很多數學的新發現大都是從猜想、估計開始的, 這些猜想再經過嚴密的論證推理, 獲得數學上的新結論。 因此, 在數學問題的探究中滲透合情推理的思想顯得尤為重要。 合情推理的學習不但可以豐富人們的科學思想, 也可以提高人們的辯證思維能力。 中學階段, 教師在數學教學過程中除了教授學生基礎知識, 更應該注重學生思維品質的形成, 注重把合情推理的思想貫穿於整個教學過程。 本文以一道例題教學實際談談合情推理在數學發現中的應用。

1. 例題及解答

例題： $A(1,2)$ 為 $\Gamma_0\!:\! y^2\!=\!4x$ 上一定點, 過 $P(5,-2)$ 作 $\Gamma_0$ 的弦 $BC$, 判斷 $\triangle ABC$ 的形狀。

教師引導學生思考如下問題：

問題1： 觀察題目中的條件, 指出隱含條件是什麼；如何用數量關係刻畫這一隱含條件。

學生討論得： (隱含條件) $B$, $C$, $P$ 三點共線；可以用直線 $BP$ 的斜率與直線 $CP$ 的斜率相等刻畫三點共線； 也可以用向量 $\overrightarrow {BP}$, $\overrightarrow {CP}$ 共線刻畫三點共線。

問題2： 判斷 $\triangle ABC$ 的形狀有哪些方法。

學生討論得：

方法 1：若知道 $\triangle ABC$ 三邊的長, 則可用餘弦定理求 $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$。 通過判斷 $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ 與 0 的大小, 從而判斷 $\triangle ABC$ 的形狀。

方法2：利用向量知識求 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$。 通過判斷 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$ 與 0 的大小, 從而判斷 $\triangle ABC$ 的形狀。

教師分析： 設 $B(x_1,y_1)$, $C(x_2,y_2)$, $y_1\not=y_2$。 $$\therefore\ \overrightarrow{BP}=(5-x_1,-2-y_1),\quad \overrightarrow{CP}=(5-x_2,-2-y_2),$$ $\because$ $B,C,P$ 三點共線, 所以向量 $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{CP}$ 共線, $$\therefore\ (5-x_1)(-2-y_2)=(5-x_2)(-2-y_1), \ \hbox{即} \ 5(y_1-y_2)+2(x_1-x_2)+x_1y_2-x_2y_1=0.$$ 代入 $x_1=\dfrac{y_1^2}4$, $x_2=\dfrac{y_2^2}{4}$ 化簡得： $20+2(y_1+y_2)+y_1y_2=0$。

接著, 嘗試計算 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$。 \begin{eqnarray*} &&\hskip -74pt \because\ \overrightarrow{AB}=(x_1-1,y_1-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(x_2-1,y_2-2),\\[6pt] \therefore\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=&(x_1-1)(x_2-1)+(y_1-2)(y_2-2)\\[6pt] &=&x_1x_2-(x_1+x_2)+y_1y_2-2(y_1+y_2)+5\\[6pt] &=&\frac 1{16}y_1^2y_2^2-\frac 14(y_1^2+y_2^2)+y_1y_2-2(y_1+y_2)+5\\[6pt] &=&\frac 1{16}[-20-2(y_1+y_2)]^2-\frac 14(y_1^2+y_2^2)-4(y_1+y_2)-15\\[6pt] &=&\frac 12 y_1y_2+(y_1+y_2)+10=0. \end{eqnarray*} $\therefore$ $AB\perp AC$, $\triangle ABC$ 是直角三角形。

2. 問題與思考

通過這道例題的教授, 能否使學生的思維在縱向和橫向上都得到發展？ 學生將知識遷移和整合的能力是否提高？ 這是數學教師應該深入思考的問題。 在數學教學中, 從特殊到一般, 利用合情推理的方式進行數學發現, 是一種常見的數學研究方法。 因此, 我們在合情推理的引領下進一步探究這道題目。

3. 合情推理引領探究

探究1： $A(1,2)$ 為拋物線 $y^2=4x$ 上一定點, $B$, $C$ 為拋物線上的點, 若 $AB\perp AC$, 則直線 $BC$ 有什麼特徵?

設直線 $BC$ 的方程為 $x=ty+s$。 代入 $y^2=4x$, 得： \begin{eqnarray*} &&\hskip -50pt y^2-4ty-4s=0\qquad \therefore\ y_1+y_2=4t,\ y_1y_2=-4s.\\ &&\hskip -50pt x_1+x_2=t(y_1+y_2)+2s=4t^2+2s,\quad x_1x_2=\frac 1{16}y_1^2y_1^2=s^2.\\ \hbox{由}\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=&(x_1-1)(x_2-1)+(y_1-2)(y_2-2)\\ &=&x_1x_2-(x_1+x_2)+y_1y_2-2(y_1+y_2)+5\\ &=&s^2-6s+5-8t-4t^2=[(1-s)-2t][(5-s)+2t]=0.\\ \therefore&&t=\frac{1-s}2\quad \hbox{或}\ t=-\frac{5-s}2. \end{eqnarray*} 若 $t\!=\!\dfrac{1\!-\!s}2$, 則直線 $BC$ 的方程為 $x\!=\!\dfrac{1\!-\!s}2y\!+\!s$, 即 $2(x\!-\!1)\!-\!(1\!-\!s)(y\!-\!2)\!=\!0$(捨去)。

