal W}_1^\ast $, $ {\mathcal W}_2^\circ\,\thickapprox\, {\mathcal W}_1^\ast $; 同樣可證, $ {\mathcal W}_2^\ast\,\thickapprox\, {\mathcal W}_1^\circ $。 繼續來證明(2): 若 $ f\in {\mathcal W}_1^\circ\,\cap\, {\mathcal W}_2^\circ$, 則 $ f({\mathcal W}_1)=0 $ 及 $ f({\mathcal W}_2)=0$, 故 $ f=0$, 即 $ {\mathcal W}_1^\circ\,\cap\, {\mathcal W}_2^\circ=\{0\} $。 而 $ {\mathcal W}_1^\circ $ 與 $ {\mathcal W}_2^\circ=\{0\} $ 是 $ {\mathcal V}^\ast $ 的子空間, 故 $$ {\mathcal W}_1^\circ\oplus {\mathcal W}_2^\circ \subset \big({\mathcal W}_1\oplus {\mathcal W}_2\big)^\ast. $$ 若 $ f\in ({\mathcal W}_1\oplus {\mathcal W}_2)^\ast$, 定義 $$ g(\vec w_1+ \vec w_2)= f(\vec w_2),\qquad h(\vec w_1+ \vec w_2)= f(\vec w_1), $$ 這裡 $ \vec w_1\in {\mathcal W}_1$, $ \vec w_2\in {\mathcal W}_2$, 顯然 $ g,h\in \,({\mathcal W}_1\oplus {\mathcal W}_2)^\ast $。 由於 $ g({\mathcal W}_1)=0 $ 及 $ h({\mathcal W}_2)=0$, 故 $ g\in {\mathcal W}_1^\circ $ 及 $ h\in {\mathcal W}_2^\circ $。 而 $$ f(\vec w_1+ \vec w_2)= f(\vec w_1)+f(\vec w_2)= g(\vec w_1+ \vec w_2)\, +\, h(\vec w_1+ \vec w_2)=(g+h)(\vec w_1+ \vec w_2). $$ 因此, $ f=g+h\in {\mathcal W}_1^\circ\oplus {\mathcal W}_2)^\circ $, 於是 $$ \big({\mathcal W}_1\oplus {\mathcal W}_2\big)^\ast\subset {\mathcal W}_1^\circ\oplus {\mathcal W}_2^\circ. $$ 這便得到(2), 命題因此證畢。

2.3. 雙線性型式

在上一節中, 討論了向量空間上最簡單的一類線性函數, 即線性泛函, 對有限維向量空間, 我們證明了它的對偶空間同構於它自己。還定義討論了對偶空間中一類重要的子空間, 零化子空間, 這在以後十分有用。

$ a $. 討論了線性函數, 順理成章的是討論向量空間上雙線性型式及二次型式。在這一節中, 討論的向量空間全是有限維的。

定義2.3.1: 若 $ {\mathcal V} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上的向量空間, 映射 $$ \langle,\rangle:\,{\mathcal V}\times {\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathbb F} $$ 稱為雙線性型式(bilinear form), 若對每個坐標而言都是線性函數, 即對任意 $ \vec x,\,\vec y,\,\vec z\in {\mathcal V} $ 及 $ \alpha,\,\beta\in {\mathbb F}$, 有 $$ \langle\alpha\vec x+\beta\vec y,\vec z\rangle= \alpha\, \langle \vec x,\vec z\rangle+\beta\, \langle\vec y,\vec z\rangle$$ 及 $$ \langle\vec z, \alpha\vec x+\beta\vec y \rangle= \alpha\, \langle \vec z,\vec x\rangle+\beta\, \langle\vec z,\vec y\rangle. $$ $ \langle\vec x,\vec x\rangle$, $ \vec x\in {\mathcal V} $ 稱為 $ {\mathcal V} $ 上的二次型式(quadratic form)。

如果對任意 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V} $, 有 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle= \langle\vec y,\vec x\rangle, $$ 則稱 $ \langle,\rangle $ 為對稱(symmetric)雙線性型式。 如果對任意 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V}$, 有 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle= -\,\langle\vec y,\vec x\rangle, $$ 則稱 $ \langle,\rangle $ 為斜對稱(skew-symmetric)雙線性型式。

命題2.3.1: 設體 $ {\mathbb F} $ 的特徵不等於 $ 2$, $ \langle,\rangle $ 是斜對稱的雙線性型式若且唯若: 對任意的 $ \vec z\in {\mathcal V}$, 我們有 $ \langle\vec z,\vec z \rangle=0 $。

證明: 若對任意的 $ \vec z\in {\mathcal V}$, 有 $ \langle\vec z,\vec z \rangle=0$, 則任取 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V}$, 則 \begin{eqnarray*} 0&=&\langle\vec x+\vec y, \vec x+\vec y \rangle\\ &=&\langle\vec x,\vec x\rangle+\langle\vec x,\vec y \rangle+\langle\vec y,\vec x\rangle+\langle\vec y,\vec y\rangle\\ &=& \langle\vec x,\vec y\rangle+\langle\vec y,\vec x\rangle, \end{eqnarray*} 即 $ \langle\vec x,\vec y\rangle=-\,\langle\vec y,\vec x\rangle$, 故 $ \langle,\rangle $ 為斜對稱。這部分對任一特徵均正確。 若 $ \langle,\rangle $ 為斜對稱, 則對任意的 $ \vec x\in {\mathcal V}$, 有 $ \langle\vec x,\vec x\rangle=-\,\langle\vec x,\vec x\rangle$, 即 $ 2\langle\vec x,\vec x\rangle=0$, 由於 $ {\mathbb F} $ 的特徵不等於 $ 2$, 從而 $ \langle\vec x,\vec x\rangle=0$; 命題證畢。

$ b $. 在向量空間 $ {\mathcal V} $ 上, 如果定義了雙線性型式 $ \langle,\rangle$, 則稱 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為度量向量空間(metric vector space), 有時就寫成 $ {\mathcal V} $。 而取定的雙線性型式 $ \langle,\rangle $ 稱為度量向量空間的度量。一個度量向量空間稱為非奇異 (non-singular), 若對任意的 $ \vec v\in {\mathcal V}$, $ \langle\vec x,\vec v\rangle=0 $ 可以導出 $ \vec x=\vec 0 $。 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 是非奇異度量向量空間, 且 $ \langle,\rangle $ 是對稱的, 則稱 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為體 $ {\mathbb F} $ 上的對稱度量向量空間, 也稱 $ {\mathcal V} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上的正交幾何(orthogonal geometry)。 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為體 $ {\mathbb F} $ 上的斜對稱度量向量空間, 也稱 $ {\mathcal V} $ 是體 $ {\mathbb F} $ 上的辛幾何(sympletic geometry)。 此處我們只討論正交幾何和辛幾何。先來證明重要的秩和零度定理。

