黃武雄教授日前推出巨著《大域微分幾何》三冊。為輔助初入門者,將重新出版《初等微分幾何講稿》。黃老師概要解說了大書和小書的關聯。而如葉宗樺先生所言,黃老師其實想和讀者分享一個精彩的故事。容我也來說這個故事。
1827年,Gauss提出Theorema Egregium,證明高斯曲率$K$是曲面的內在(intrinsic) 不變量,在局部等距變換下保持不變。繼之,古典Gauss-Bonnet定理說:對封閉有向的二維黎曼流形$M$,有$\int_M K dA=\chi (M)$,其中$\chi (M)$是$M$的尤拉示性數。1931年,Heinz Hopf提問:Gauss-Bonnet定理可否推廣至任意偶數維度?1943年,Allendoerfer及André Weil解決了此問題,論證繁複。1944年,陳省身先生套用Élie Cartan的活動標架理論,對此提出內在證明,簡潔俐落,影響深遠。此即所謂的Gauss-Bonnet-Chern定理;對封閉有向的偶數$d$維黎曼流形$M$,該定理說:$\int_M \Omega=\chi (M)$,其中$\Omega$為曲率 2-form建構出的內在$d$-form。
在大域幾何,由於微分式 (differential form) 與代數拓樸的深刻關聯,曲率form比曲率張量好用些。而陳先生應用了Poincaré-Hopf 指標定理,把大域的拓樸資訊局部化,將 $\chi (M)$ 計為向量場零點的degree總和。
考慮$M$上的投影球叢 (projective sphere bundle) $SM$。利用投影$\pi :SM\to M$將$\Omega$拉回$SM$,陳先生證明:存在$SM$上的$(d-1)$-form $\Pi$使得$\pi^* \Omega =d\Pi$。現選取$M$上具孤立奇異點$\{x_i,i\in I\}$的球面束$S$;用 $\pi |_S$將$\int_{M\backslash \bigcup_{i\in I} \overline{B(x_i)}}\Omega$拉回$S$,其中$B(x_i)$是環$x_i$的小球。於是有$\int_{M\backslash \bigcup_{i\in I} \overline{B(x_i)}}\Omega=\int_S d\Pi|_S=\int_{\pi|_S^{-1}(\bigcup_{i\in I} \overline{B(x_i)})}\Pi$。由Poincaré-Hopf 指標定理知:當球$B(x_i)$的半徑趨近於零,上述積分趨近於$\chi (M)\int_{SM_x} \Pi$。但$\int_{SM_x}\Pi =1$, 故證得Gauss-Bonnet-Chern定理。
去讀黃老師的書,聽他說故事,和他一起探索,尋幽訪勝,分享他獨到的眼光和視野。
張海潮教授講述「微積分基本定理」,並且以速度、加速度的運動學觀點,解釋二次微分如何決定函數圖形的凹凸性。張教授沒用任何術語,寫下高中生都能看懂的文章。
在課堂上,老師傳達給學生的,不僅是知識,還有對數學的熱情及自信。遠距教學時、閱讀文章時亦是如此。人與人的連結總是存在,真實不虛。
大疫,祝安好。
梁惠禎 2021年6月