發刊日期 |
2024年3月
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標題 | 廣義柯西不等式之證明的再探 |
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一、前言筆者利用Google搜尋「廣義柯西不等式」這串關鍵字後, 發現出現的頭兩篇文章是 定理1 (廣義柯西不等式): 任給 $m\times n$ 個非負實數 $$\begin{array}{cccc} a_{11},&a_{12},&\cdots ,&a_{1n},\\ a_{21},&a_{22},&\cdots ,&a_{2n},\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1},&a_{m2},&\cdots ,&a_{mn},\end{array}$$ 其中 $m,n\ge 2$, 則有以下的不等式: \begin{align} &\hskip -15pt ({a_{11}}^m\!+\!{a_{12}}^m\!+\!\cdots\!+\!{a_{1n}}^m )({a_{21}}^m\!+\!{a_{22}}^m\!+\!\cdots\!+\!{a_{2n}}^m )\cdots({a_{m1}}^m\!+\!{a_{m2}}^m\!+\!\cdots\!+\!{a_{mn}}^m )\nonumber\\ &\ge (a_{11} a_{21}\cdots a_{m1}+a_{12} a_{22}\cdots a_{m2}+\cdots+a_{1n} a_{2n}\cdots a_{mn})^m.\label{1} \end{align} 注意 \eqref{1} 式上方寫成 $m$ 列的 $m\times n$ 個非負實數中若有某一列的 $n$ 個數全部為零, 則 \eqref{1} 式不等號兩側均為 0, 故 \eqref{1} 式成立。 因此接下來我們只需關心 \eqref{1} 式上方的 $m$ 列數其每一列的 $n$ 個數皆不全為零的情況, 在此情況下對滿足 $1\le i\le m$ 的任一個 $i$ 值而言皆有 \begin{align} {a_{i1}}^m+{a_{i2}}^m+\cdots+{a_{in}}^m\gt0.\label{2} \end{align} 將 \eqref{1} 式上方的 $m\times n$ 個非負實數寫成 $m\times n$ 矩陣如下: \begin{align} \left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ ~a_{m1}~&~a_{m2}~&~\cdots~&~a_{mn}~ \end{array}\right],\label{3} \end{align} 則 \eqref{1} 的左式就是先計算矩陣 \eqref{3} 的每一列(共 $m$ 列)所有元素的 $m$ 次方和得到 $m$ 個數後, 再計算這 $m$ 個數的乘積; 而 \eqref{1} 的右式則是先計算矩陣 \eqref{3} 的每一行(共 $n$ 行)所有元素相乘而得 $n$ 個乘積後, 再計算 $n$ 個乘積之和的 $m$ 次方。 筆者發現, 將 \eqref{1} 式改寫成與它等價的下式會較容易看出如何證明它: \begin{align} &\hskip -15pt {\root m\of {{a_{11}}^m+{a_{12}}^m+\cdots+{a_{1n}}^m}}\times {\root m\of {{a_{21}}^m+{a_{22}}^m+\cdots+{a_{2n}}^m}}\times \cdots\nonumber\\ &\times {\root m\of {{a_{m1}}^m+{a_{m2}}^m+\cdots+{a_{mn}}^m}}\nonumber\\ \ge\,& a_{11} a_{21}\cdots a_{m1}+a_{12} a_{22}\cdots a_{m2}+\cdots+a_{1n} a_{2n}\cdots a_{mn}. \label{4} \end{align} 在底下第二節中, 筆者將設法寫下 \eqref{4} 式的證明, 藉此完成 \eqref{1} 式的證明, 寫下此證明的動機是希望在 二、不等式之證明的再探如同前一節最後一段所述, 本節內容將證明不等式 \eqref{4} 與 \eqref{1}, 除此之外也會介紹不等式 \eqref{1} 等號成立的充要條件。 觀察 \eqref{4} 式後, 我們令 $$M_i={\root m\of{{a_{i1}}^m+{a_{i2}}^m+\cdots+{a_{in}}^m}},$$ 其中 $1\le i\le m$, 則由 \eqref{2} 式知對任意 $i$ 值而言 $M_i$ 均為正數。 由上式知 \begin{align} {M_i}^m={a_{i1}}^m+{a_{i2}}^m+\cdots+{a_{in}}^m,\label{5} \end{align} 因此 ${M_i}^m$ 為矩陣 \eqref{3} 的第 $i$ 列所有元素的 $m$ 次方和, 此時我們可先將 \eqref{4} 式改寫如下: $$M_1 M_2\cdots M_m\ge a_{11} a_{21}\cdots a_{m1}+a_{12} a_{22}\cdots a_{m2}+\cdots+a_{1n} a_{2n}\cdots a_{mn}.