若 $t\!=\!-\dfrac{5\!-\!s}2$, 則直線 $BC$ 的方程為 $x\!=\!-\dfrac{5\!-\!s}2y+s$, 即 $2(x\!-\!5)\!+\!(5\!-\!s)(y\!+\!2)\!=\!0$。 顯然直線 $BC$ 過定點 $(5,-2)$。

接著, 思考一般情況。

探究2： $A(m,n)$ 為拋物線 $y^2=4cx$ $(c\gt 0)$ 上一定點, $B$, $C$ 為拋物線上的點, 若 $AB\perp AC$, 則直線 $BC$ 有什麼特徵?

類比探究 1, 有：

設直線 $BC$ 的方程為 $x=ty+s$, 代入 $y^2=4cx$, 得： \begin{eqnarray*} &&\hskip -50pt y^2-4tcy-4sc=0\qquad \therefore\ y_1+y_2=4tc,\ y_1y_2=-4sc.\\ &&\hskip -50pt x_1+x_2=t(y_1+y_2)+2s=4t^2c+2s,\quad x_1x_2=\frac 1{16c^2}y_1^2y_1^2=s^2.\\ \hbox{由}\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=&(x_1-m)(x_2-m)+(y_1-n)(y_2-n)\\ &=&x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2+y_1y_2-n(y_1+y_2)+n^2\\ &=&s^2+m^2+n^2-2ms-4sc-4nct-4cmt^2\\ &=&s^2+m^2+4cm-2ms-4sc-4nct-n^2t^2\\ &=&[(m-s)-nt][(m+4c-s)+nt]=0.\\ \therefore&&t=\frac{m-s}n\quad \hbox{或}\ t=-\frac{m+4c-s}n. \end{eqnarray*} 若 $t\!=\!\dfrac{m\!-\!s}{n}$, 則直線 $BC$ 的方程為 $x\!=\!\dfrac{m\!-\!s}{n}y\!+\!s$, 即 $n(x\!-\!m)\!-\!(m\!-\!s)(y\!-\!n)\!=\!0$(捨去)。

若 $t\!=\!-\dfrac{m\!+\!4c\!-\!s}{n}$, 則直線 $BC$ 的方程為 $x\!=\!-\dfrac{m\!+\!4c\!-\!s}ny\!+\!s$, 即 $n(x\!-\!m\!-\!4c)\!+\!(m\!+\!4c\!-\!s)(y\!+\!n)\!=\!0$。

顯然直線 $BC$ 過定點 $(m+4c,-n)$。

4. 結論提煉

由上面探究過程, 得到如下結論：

結論1： $A(m,n)$ 為拋物線 $y^2=4cx$ $(c\gt 0)$ 上一定點, $B$, $C$ 為拋物線上的點, 若 $AB\perp AC$, 則直線 $BC$ 過定點 $(m+4c,-n)$。

結論2： $A(m,n)$ 為拋物線 $y^2=4cx$ $(c\gt 0)$ 上一定點, 過定點 $(m+4c,-n)$ 的直線 $BC$ 交拋物線於 $B$, $C$ 兩點, 則 $AB\perp AC$。

結論 2 的證明是容易的, 本文就不再給出證明過程。

進一步思考, 發現結論 1 中 「$AB\perp AC$」 即直線 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 與直線 $AC$ 的斜率 $k_{AC}$ 滿足 「$k_{AB}k_{AC}=-1$ (定值)」。 若 $k_{AB}k_{AC}=k$ (定值), 那麼直線 $BC$ 是否仍過定點。 實際上, 類似與探究 2 的解答過程就得到：

結論3： $A(m,n)$ 為拋物線 $y^2=4cx$ $(c\gt 0)$ 上一定點, $B$, $C$ 為拋物線上的點, 若直線 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 與直線 $AC$ 的斜率 $k_{AC}$ 滿足 $k_{AB}k_{AC}=k$ (定值), 則直線 $BC$ 過定點 $(m-\dfrac{4c}k,-n)$。

再逆向思考問題, 又得到：

結論4： $A(m,n)$ 為拋物線 $y^2=4cx$ $(c\gt 0)$ 上一定點, 過定點 $(m-\dfrac{4c}k,-n)$ 的直線 $BC$ 交拋物線於 $B$, $C$ 兩點, 則直線 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 與直線 $AC$ 的斜率 $k_{AC}$ 滿足 $k_{AB}k_{AC}=k$ (定值)。

結論 4 的證明也是容易的, 本文就不再給出證明過程。

5. 結束語

正如數學家波利亞所說：「我們靠論證推理來肯定我們的數學知識, 而靠合情推理來為我們的猜想提供依據」。 因此, 在數學教學中教師要持之以恆、 循序漸進的培養學生合情推理的意識。

---本文作者任教中國陝西省漢中市略陽縣天津高級中學---