若 $ {\mathcal V},\,{\mathcal W} $ 為兩個向量空間, 令 ${\mathcal L}({\mathcal V},\,{\mathcal W})$ 為由 ${\mathcal V}$ 到 ${\mathcal W}$ 的線性變換所成之集合。 假設 $ T\in {\mathcal L}({\mathcal V},\,{\mathcal W})$, 則有 $ {\mbox {ker}}(T)=\{\vec v \in{\mathcal V}:T({\vec v})={\vec 0}\}$ 與 $ {\mbox {Im}}(T)=\{T({\vec v}),\ \vec v \in{\mathcal V}\} $ 兩個子空間, 我們稱 $ {\mbox {dim}}({\mbox {ker}}(T))$ 為 $ T $ 的零度(nullity), 記作 $ {\mbox {null}}(T)$; 稱 $ {\mbox {dim}}({\mbox {Im}}(T)) $ 為 $ T $ 的秩(rank), 記作 $ {\mbox {rank}}(T) $。

定理2.3.1 (秩與零度定理): 若 $ T\in {\mathcal L}({\mathcal V},\,{\mathcal W})$, 則有 $$ {\mbox {rank}}(T)+ {\mbox {null}}(T)= {\mbox {dim}}({\mathcal V}). $$

證明: 由於 $ T\in {\mathcal L}({\mathcal V},\,{\mathcal W})$, 故 $ {\mbox {ker}}(T) $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一個子空間, 於是有補空間 $ {\mbox {ker}}(T)^c$, 即 $$ {\mbox {ker}}(T)\oplus {\mbox {ker}}(T)^c= {\mathcal V}. $$ 設 $ {\mathcal K} $ 是 $ {\mbox {ker}}(T) $ 的基底, $ {\mathcal C} $ 是 $ {\mbox {ker}}(T)^c $ 的基底。由於 $ {\mathcal K}\,\cap\,{\mathcal C}=\emptyset $ 及 $ {\mathcal K}\cup {\mathcal C} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的基底, 故 $$ {\mbox{dim}}({\mbox {ker}}(T))+ {\mbox{dim}}({\mbox {ker}}(T)^c)= {\mbox{dim}}({\mathcal V}). $$ 將 $ T $ 限制在 $ {\mbox {ker}}(T)^c $ 上, 記作 $ T^c$, 則易證 $$ T^c\,:\,{\mbox {ker}}(T)^c\, \rightarrow\, {\mbox {Im}}(T) $$ 是同構。我們先證 $ T^c $ 為單射。 若 $ \vec v\in {\mbox {ker}}(T)^c$, 且 $ T^c(\vec v)=\vec 0$, 由於 $ T^c $ 是 $ T $ 在 $ {\mbox {ker}}(T)^c $ 上的限制, 故 $ T(\vec v)=\vec 0 $。 於是 $ \vec v\in {\mbox {ker}}(T)^c\,\cap\, {\mbox {ker}}(T)$, 從而 $ \vec v=\vec 0 $。 我們再證 $ T^c $ 為滿射。 若 $ T(\vec v)\in {\mbox {Im}}(T)$, 則 $ \vec v=\vec u+\vec w$, 這裡 $ \vec u\in {\mbox {ker}}(T)$, $ \vec w\in {\mbox {ker}}(T)^c $。 於是 $$ T(\vec v)= T(\vec u)+ T(\vec w)= T(\vec w)=T^c(\vec w), $$ 從而 $ T(\vec v)\in {\mbox {Im}}(T^c)$, 即 $ {\mbox {Im}}(T)\subset {\mbox {Im}}(T^c) $; 而 $ {\mbox {Im}}(T^c)\subset {\mbox {Im}}(T) $ 是顯而易見的, 故 $ {\mbox {Im}}(T^c)= {\mbox {Im}}(T) $。 因此 $ T^c $ 是將 $ {\mbox {ker}}(T)^c $ 映到 $ {\mbox {Im}}(T) $ 上的滿射, 而 $ T^c $ 顯然是線性的, 故 $ T^c $ 是 $ {\mbox {ker}}(T)^c $ 到 $ {\mbox {Im}}(T) $ 的同構映射, 即 $$ {\mbox {ker}}(T)^c\,\thickapprox\, {\mbox {Im}}(T). $$ 定理因而證畢。

由定理2.3.1 可得到一系列重要推論。

推論2.3.1: 若 $ T\in {\mathcal L}({\mathcal V},\,{\mathcal W})$, 且 $ {\mbox{dim}}({\mathcal V})={\mbox{dim}}({\mathcal W})\lt \infty$, 則 $ T $ 為單射若且唯若 $ T $ 為滿射。

推論2.3.2 (第一同構定理): 若 $ T\in {\mathcal L}({\mathcal V},\,{\mathcal W})$, $ {\mathcal V}/{\mbox {ker}}(T) $ 是 $ {\mathcal V} $ 模 $ {\mbox {ker}}(T) $ 的商空間, 則 $$ {\mathcal V}/{\mbox {ker}}(T)\,\thickapprox\, {\mbox {Im}}(T). $$

證明: 定義映射 $ T^\prime\,:\, {\mathcal V}/{\mbox {ker}}(T)\,\rightarrow\, {\mathcal W} $ 為 $$ T^\prime(\vec v+{\mbox {ker}}(T))=T(\vec v). $$ 先來證這樣定義的 $ T^\prime $ 是有意義的, 這就要證明: 若 $ \vec u,\,\vec v\in {\mathcal V}$, 且 $ \vec u+{\mbox {ker}}(T)= \vec v+{\mbox {ker}}(T)$, 則 $ T^\prime(\vec u+{\mbox {ker}}(T)) = T^\prime(\vec v+{\mbox {ker}}(T)) $。這也就是要證明: 若 $ \vec u+{\mbox {ker}}(T) = \vec v+{\mbox {ker}}(T)$, 則 $ T(\vec u)=T(\vec v) $。 換句話說, 我們要證明: $ \vec v-\vec u\in {\mbox {ker}}(T)$, 則 $ T(\vec v-\vec u)=\vec 0 $。 這是當然成立的, 故這樣定義的 $ T^\prime $ 是有意義的, 且 $ T^\prime $ 是單射。 顯然 $ T^\prime\,:\, {\mathcal V}/{\mbox {ker}}(T)\,\rightarrow\, {\mathcal W} $ 是一個線性變換, 由定理2.3.1及 $ T^\prime $ 是單射, 我們知道 $$ {\mbox{dim}}({\mbox {Im}}(T^\prime))= {\mbox{dim}}\big({\mathcal V}/{\mbox {ker}}(T)\big), $$ 但 \begin{eqnarray*} {\mbox {Im}}(T^\prime))&=& \big \{T^\prime(\vec v+{\mbox {ker}}(T))\,:\,\, \vec v+{\mbox {ker}}(T)\in {\mathcal V}/{\mbox {ker}}(T)\big\}\\ &=& \big\{T(\vec v)\,:\,\, \vec v\in {\mathcal V}\big\}={\mbox {Im}}(T), \end{eqnarray*} 故 $ T^\prime $ 是滿射, 所以 $$ {\mathcal V}/{\mbox {ker}}(T)\,\thickapprox\, {\mbox {Im}}(T). $$ 推論證畢。

