一、引言

著名的美國數學家李學數教授在《數學與數學家的故事》一書中, 講述了古今中外很多優美有趣的數學故事, 為枯燥乏味的數字家族增添了絢麗燦爛的色彩。 用飽蘸深情的妙筆, 綻開優美的數學之花。 用古今數學名人的實例啟迪後人, 熱愛數學, 研究數學。 李學數教授數學功底深厚, 才華橫溢, 涉獵面廣, 中西貫通, 所講故事深入淺出, 情趣盎然。 這套叢書發人深省, 啟始肇端。學生愛好, 成人喜歡。用現代的詞語可說是充滿了「正能量」不可多得、必不可少的好書！

二、有趣的平方數

在《數學與數學家的故事》第 5 冊的第 14 頁至 16 頁「奇妙的平方數」一文中, 介紹了兩個有趣的平方數問題。

問題(1)：
$1233=12^2+33^2$
$8833=88^2+33^2$

問題(2)：
$956^2=913\ 936　　913+936=1849=(43)^2$
$957^2=915\ 849　　915+849=1764=(42)^2$
　　$\vdots$　　　　　　　　　　$\vdots$
可以一直續算到 968,
$968^2=937\ 024　　937+024=961=(31)^2$
從 956, 957, $\ldots$, 968 共有 13 組連續數的解。 這是不是很奇妙？

以上結果是一個印度年輕人發現的, 你能找到類似的例子嗎？

對於上述兩個問題, 筆者得到如下結果：

對於問題(1), 不妨設 $H=A^2+B^2$ 的和, 設兩個不相同的 $A$ 分別為 $A1$ 與 $A2$, 由於兩組的 $B$ 相同, 統稱為 $B$。 $B$ 的位數為 $K$。

由表 1 可知： $A2=10^K-A1$。 也就是說, 知道一個 $A1$, 就可以計算出 $A2$, 從而得到兩組平方數, 一根藤上兩個瓜。

我們約定: 由

$A1^2+B^2=H1$ 組成的平方數組, 稱為「本原解數組」簡稱「本原解」,
$A2^2+B^2=H2$ 組成的平方數組, 稱為「對偶解數組」簡稱「對偶解」。

平方數組的這一性質與卡布列克(KABULEK)數組的對偶解相同, 可說有「同工異曲之妙」。

問題(1)得到的結果見表 1：

$H=A^2+B^2$	$A$	$B$ 為 2 位數	表 1
1233 ($H1$)	12　($A1$)	33	本原解
8833 ($H2$)	88　($A2$)	33	對偶解的 $B$ 相同
		$B$ 為 3 位數
10100	10　($A1$)	100	同 $B$ 者為對偶解
990100	990　($A2$)	100	以下不再注明
		$B$ 為 4 位數
588,2353	588	2353
9412,2353	9412	2353
		$B$ 為 5 位數
990,09901	990	09901
99010,09901	99010	09901
17650,38125	17650	38125
82350,38125	82350	38125
25840,43776	25840	43776
74160,43776	74160	43776
		$B$ 為 6 位數
116788,321168	116788	321168
883212,321168	883212	321168
123288,328768	123288	328768
876712,328768	876712	328768

對於問題(2), 分別設 $X$、$A$、$B$ 為互不相同的自然數, $Q$ 為 $(A+B)$ 之和的平方根, 他們之間的關係如表 2 所示。

奇妙的特性：

1. $X$ 為連續數公差為 1 遞增, 上升。
2. $A$ 是 $X^2$ 的前(左)半部分, $B$ 是 $X^2$ 的後(右)半部分。 $A$ 的元素全部是奇數, 且公差為 2 遞增。
3. $A+B$ 之和全是平方數。
4. $Q$ 為連續數公差為 1 依次遞減, 下降。
5. $Q+X$ 之和全部為 ``9", 其``9" 的位數與 $X$ 的位數相同, 「恒 9(久)」。

當 $X$ 為 9 位數時, 可以得到 13099 組連續解。 能否得到更多的連續解呢？ 回答是肯定的, 只要你有時間。 當然, 你可以命令電腦輕鬆完成！

結果見表 2.

