頃閱「數學傳播」第121期(民國96年3月)中有一文"方程式之根的 $n$ 次方之和的解法"作者為張力友先生。 他在文中發表了他的教學心得證明了下述結果: 若 $f(x)$ 為一 $n$ 次方程式且 $\alpha_{i}$ $(i=1,2,\ldots,n)$ 為其根。 令 $s_{k}=\alpha_{1}^{k}+\alpha_{2}^{k}+\cdots+\alpha_{n}^{k}$, 則 \begin{equation} \frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^\infty \frac{s_k}{x^{k+1}} \end{equation} 我想就此結果表示三點意見如下:

1. (1)式為早已熟知的結果, 可參見任何方程式論之專著。 譬如文獻 第172頁即有相同之結論。
2. (1)式也可推廣至下式: $$ \frac{f'(x)}{f(x)} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{s_{-k}}{x^{k-1}} \quad\hbox {(當然 $\alpha_{i}$ 均不為0)} $$ 這也是早已熟悉的結果。(見文獻 第172頁)。
3. 下述之牛頓公式(有關對稱多項式)(請見參考文獻 )也可利用來求 $s_{k}$ $(k\ge 1)$ 之值。

若 $f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}$, 則 \begin{eqnarray*} &&s_{1}+a_{1}=0\\ &&s_{2}+a_{1}s_{1}+2a_{2}=0\\ &&s_{3}+a_{1}s_{2}+a_{1}s_{1}+3a_{3}=0\\ &&\hskip 2cm\vdots\\ &&s_{n}+a_{1}s_{n-1}+a_{2}s_{n-2}+\cdots+na_{n}=0 \end{eqnarray*} 由上式方程式組可求出 $s_{n}$ 如下: $$ (-1)^{m}s_{m}= \left|\begin{array}{ccccc} a_{1}&1&0&\cdots&0\\ 2a_{2}&a_{1}&1&\cdots&0\\ &a_{2}&a_{1}&&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&&1\\ ma_{m}&a_{m-1}&a_{m-2}&\cdots&a_{1} \end{array}\right|,\quad m=1,2,\ldots,n. $$

利用上述行列式即可求出 $s_{m}$ 由係數 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ 表示出的值。

當 $m\gt n$ 時, 可用下式求出 $s_{m}$ 之值 $$ s_{m}+a_{1}s_{m-1}+\cdots+a_{n-1}s_{m-n+1}+a_{n}s_{m-n}=0 $$

---本文作者任教於美國內華達大學---