推論2.3.3: 若 $ {\mathcal W} $ 是向量空間 $ {\mathcal V} $ 的一個子空間, $ {\mathcal W}^c $ 是 $ {\mathcal W} $ 的補空間, 則 $$ {\mathcal V}/{\mathcal W}\,\thickapprox\, {\mathcal W}^c, $$ 且 $$ {\mbox{dim}}({\mathcal W})+ {\mbox{dim}}({\mathcal W}^c)= {\mbox{dim}}({\mathcal V}). $$

證明: $ {\mathcal V} $ 中任一向量 $ \vec v $ 可以唯一地寫成 $ \vec v=\vec w+\vec w^c $, 這裡 $ \vec w\in {\mathcal W} $ 及 $ \vec w^c\in {\mathcal W}^c $。 定義線性算子 $ \tilde T\,:\,{\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathcal V} $ 為 $$ \tilde T(\vec w+ \vec w^c)= \vec w^c, $$ 這樣定義的 $ \tilde T $ 是有意義的, 顯然 $ {\mbox {Im}}(\tilde T)={\mathcal W}^c $ 及 $$ {\mbox {ker}}(\tilde T)= \big\{\vec w+ \vec w^c \in {\mathcal V}\,:\,\, \vec w^c=\vec 0\big\}= {\mathcal W}. $$ 故由第一同構定理, 得 $ {\mathcal V}/{\mathcal W}\,\thickapprox\, {\mathcal W}^c $。 由定理2.3.1, 得 $$ {\mbox{dim}}({\mathcal W})+ {\mbox{dim}}({\mathcal W}^c)= {\mbox{dim}}({\mathcal V}). $$ 推論證畢。

由第一同構定理還可以導出如下推論。

推論2.3.4 (第二同構定理): 若 $ {\mathcal V} $ 是一個向量空間, $ {\mathcal W}_1 $ 及 $ {\mathcal W}_2 $ 為 $ {\mathcal V} $ 的二個子空間, 則 $$ \frac{{\mathcal W}_1+{\mathcal W}_2}{{\mathcal W}_2}\,\thickapprox\, \frac{{\mathcal W}_1}{{\mathcal W}_1\,\cap\,{\mathcal W}_2}. $$

推論2.3.5: (第三同構定理): 若 $ {\mathcal V} $ 是一個向量空間, $ {\mathcal W}_1\subset {\mathcal W}_2 \subset {\mathcal V} $ 為 $ {\mathcal V} $ 的子空間, 則 $$ \frac{{\mathcal V}\,/ \,{\mathcal W}_1}{{\mathcal W}_2\,/ \,{\mathcal W}_1}\,\thickapprox\, \frac{\mathcal V}{{\mathcal W}_2}. $$

推論2.3.4與推論2.3.5的證明從略。我們就留給有興趣的讀者作為練習。

在非奇異的度量空間上, 上一節所討論的線性泛函, 都可以用雙線性形式來表示。

定理2.3.2 (Riesz表示定理): 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 是有限非奇異的度量空間, 任取 $ f\in {\mathcal V}^\ast$, 則一定存在唯一的向量 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 使得 $$ f(\vec u)= \langle\vec u,\vec v\rangle, $$ 對所有的 $ \vec u\in {\mathcal V} $ 都成立。

證明: 若 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 定義映射 $ \Phi_{\vec v}:\,{\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathbb F} $ 如下 $$ \Phi_{\vec v}(\vec u)= \langle\vec u,\vec v\rangle. $$ 顯易而證 $ \Phi_{\vec v}\in {\mathcal V}^\ast$, 故可定義函數 $ T:\,{\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathcal V}^\ast $ 為 $$ T(\vec v)= \Phi_{\vec v}. $$ 顯然, 這是線性的, 由於 $ {\mathcal V} $ 是非奇異的, 故其核 $$ \big\{\vec v\in {\mathcal V}\,:\,\, \Phi_{\vec v}= \vec 0\big\}= \big\{\vec v\in {\mathcal V}\,:\,\, \forall \,\,\vec u\in {\mathcal V},\,\, \langle\vec u,\vec v\rangle = 0\big\} $$ 是 $ {\mathcal V} $ 的只含有零向量的部分集合, 故 $ T $ 是單射。 $ T $ 可以在整個 $ {\mathcal V} $ 上定義, 且為單射, 而已知 $ {\mbox {dim}}({\mathcal V})={\mbox {dim}}({\mathcal V}^\ast) $, 故由推論2.3.1, $ T $ 在 $ {\mathcal V} $ 上是滿射。因此, $ T $ 是一個同構映射, 將 $ {\mathcal V} $ 映到 $ {\mathcal V}^\ast$, 即 $ {\mathcal V} $ 的任一個線性泛函都可以表示為 $ \Phi_{\vec v} $ 之型式, 這裡 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 定理因而證畢。 Riesz表示定理告訴我們, 在有限維非奇異的度量空間, 其上的線性泛函只有一類, 那就是定義度量向量空間的雙線性型式。 $ c $. 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 是 $ n $ 維度量向量空間, $ {\mathcal B}= \{\vec b_1,\ldots,\vec b_n\} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一組基底, 於是, $ \langle,\rangle $ 完全可以由 $ n\times n $ 矩陣 $$ M_{\mathcal B}= \big[a_{jk}\big]= \big[\langle\vec b_j,\vec b_k\rangle\big] $$ 來決定, $ M_{\mathcal B} $ 稱為雙線性型式在基底 $ {\mathcal B} $ 下的矩陣表示。

若 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V}$, 且 $$ \vec x= \sum_{j=1}^n x_j\vec b_j,\qquad \vec y= \sum_{j=1}^n y_j\vec b_j, $$ 則 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle= \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n x_jy_k\langle\vec b_j, \vec b_k\rangle= \big[\vec x\big]^T_{\mathcal B} M_{\mathcal B} \big[\vec y\big]_{\mathcal B}. $$ 這裡 $ \big[\vec x\big]^T_{\mathcal B} ,\, \big[\vec y\big]_{\mathcal B} $ 表示在基底 $ {\mathcal B} $ 下的坐標, 即 $$ \big[\vec x\big]^T_{\mathcal B}= \big[x_1,\ldots,x_n\big]^T,\qquad \big[\vec y\big]^T_{\mathcal B}= \big[y_1,\ldots,y_n\big]^T. $$ $ \langle,\rangle $ 是對稱的若且唯若 $ M_{\mathcal B} $ 是對稱矩陣, 即 $$ a_{jk}= a_{kj},\qquad j,\,k= 1,\ldots, n. $$ $ \langle,\rangle $ 是斜對稱的若且唯若 $ M_{\mathcal B} $ 是斜對稱的, 即 $$ a_{jj}=0,\quad a_{jk}= -a_{kj},\qquad j,\,k= 1,\ldots, n, \,\,\,j\,\ne \, k. $$