$X$ 為 2 位數
$X$	$X^2$	$A$	$B$	$A+B$	$Q$	$X+Q$
86	7396	73	96	169	13	99
87	7569	75	69	144	12	99
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
90	8100	81	00	81	9	5組連續解
$X$ 為 3 位數
956	913936	913	936	1849	43	999
957	915849	915	849	1764	42	999
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
968	937024	937	024	961	31	13組連續解
$X$ 為 4 位數
9859	97199881	9719	9881	19600	140	9999
9860	97219600	9721	9600	19321	139	9999
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
9900	98010000	9801	0000	9801	99	42組連續解
$X$ 為 5 位數
99553	9910799809	99107	99809	198916	446	99999
99554	9910998916	99109	98916	198025	445	99999
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
99683	9936700489	99367	00489	99856	316	131組連續解
$X$ 為 6 位數
998586	997173,999396	997173	999396	1996569	1413	999999
998587	997175,996569	997175	996569	1993744	1412	999999
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
999000	998001,000000	998001	000000	998001	999	415組連續解
$X$ 為 7 位數
9995528	9991057,9998784	9991057	9998784	19989841	4471	9999999
9995529	9991059,9989841	9991059	9989841	19980900	4470	9999999
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
9996837	9993675,0004569	9993675	0004569	9998244	3162	1310組連續解
$X$ 為 8 位數
99985858	99971717,99996164	99971717	99996164	199967881	14141	99999999
99985859	99971719,99967881	99971719	99967881	199,939,600	14140	99999999
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
99990000	99980001,00000000	99980001	00000000	99980001	9999	4143組連續解
$X$ 為 9 位數
999955279	999910559,999967841	999910559	999967841	1999878400	44720	999999999
999955280	999910561,999878400	999910561	999878400	1999788,961	44719	999999999
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
999968377	999936755,000014129	999936755	000014129	999950884	31,622	13099組連續解

三、奇妙的四季數

四季數的發現

蘇東坡曰：「舊書不厭百回讀, 熟讀深思子自知。」

在探討平方數的時候, 幻方的影子時常在腦子裡遊蕩, 每當遇到難題或有空隙時間, 總喜歡查看河圖、 洛書, 在河圖與洛書的構造上來尋找答案, 這是多年之「癖」。也許是老祖宗偏袒的緣故, 只要專心看幾次, 一般會有收穫。 看「洛書」(圖1)已不知多少次了 ！

突然間, 看到四角全部是偶數的洛書圖, 突發靈感, 發現:

$2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$ (把洛書中的 1 與 6, 看作 16)

$2^{16}=4^8=16^4$, $\ldots$,

於是, 產生了「冪次和」傳遞循環的思想： 設 $A,B,C,D$ 為互不相同的正整數。 若 \begin{equation} A^B=B^C=C^D=D^A (ABCD) \label{1} \end{equation} 則稱 $A^B$ 或 $B^C$ 或 $C^D$ 或 $D^A(ABCD)$ 為「四季數」。

「四季數」的最小解是 65536。

當 $A=2$, $B=16$, $C=4$, $D=8$ 時 \eqref{1} 式成立。

即： $2^{16}=16^4=4^8=8^2\times (2\times 16\times 4\times 8)=65536$

在上式中, 把 $A$、$B$、$C$、$D$ 四個數巧妙的傳遞並連接起來, 每個數都使用三次, 不偏不倚, 奇妙無比。

「四季數」的命名是根據《莊子》「知北遊」：「天地有大美而不言, 四時有明法而不議, $\ldots\ldots$, 」衍生而來。 四季循環, 生生不息。並且洛書的發源地 --- 黃河流域, 是四季最明顯的地區。

「四季數」是從我國的三階幻方(圖1)裡得到的。 三階幻方不僅僅是行、 列及對角線上 3 個數之和等於 15, 還有很多鮮為人知神奇奧妙的性質, 待另敘。

古人把構造三階幻方的方法概括為「戴九履一, 左三右七, 二四為肩, 六八為足, 五居其中。」

為什麼稱「二四為肩, 六八為足」呢？ 這是一般人認為特別膚淺與可笑的問題。 也難怪呀, 老子曰： 「上士聞道, 勤而行之; 中士聞道, 若存若亡; 下士聞道大笑, 不笑, 不足以為道。」 一個新思想、新事物的出現總會有人懷疑或恥笑, 以不屑的眼光看待之。

為什麼「二四為肩」呢？筆者認為：所謂「肩」, 就是要兩肩平衡、平等, 故而產生了「比肩」一詞。 那麼, 它與本文的數字有什麼關係呢？君請看： $$2^4 = 4^2.$$

這是唯一一對, 底數與指數可以互換, 且其冪和相等的兩個數。 經過左肩與右肩的相互作用, $2^4$ 與 $4^2$ 可以劃等號, 就能理解「二四為肩」的意義了。

為什麼「六八為足」呢？

這要從「九」談起, 古人視「九」為最大、最神聖的數字, 故洛書有「戴九履一」, 「九」居其上。 下面的六、一、八之意義在於： $$9^3 = 8^3+1^3+6^3.$$