若 $ {\mathcal C}= \{\vec c_1,\ldots,\vec c_n\} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的另一組基底, 則由2.1節的最後知, 對任意 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 有 $$ \big[\vec v\big]_{\mathcal C}=M_{{\mathcal C},{\mathcal B}}\,\big[\vec v\big] _{\mathcal B} $$ 及 $$ \big[\vec v\big]_{\mathcal B}=M_{{\mathcal B},{\mathcal C}}\,\big[\vec v\big] _{\mathcal C} $$ 於是 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle=\big[\vec x\big]^T_{\mathcal B}\, M_{\mathcal B}^T\, \big[\vec y\big]^T_{\mathcal B}= \big[\vec x\big]^T_{\mathcal C} \, M^T_{{\mathcal C},{\mathcal B}}\, M_{\mathcal B}\, M_{{\mathcal C},{\mathcal B}}\, \big[\vec y\big]_{\mathcal C}= \big[\vec x\big]^T_{\mathcal C}\, M_{\mathcal C}\,\big[\vec y\big]_{\mathcal C}. $$ 這就得到 $$ M_{\mathcal C}= M_{{\mathcal C},{\mathcal B}}^T\, M_{\mathcal B}\, M_{{\mathcal C},{\mathcal B}}. $$ 也就是說 $ M_{\mathcal C} $ 與 $ M_{\mathcal B} $ 是相合的。

$ d $. 要弄清楚對稱的、斜對稱的雙線性型式一共有多少, 也就是在相合的意義下雙線性型式的矩陣有多少標準型式, 這是線性代數最基本問題之一, 我們先要先引入正交的概念。

向量 $ \vec x $ 與向量 $ \vec y $ 稱為 正交的(orthogonal), 記作 $ \vec x\,\perp\,\vec y$, 若 $ \langle\vec x,\vec y\rangle=0 $。 對於對稱雙線性型式及斜對稱雙線型式, 顯然有 $ \vec x\,\perp\,\vec y $ 若且唯若 $ \vec y\,\perp\,\vec x $。

若 $ {\mathcal X} $ 與 $ {\mathcal Y} $ 是度量向量空間 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 的兩個子空間, 我們稱它們是正交的, 記作 $ {\mathcal X}\,\perp\,{\mathcal Y}$, 若對所有 $ \vec x\in {\mathcal X} $ 與 $ \vec y\in {\mathcal Y}$, 都有 $ \langle\vec x,\vec y\rangle=0 $。

集合 $ \{\vec v\in {\mathcal V}\,:\,\, \vec v\,\perp\, S\} $ 稱為 $ S $ 的 正交餘集 (orthogonal complement), 記作 $ S^\perp $。 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 是度量向量空間, $ {\mathcal X} $ 與 $ {\mathcal Y} $ 是它的子空間, 並且 $$ {\mathcal V}={\mathcal X}\oplus{\mathcal Y},\qquad {\mathcal X}\,\perp\,{\mathcal Y}, $$ 則稱 $ {\mathcal V} $ 是 $ {\mathcal X} $ 與 $ {\mathcal Y} $ 的 正交直和 (orthogonal direct sum), 記作 $ {\mathcal X}\oplus_\perp{\mathcal Y} $。

定理2.3.3: 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 是非奇異的度量空間, $ {\mathcal W} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的子空間, 則 $$ {\mathcal V}={\mathcal W}\oplus{\mathcal W}^\perp $$ 若且唯若 $ {\mathcal W} $ 是非奇異的。

為了要證明定理2.3.3, 我們先來證明下面的引理。

引理2.3.1: 若 $ {\mathcal W} $ 是非奇異的度量向量空間 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 的一個子空間, 則 \begin{equation}\label{eq:2.3.1} {\mbox{dim}}({\mathcal W})+ {\mbox{dim}}({\mathcal W}^\perp)= {\mbox{dim}}({\mathcal V}). \end{equation}

證明: 對每個 $ \vec v\,\in \,{\mathcal V}$, 在 $ {\mathcal W} $ 上定義線性泛函 $ \Phi_{\vec v}\,:\,{\mathcal W}\,\rightarrow\, {\mathbb F} $ 如下: $$ \Phi_{\vec v}(\vec w)= \langle\vec w,\vec v\rangle, $$ 這裡 $ \vec w\in {\mathcal W}$, 顯然 $ \Phi_{\vec v}\in {\mathcal W}^\ast$, 定義映射 $ T\,:{\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathcal W}^\ast $ 為 $$ T(\vec v)=\Phi_{\vec v}(\vec w), $$ 顯然這是一個線性映射, 且 \begin{equation} \label{eq:2.3.2} {\mbox{ker}}(T)=\big\{\vec v\in {\mathcal V}\,:\,\, \Phi_{\vec v}=0\big\}= \big\{\vec v\in {\mathcal V}\,:\,\, \forall \,\,\vec w\in {\mathcal W},\,\,\, \langle\vec w,\vec v\rangle=0\big\}={\mathcal W}^\perp. \end{equation} 此外, 由定理2.3.2, $ {\mathcal W}^\ast $ 中任一線性泛函均可用 $ {\mathcal W} $ 上的雙線性型式來表示之, 故 $$ T\big|_{\mathcal W}\,:\,{\mathcal W}\,\rightarrow\, {\mathcal W} $$ 是滿射, 從而 $ {\mbox{Im}}(T)={\mathcal W}^\ast $. 由定理2.3.1知 $${\mbox{dim}}({\mbox {ker}}(T))+ {\mbox{dim}}({\mbox {Im}}(T))= {\mbox{dim}}({\mathcal V}).$$ 而 $ {\mbox{dim}}({\mbox {Im}}(T))= {\mbox{dim}}({\mathcal W}^\ast)= {\mbox{dim}}({\mathcal W})$, 由\eqref{eq:2.3.2} 知 $ {\mbox{ker}}(T)={\mathcal W}^\perp$, 故引理得證。

我們現在用引理2.3.1來完成定理2.3.3之證明。由\eqref{eq:2.1.1}及引理 2.3.1 知道 \begin{eqnarray*} {\mbox{dim}}({\mathcal W}+{\mathcal W}^\perp)&=& {\mbox{dim}}({\mathcal W})+ {\mbox{dim}}({\mathcal W}^\perp)- {\mbox{dim}}({\mathcal W}\cap {\mathcal W}^\perp)\\ &=&{\mbox{dim}}({\mathcal V})-{\mbox{dim}}({\mathcal W}\cap {\mathcal W}^\perp). \end{eqnarray*} 若 ${\mathcal W}$ 是非奇異的, 則 ${\mathcal W}\cap {\mathcal W}^\perp=\{\vec 0\}$, 因此 ${\mathcal V}={\mathcal W}\,\oplus\, {\mathcal W}^\perp$, 這就證明了 ${\mathcal V}={\mathcal W}\,\oplus_\perp\, {\mathcal W}^\perp$。 反之, 若 ${\mathcal W}$ 不是非奇異的, 則 ${\mathcal V}={\mathcal W}\,\oplus_\perp\, {\mathcal W}^\perp$ 不成立。

$ e $. 有了這些準備, 就可以討論正交幾何和辛幾何的正交分解, 也就是要定出正交幾何和辛幾何的標準型式, 先來討論辛幾何。

若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為辛幾何, 由於 $ \langle,\rangle $ 是斜對稱的, 故對每個 $ \vec x\in {\mathcal V} $ 都有 $ \langle\vec x,\vec x\rangle=0$。 取一個非零向量 $ \vec x\in {\mathcal V}$, 由於 $ {\mathcal V} $ 是非奇異的, 故一定存在一個 $ \vec y\in {\mathcal V} $ 使得 $ \langle\vec x,\vec y\rangle\, \ne\,0 $。 考慮以 $ \{\vec x,\,\vec y\} $ 為一組基底的二維空間 $ {\mathcal H}$, 則 $$ \langle\vec x,\vec x\rangle=\langle\vec y,\vec y\rangle=0. $$ 而 $ \langle\vec x,\vec y\rangle=\alpha\ne 0$, 以 $ \alpha^{-1}\vec y $ 來代替 $ \vec y$, 就有 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle=1,\qquad \langle\vec y,\vec x\rangle=-1. $$ 於是在 $ {\mathcal H} $ 的基底 $ \{\vec x,\,\vec y\} $ 下, $ \langle,\rangle $ 的矩陣為 $$ N_2=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right]. $$ 由於 $ {\mathcal V} $ 非奇異, 故由定理2.3.3, 可將 $ {\mathcal V} $ 進行正交分解: $$ {\mathcal V}= {\mathcal H}\,\oplus_\perp\, {\mathcal H}^\perp $$ 而 $ {\mathcal H}^\perp $ 仍是一個非奇異的斜對稱度量向量空間, 所以我們仍可對 $ {\mathcal H}^\perp $ 進行這樣的正交分解。重複這樣的步驟, 由於 $ {\mathcal V} $ 是有限維, 故 $ {\mathcal V} $ 最終可正交分解為 $$ {\mathcal V}= {\mathcal H}_1\,\oplus_\perp\, {\mathcal H}_2\,\oplus_\perp\, \cdots\,\oplus_\perp\, {\mathcal H}_k. $$ 歸納起來, 我們可得如下之結論:

定理2.3.4: 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為非奇異的斜對稱度量向量空間, 則存在 $ k\in {\mathbb N}$, 使得 $ {\mathcal V} $ 可正交分解為 $$ {\mathcal V}= {\mathcal H}_1\,\oplus_\perp \, {\mathcal H}_2\,\oplus_\perp \,\cdots\, \oplus_\perp \, {\mathcal H}_k. $$ 這裡 $ {\mathcal H}_j$, $ j=1,\ldots,k $ 為二維斜對稱度量子空間, 而 $ \langle,\rangle $ 在其上對應的矩陣為 $$ N_2=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right]. $$ 也就是說, 在 $ {\mathcal V} $ 中取到一組基底, 使得 $ \langle,\rangle $ 對應的矩陣為 $$ M=\left[\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 &0 &0 &\ldots &0 &0\\ -1 & 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\ 0 & 0 &0 &1 &\ldots &0 &0\\ 0 & 0 &-1 &0 &\ldots &0 &0\\ \cdots\\ 0 & 0 &0 &0 &\ldots &0 &1\\ 0 & 0 &0 &0 &\ldots &-1 &0 \end{array}\right]. $$ 因此, 非奇異的斜對稱度量向量空間的維數都是偶數。

用矩陣的語言表達為: 若 $ P $ 是一個 $ n $ 階非奇異的斜對稱矩陣, 則 $ P $ 相合於 $ M$, 即存在 $ n $ 階非奇異矩陣 $ Q$, 使得 $$ P=Q^T\left[\begin{array}{cccc} N_2 & O_2 &\ldots & O_2\\ O_2 & N_2 &\ldots & O_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ O_2 & O_2 &\ldots & N_2 \end{array}\right]\,Q. $$ 這裡 $ O_2 $ 為2階零矩陣。所以, 非奇異斜對稱矩陣一定是偶數階, 即 $ n $ 是偶數。

$ f $. 下面我們對正交幾何之正交分解作進一步之討論

若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 是一非奇異的對稱度量向量空間, 則存在非零向量 $ \vec u\in {\mathcal V} $ 使得 $ \langle\vec u,\vec u\rangle\,\ne \, 0$, 這樣的 $ \vec u $ 一定存在, 否則 $ \langle,\rangle $ 是斜對稱的。由 $ \vec u $ 生成的子空間 $ {\mathcal S}_1={\mbox{span}}\{\vec u\} $ 是非奇異的。由於 $ {\mathcal V} $ 是非奇異, 由定理2.3.3有正交分解 $ {\mathcal V}={\mathcal S}_1\,\oplus_\perp\, {\mathcal S}_1^\perp$, 而 $ {\mathcal S}_1^\perp $ 仍為非奇異的對稱度量向量空間, 我們可以繼續對 $ {\mathcal S}_1^\perp $ 進行這樣的正交分解 $$ {\mathcal V}={\mathcal S}_1\,\oplus_\perp\,{\mathcal S}_2\,\oplus_\perp\,{\mathcal S}_2^\perp, $$ 這裡 $ {\mathcal S}_1,\,{\mathcal S}_2 $ 都是一維的子空間, 重複這樣的步驟, 可得 $$ {\mathcal V}={\mathcal S}_1\,\oplus_\perp\,{\mathcal S}_2\,\oplus_\perp\, \cdots\,\oplus_\perp\,{\mathcal S}_n, $$ 這裡 $ {\mathcal S}_j $ 由向量 $ \vec u_j $ 生成, 且 $ \langle\vec u_j,\vec u_j\rangle\,\ne \, 0$, $ j= 1,\ldots,n$, 故 $ \{\vec u_1,\ldots,\vec u_n\} $ 是 $ {\mathcal V} $ 的一組正交基底(即基底中向量相互正交)。若 $ \langle\vec u_j,\vec u_j\rangle=a_j$, $ j= 1,\ldots,n$, 則有如下結論。