也就是說, $9^3$ 囊括了 $6^3+1^3+8^3$ 的總和, 故 9 在上, 為首。 8、 1、 6 在下而為足。 並且 $9^2=81$, 9、 2 在上, 81 在下。 還有更加神奇的奧秘將在另篇敘述。

那麼, 它與 65536 有什麼聯繫呢？

四季數的淵源

近幾百年來, 由於「哥德巴赫猜想」的影響力, 數學界對素數倍感興趣, 忽略了對偶數的探討。 筆者發現洛書的四隅角是四個偶數, 分別為 2, 4, 8, 16 (這裡同樣把 1 與 6 看作 16)。

我們對洛書(圖1)的偶數, 從上角向下垂直方向進行組合分析：

4	9	2
3	5	7
8	1	6

圖 1

把右上角的 2 與右下角的 16 組合得： $2^{16}=65536$.

把左上角的 4 與左下角的 8 組合得： $4^8=65536$.

再對洛書四角偶數進行交叉組合：

把右下角的 16 與左上角的 4 組合得 $16^4=65536$.

把左下角的 8 與右上角的 2 組合及四隅角的四個數之積, 得： $$8^2\times 2\times 4\times 8\times 16=65536.$$ 整理上述幾個等式, 得: $$2^{16}=16^4=4^8=8^2\times (2 \times 4\times 8\times 16)=65536.$$ 於是, 就誕生了這個「四季數」。

有趣的是, 在上述式子中, 這四個偶數既可作底數, 又可作指數, 又可作因數, 互相循環。 可說是「能上(作指數)、 能下(作底數)、能居中(作因數)」, 一個小小四季數竟然領悟了「中庸」之道： 上中下皆可適應, 左中右無所不能。 一個奇妙的「數字團體」, 竟然領略了人類的屬性：能大、能小、能曲、能伸。

可首尾易換 (百姓與總統平等, 萬眾歡呼稱讚),

能前後兼顧 (富裕周濟貧窮, 令貪官污吏汗顏)。

妙哉！ 並且每個偶數都恰恰出現三次, 不多不少, 絕對平均。 從而, 完成了鮮為人知的歷史使命 --- 誕生了「這個奇妙的四季數」。

從洛書裡找到了這個「四季數」的答案, 並不是歪打正著, 這個事例再次說明, 起源於中國古代的「河圖、洛書」蘊藏了無窮無盡的珍寶, 等待著眼光窅茫之人的擷取與開發。 目前從河圖、洛書中所汲取的成果比比皆是, 但不足其蘊藏量之萬一也！

「莫怪棗不甜, 只因時未到。」到那橙黃橘綠山花爛漫時, 河圖、 洛書必將綻放出更加奇異的絢麗光彩, 登上數學宮殿的大雅之堂而為世人所景仰！

另外, 《道德經》的「精髓」名言與四季數中的 $A$, $B$, $C$, $D$ 之傳遞關係:

道德經云： 人法地, 地法天, 天法道, 道法自然。

又：道生一, 一生二, 二生三, 三生萬。 都是四傳遞關係。

「四季數」中的 $A$, $B$, $C$, $D$ 也是四傳遞關係： $A^B = B^C = C^D = D^A(ABCD)$.

是偶然的巧合呢？ 還是另有玄機？

問題： 1、是否存在由「奇數」構成的這類數呢？

2、是否存在 $n\gt 4$ 元素的這類數呢？

從三階幻方裡發現了這個神奇的「四季」數, 使我國古老的洛書大放異彩。

可說是：中國洛書, 源遠流長, 偶數集合, 再放光芒！

四、不是結語

最近發現, 四季數與費馬素數有蛛絲馬跡：

形如： ${\Bbb F}_n=2^{2^n}+1$ 得到的素數稱為費馬素數, 目前得到的費馬素數只有 5 個: \begin{eqnarray*} F_0 &=& 2^1 + 1 = 3\\ F_1 &=& 2^2 + 1 = 5\\ F_2 &=& 2^4 + 1 = 17\\ F_3 &=& 2^8 + 1 = 257\\ F_4 &=& 2^{16} + 1 = 65537 \end{eqnarray*} 65537 是目前所知的最大費馬素數, 亦即四季數 $65536+1$ 是目前最大的費馬素數。 而 65536 是最小的四季數, 至今尚未發現第二個四季數, 是偶然巧合？ 還是有必然聯繫呢？

希望把這個資訊傳播出去, 以便儘快解決費馬素數難題與四季數問題。

數學傳播, 傳播數學, 人人熱愛數學, 個個爭相傳播！

參考文獻

---本文作者任職中國河南省封丘縣科協---