若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 是 $ n $ 維非奇異的對稱度量向量空間, 則 $ {\mathcal V} $ 有一組正交基底 $ {\mathcal B}=\{\vec u_1,\ldots,\vec u_n\}$, 使得在基底 $ {\mathcal B} $ 下, 所對應的矩陣為 $$ M_{\mathcal B}= \left[\begin{array}{cccc} a_1 &0&\cdots & 0\\ 0 & a_2 &\cdots & 0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 &\ldots & a_n \end{array}\right]. $$ 若取 $ 0\ne r_j\in {\mathbb F}$, $ j=1,\ldots,n$, 則 $ {\mathcal C}=\{r_1\vec u_1,\ldots,r_n\vec u_n\} $ 也是一組正交基底, 對基底 $ {\mathcal C}$, $ \langle,\rangle $ 所對應的矩陣為 $$ M_{\mathcal C}= \left[\begin{array}{cccc} r_1^2a_1 & 0&\cdots & 0\\ 0 & r_2^2a_2 &\cdots & 0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 &\cdots & r_n^2a_n \end{array}\right]. $$ 若 $ {\mathbb F} $ 為代數封閉體 (algebraically closed field), 即 $ {\mathbb F}[x] $ 中任一多項式均可在 $ {\mathbb F} $ 上分解為一次因子的乘積, 這時, 可取 $$ r_j= \frac{1}{\sqrt{a_j}},\qquad j=1,\ldots,n, $$ 這裡 $ \sqrt{a_j} $ 為 $ x^2-a_j=0 $ 的根, 這樣 $$ M_{\mathcal C}= \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0&\cdots & 0\\ 0 & 1 &\cdots & 0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{array}\right]= I_n, $$ 這裡 $ I_n $ 為 $ n $ 階單位矩陣。歸納起來就有如下定理

定理2.3.5: 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為體 $ {\mathbb F} $ 上 $ n $ 維非奇異的對稱度量向量空間, 則 $ {\mathcal V} $ 有正交基底 $ {\mathcal U}=\,\{\vec v_1,\ldots, \vec v_n\}$, 即 $ {\mathcal V} $ 可正交分解為 $$ {\mathcal V}={\mathcal S}_1\,\oplus_\perp\,{\mathcal S}_2\,\oplus_\perp\, \cdots\,\oplus_\perp\,{\mathcal S}_n, $$ 這裡 $ {\mathcal S}_j$ 是由 $ \vec v_j $ 生成, $ j=1,\ldots,n$, 若 $ \langle\vec u_j,\vec u_j\rangle=a_j$, 則 $ \langle,\rangle $ 相對于基底 $ {\mathcal U} $ 有矩陣 $$ M_{\mathcal U}= \left[\begin{array}{cccc} a_1 & 0&\cdots & 0 \\ 0 & a_2 &\ldots & 0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 &\cdots & a_n \end{array}\right]. $$ 若 $ {\mathbb F} $ 為代數封閉體, 則 $ {\mathcal V} $ 有一組正規正交基底 (orthonormal basis)(即若基底為 $ {\mathcal U}=\,\{\vec v_1,\ldots, \vec v_n\}$, 則 $ \langle\vec v_j,\vec v_k\rangle=\delta_{jk}$, $ j,k= 1,\ldots,n $), $ \langle,\rangle $ 相對於基底 $ {\mathcal U} $ 有矩陣 $ M_{\mathcal U}= I_n$, 這裡 $ I_n $ 為 $ n $ 維單位矩陣。

用矩陣語言表達為: 若 $ P $ 是 $ n $ 階非奇異的對稱矩陣, 則 $ P $ 相合於對角矩陣 $$ \left[\begin{array}{cccc} a_1 & 0&\cdots & 0 \\ 0 & a_2 &\cdots & 0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 &\cdots & a_n \end{array}\right], $$ 這裡 $ a_j\ne 0$, $ j=1,\ldots,n$; 即存在 $ n $ 階非奇異矩陣 $ Q$, 使得 $$ P= Q^T\,\left[\begin{array}{cccc} a_1 &0&\ldots & 0\\ 0 & a_2 &\ldots & 0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 &\ldots & a_n \end{array}\right] \,Q. $$

若 $ {\mathbb F} $ 為代數封閉體, 則 $ P $ 相合於 $I_n$, 即 $ P $ 可以寫成 $P=Q^T\,Q$, 這裡 $ Q$ 為 $ n $ 階非奇異矩陣。

若 $ {\mathbb F} $ 為實數體 $ {\mathbb R}$, $ {\mathbb R} $ 雖然不是代數封閉體, 但可取 $$ r_j= \frac{1}{\sqrt{|a_j|}},\qquad j=1,\ldots,n, $$ 於是 $$ M_{\mathcal U}= \left[\begin{array}{cccccc} 1 & \cdots & 0 &0 &\cdots &0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & \ldots & 1 &0 &\cdots &0\\ 0 & \ldots & 0 & -1 &\cdots &0\\ \cdots\\ 0 & \ldots & 0 &0 &\cdots &-1 \end{array}\right], $$ 即在主對角線上的元素, 一部分為 $ +1$, 一部分為 $ -1$, 也就是 $ {\mathcal V} $ 有一組正規正交基底 $ \{\vec u_1,\ldots$, $\vec u_k,\vec v_1,\ldots, \vec v_{n-k}\}$, 而 $ \langle\vec u_j,\vec u_j\rangle=1$, $ j= 1,\ldots,k$, $ \langle\vec v_j, \vec v_j\rangle=-1$, $ j= 1,\ldots,n-k $。

下面要證 $ k $ 由 $ \langle,\rangle $ 唯一決定, 而與 $ {\mathcal V} $ 的基底的選擇無關。記 $$ {\mathcal W}={\mbox{span}}\{\vec u_1,\ldots,\vec u_k\},\qquad {\mathcal P}={\mbox{span}}\{\vec v_1,\ldots,\vec v_{n-k}\}. $$ 若 $ \vec w=\sum_{l=1}^kw_l\vec u_l\in {\mathcal W}$, 則 \begin{eqnarray*} \langle\vec w,\vec w\rangle&=&\big\langle \sum_{l=1}^k w_l\vec u_l,\, \sum_{m=1}^k w_m\vec u_m\big\rangle=\sum_{l=1}^k\sum_{m=1}^kw_lw_m \langle\vec u_l,\vec u_m\rangle=\sum_{l,m=1}^kw_lw_m\delta_{lm}\\ &=&\sum_{l=1}^k w_l^2\ge 0. \end{eqnarray*} 同樣可證: 若 $ \vec p\,\in \,{\mathcal P}$, 則 $ \langle\vec p,\vec p\rangle\,\le\, 0 $。 如果 $ {\mathcal V} $ 有另一組正交基底, $ \{\vec u_1^\prime,\ldots, \vec u_\ell^\prime,\vec v_1^\prime,\ldots, \vec v_{n-\ell}^\prime \}$, 而 $ \langle\vec u_j^\prime,\vec u_j^\prime \rangle=1$, $ j= 1,\ldots,\ell$, $ \langle\vec v_j^\prime,\vec v_j^\prime \rangle=-1$, $ j= 1,\ldots,n-\ell$, 記 $$ \widetilde {\mathcal W}={\mbox{span}}\{\vec u_1^\prime,\ldots,\vec u_\ell^\prime \},\qquad \widetilde {\mathcal P}={\mbox{span}}\{\vec v_1^\prime,\ldots,\vec v_{n-\ell}^\prime \}. $$ 則 $$ {\mathcal W}\,\cap\,\widetilde {\mathcal P}=\{\vec 0\}. $$ 這是因為: 若 $ \vec w\in {\mathcal W}\,\cap\,\widetilde {\mathcal P}$, 則由於 $ \vec w\in {\mathcal W}$, 我們有 $ \langle\vec w,\vec w\rangle\,\ge\,0$; 但另一方面 $ \vec w\in \widetilde {\mathcal P}$, 我們有 $ \langle\vec w,\vec w\rangle\,\le\,0$, 因此, $ \langle\vec w,\vec w\rangle=0$, 故 $ \vec w=\vec 0 $。 由於 $ {\mathcal W} $ 與 $ \widetilde {\mathcal P} $ 均為子空間, 且其交集合為 $ \{\vec 0\}$, 故由命題2.1.4, $$ {\mbox{dim}}({\mathcal W})+{\mbox{dim}}(\widetilde {\mathcal P})\,\le\,{\mbox{dim}}({\mathcal V}), $$ 即 $ k+(n-\ell)\,\le\,n$, 也就是 $ k\,\le\,\ell $。 同理可證 $ \ell \,\le\, k $, 故 $ \ell = k $。 歸納起來, 我們有如下定理:

定理2.3.6 (Sylvester 慣性定理): 若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為 $ n $ 維實數體 $ {\mathbb R} $ 上的非奇異的對稱度量向量空間, 則 $ {\mathcal V} $ 有正交基底 $ {\mathcal B}=\{\vec u_1,\ldots, \vec u_k,\vec v_1,\ldots, \vec v_{n-k}\}$, 使得 $ \langle\vec u_j,\vec u_j\rangle=1$, $ j= 1,\ldots,k$, $ \langle\vec v_j, \vec v_j\rangle=-1$, $ j= 1,\ldots,n-k$; 在基底 $ {\mathcal B} $ 下, $ \langle,\rangle $ 的矩陣為 $$ M_{\mathcal B}= \left[\begin{array}{cc} I_k & 0\\ 0 & -I_{n-k} \end{array}\right], $$ 這裡 $ k $ 由 $ \langle,\rangle $ 唯一決定, 而與 $ {\mathcal V} $ 的基底之選取無關。

用矩陣語言表達為:

若 $ P $ 為實數體 $ {\mathbb R} $ 上的非奇異的對稱矩陣, 則 $ P $ 相合於 $$ \left[\begin{array}{cc} I_k & 0\\ 0 & -I_{n-k} \end{array}\right], $$ 這裡 $ k $ 由 $ P $ 唯一決定, 即存在 $ n $ 階非奇異的對稱矩陣 $ Q$, 使得 $$ P= Q^T\, \left[\begin{array}{cc} I_k & 0 \\ 0 & -I_{n-k} \end{array}\right]\, Q. $$ 如果用雙線性形式的語言來說, 則 $ e $ 與 $ f $ 可以總結為如下的結論。

若 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 為數體 $ {\mathbb F} $ 上的 $ n $ 維非奇異度量空間, 則

(i). 若 $ \langle,\rangle $ 為斜對稱, 則存在 $ {\mathcal V} $ 上的一組基底 $ {\mathcal B}$, 使得對任意 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V}$, 有 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle =x_1y_2-x_2y_1+\cdots+x_{n-1}y_n-x_ny_{n-1}, $$ 這裡 $ [x_1,\ldots,x_n]^T $ 與 $ [y_1,\ldots,y_n]^T $ 分別為 $ \vec x,\vec y $ 在基底 $ {\mathcal B} $ 下的座標。

(ii). 若 $ \langle,\rangle $ 為對稱, 則存在 $ {\mathcal V} $ 上的一組正交基底 $ {\mathcal B}=\{\vec u_1,\ldots,\vec u_n\}$, 使得對任意 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V}$, 有 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle = \sum_{j=1}^n a_jx_jy_j, $$ 這裡 $ [x_1,\ldots,x_n]^T $ 與 $ [y_1,\ldots,y_n]^T $ 分別為 $ \vec x,\,\vec y $ 在基底 $ {\mathcal B} $ 下的座標, 而 $ a_j=\langle\vec u_j,\vec u_j\rangle$, $ j= 1,\ldots,n $。 若 $ {\mathbb F} $ 是代數封閉體, 則存在 $ {\mathcal V} $ 的一組正交基底 $ {\mathcal B}=\{\vec v_1,\ldots,\vec v_n\}$, 使得對任意 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V}$, 有 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle = \sum_{j=1}^n x_jy_j. $$ 若 $ {\mathbb F} $ 是實數體 $ {\mathbb R}$, 則存在 $ {\mathcal V} $ 的一組正交基底 $ {\mathcal B}=\{\vec u_1,\ldots, \vec u_k,\vec v_1,\ldots, \vec v_{n-k}\}$, 使得對任意 $ \vec x,\,\vec y\in {\mathcal V}$, 有 $$ \langle\vec x,\vec y\rangle =\sum_{j=1}^k x_jy_j-\sum_{j=k+1}^nx_jy_j, $$ 這裡 $ [x_1,\ldots,x_n]^T $ 與 $ [y_1,\ldots,y_n]^T $ 分別為 $ \vec x,\,\vec y $ 在基底 $ {\mathcal B} $ 下的坐標, 而 $ k $ 只與 $ \langle,\rangle $ 有關, 而與 $ {\mathcal V} $ 的基底之選取無關。 特別對二次型式 $ \langle\vec x,\vec x\rangle $ 可表為 $$ \langle\vec x,\vec x\rangle = \sum_{j=1}^n a_jx_j^2. $$ 當 $ {\mathbb F} $ 是代數封閉體時, $$ \langle\vec x,\vec x\rangle = \sum_{j=1}^n x_j^2. $$ 當 $ {\mathbb F} $ 是實數體 $ {\mathbb R} $ 時, $$ \langle\vec x,\vec x\rangle = \sum_{j=1}^k x_j^2-\sum_{j=k+1}^n x_j^2. $$

2.4內積空間

當 $ {\mathbb F} $ 是實數體 $ {\mathbb R} $ 或複數體 $ {\mathbb C} $ 時, $ {\mathcal V} $ 就是大家十分熟悉的歐氏空間, 這是非常重要且有很多應用的內積空間。

定義2.4.1: 若 $ {\mathcal V} $ 是 $ {\mathbb F} $ 上的向量空間, 這裡 $ {\mathbb F} $ 是實數體 $ {\mathbb R} $ 或複數體 $ {\mathbb C}$, 若存在映射 $$ \langle,\rangle \,:\,{\mathcal V}\times {\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathbb F} $$ 滿足

1. 正定性(positive definiteness) : 對所有 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 有 $$ \langle\vec v,\vec v\rangle\,\ge\, 0. $$ 而 $ \langle\vec v,\vec v\rangle= 0 $ 若且唯若 $ \vec v=\vec 0 $。
2. 當 $ {\mathbb F} $ 為 $ {\mathbb C} $ 時, 有共軛對稱(或Hermite對稱) $$ \langle\vec u,\vec v\rangle= \overline {\langle\vec v,\vec u\rangle}. $$ 當 $ {\mathbb F} $ 為 $ {\mathbb R} $ 時, 有對稱性 $$ \langle\vec u,\vec v\rangle= \langle\vec v,\vec u\rangle. $$
3. 第一座標是線性的(linearity in the first coordinate) : 對所有的 $ \vec u,\, \vec v,\,\vec w\in {\mathcal V} $ 及 $ \alpha,\,\beta\in {\mathbb F}$, 有 $$ \langle\alpha\vec u+\beta\vec v,\vec w\rangle= \alpha\,\langle\vec u,\vec w\rangle + \beta \,\langle\vec v,\vec w\rangle. $$ 則稱 $ \langle,\rangle $ 為 $ {\mathcal V} $ 上的內積(inner product), 有內積的向量空間稱為內積空間(inner product space)。當 $ {\mathbb F} $ 為 $ {\mathbb R} $ 時, 稱內積空間為實歐氏空間, 顯然這是一個正定的非奇異度量空間。

當 $ {\mathbb F} $ 為 $ {\mathbb C} $ 時, 稱內積空間為複歐氏空間, 也稱酋空間 (unitary space)。 此時由 (b) 及 (c) 可得:

對所有的 $ \vec u,\, \vec v,\,\vec w\in {\mathcal V} $ 及 $ \alpha,\,\beta\in {\mathbb F}$, 有 $$ \langle\vec w,\alpha\vec u+\beta\vec v \rangle= \bar\alpha\,\langle\vec w,\vec u\rangle + \bar \beta \,\langle\vec w,\vec v\rangle, $$ 稱為共軛線性(conjugate linearity)。因此, 此時 $ \langle,\rangle $ 不是雙線性型式, 故 $ ({\mathcal V},\langle,\rangle) $ 不是度量向量空間。

若 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 稱 $$ \|\vec v\|= \sqrt{\langle\vec v,\vec v\rangle} $$ 為 $ {\mathcal V} $ 的長度(length)或範數(norm)。若 $ \vec u,\,\vec v\in {\mathcal V}$, 稱 $ \|\vec u-\vec v\| $ 為 $ \vec u,\vec v $ 之間的距離(distance)。 記作 $ d(\vec u,\vec v) $。有了距離的概念, 就可以在 $ {\mathcal V} $ 上定義向量序列的收斂, 集合的閉(open)、開(closed)、鄰域(neighborhood)、緊緻(compact)、連通(connectedness)、 完備性(completeness)以及連續(continuity)等概念。還可以有

1. (Cauchy不等式) 對所有的 $ \vec u,\, \vec v\in {\mathcal V}$, 有 $$ \big|\langle\vec v,\vec v\rangle\big|\,\le\, \|\vec u\|\,\|\vec v\|; $$
2. (三角不等式) 對所有的 $ \vec u,\, \vec v\in {\mathcal V}$, 有 $$ \|\vec u+\vec v\|\,\le\, \|\vec u\|+\|\vec v\|; $$
3. (平行四邊形法則) 對所有的 $ \vec u,\, \vec v\in {\mathcal V}$, 有 $$ \|\vec u+\vec v\|^2+\|\vec u-\vec v\|^2= 2\|\vec u\|^2+2\|\vec v\|^2; $$
4. (距離的三角不等式) 對所有的 $ \vec u,\, \vec v,\, \vec w\in {\mathcal V}$, 有 $$ d(\vec u,\,\vec v)\,\le\, d(\vec u,\,\vec w)+ d(\vec w,\,\vec v); $$ 等等。

我們還可以由範數直接定義範數線性空間。若 $ {\mathcal V} $ 是一個向量空間, 且在 $ {\mathcal V} $ 上有函數 $$ \|\cdot\|\,:\,{\mathcal V}\,\rightarrow\, {\mathbb R}, $$ 滿足

1. $ \|\vec v\|\,\ge\, 0$, 且 $ \|\vec v\|= 0 $ 若且唯若 $ \vec v= \vec 0$;
2. 對所有 $ \alpha\in {\mathbb F} $ 與 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 有 $ \|\alpha\,\vec v\|= |\alpha|\,\|\vec v\|$;
3. 對所有 $ \vec u,\,\vec v\in {\mathcal V}$, 有 $$ \|\vec u+\vec v\|\,\le\, \|\vec u\|+\|\vec v\|. $$

則稱 $ \|\cdot\| $ 為 $ {\mathcal V} $ 上的一個範數, $ ({\mathcal V},\|\cdot\|) $ 稱為範數線性空間 (normed linear space)。這是內積空間的一種推廣。對內積空間, 也可以仿照上一節中那樣來定義正交的概念, 只是用內積來代替雙線性型式, 於是可以有正交補空間、 正交基底及 Riesz 表示定理等。我們在這裡只敘述 Riesz 表示定理。

若 $ {\mathcal V} $ 是一個有限維內積空間, $f\in {\mathcal V}^\ast$, 則存在唯一的向量 $ \vec x\in {\mathcal V}$, 使得對任意的 $ \vec v\in {\mathcal V}$, 有 $$ f(\vec v)= \langle \vec v,\vec x\rangle. $$ 有關這個定理之證明及對於內積空間進一步的討論, 我們將在3.3節及3.5節中進行。

---本文作者龔昇任教於中國科技大學; 張德健任教於美國 Georgetown University 數學系---