$$ 上式不等號兩側同時除以正數 $M_1 M_2\cdots M_m$ 後, 可將上式改寫為等價的 \begin{align} \frac{a_{11}}{M_1}\cdot \frac{a_{21}}{M_2}\cdots \frac{a_{m1}}{M_m} +\frac{a_{12}}{M_1}\cdot \frac{a_{22}}{M_2}\cdots \frac{a_{m2}}{M_m} +\cdots+\frac{a_{1n}}{M_1}\cdot\frac{a_{2n}}{M_2}\cdots \frac{a_{mn}}{M_m}\le 1,\label{6} \end{align} 觀察上式後, 對於滿足 $1\le i\le m$, $1\le j\le n$ 的正整數 $i,j$, 我們令 \begin{align} y_{ij}=\frac{a_{ij}}{M_i},\label{7} \end{align} 則對任意 $i,j$ 而言 $y_{ij}$ 均為非負實數, 此時可再將 \eqref{6} 式改寫成較簡單的形式如下: \begin{align} y_{11} y_{21}\cdots y_{m1}+y_{12} y_{22}\cdots y_{m2}+\cdots+y_{1n} y_{2n}\cdots y_{mn}\le 1, \label{8} \end{align} 或者寫成 \begin{align} \sum_{j=1}^n y_{1j} y_{2j}\cdots y_{mj}\le 1. \label{9} \end{align} 注意 \eqref{8} 左式中的每一項都是 $m$ 個非負實數相乘的形式, 若問 $m$ 個非負實數相乘的結果小於或等於什麼數, 則我們很可能會想到算幾不等式。 由於 \eqref{8} 左式的各項形如 $y_{1j} y_{2j}\cdots y_{mj}$, %其中 $1\le j\le n$, 即 \eqref{9} 式中的一般項, 因此我們可利用算幾不等式寫下 \begin{align} y_{1j} y_{2j}\cdots y_{mj}\le \frac{{y_{1j}}^m+{y_{2j}}^m+\cdots+{y_{mj}}^m}m =\frac 1m \sum_{i=1}^m {y_{ij}}^m. \label{10} \end{align} 為了利用上式證明 \eqref{9} 式, 我們在上式兩端令 $j=1,2,\ldots,n$ 後將所得的 $n$ 個不等式相加, 結果如下: \begin{align} \sum_{j=1}^n y_{1j} y_{2j}\cdots y_{mj} \le \frac 1m \sum_{j=1}^n \Big(\sum_{i=1}^m {y_{ij}}^m \Big) . \label{11} \end{align} 我們可將上式不等號右側形如 $y_{ij}$ 的 $m\times n$ 個非負實數寫成如下的矩陣: \begin{align} \left[\begin{array}{cccc} y_{11}&y_{12}&\cdots&y_{1n}\\ y_{21}&y_{22}&\cdots&y_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ ~y_{m1}~&~y_{m2}~&~\cdots~&~y_{mn}~ \end{array}\right],\label{12} \end{align} 則 \eqref{11} 右式中的雙重求和式就是在計算矩陣 \eqref{12} 中所有元的 $m$ 次方和, 且計算的方式是先對矩陣 \eqref{12} 的每一行 (總共 $n$ 行)計算該行 $m$ 個元的 $m$ 次方和, 再將所得的 $n$ 個數相加。 我們可交換 \eqref{11} 右式中雙重求和式之求和順序, 將 \eqref{11} 式改寫為 \begin{align} \sum_{j=1}^n y_{1j} y_{2j}\cdots y_{mj} \le \frac 1m \sum_{i=1}^m \Big(\sum_{j=1}^n {y_{ij}}^m \Big) , \label{13} \end{align} 注意 \eqref{13} 右式中的雙重求和式也是在計算矩陣 \eqref{12} 中所有元的 $m$ 次方和, 且計算的方式是先對矩陣 \eqref{12} 的每一列(總共 $m$ 列) 計算該列 $n$ 個元的 $m$ 次方和, 再將所得的 $m$ 個數相加。 至此可知 \eqref{11}, \eqref{13} 兩式不等號右側的兩個雙重求和式展開後的結果完全相同, 從而我們可利用 \eqref{11} 式的條件推得 \eqref{13} 式。 接下來, 我們將會利用 \eqref{13} 式的結果繼續進行推導, 以求證明 \eqref{9} 式。 回顧 \eqref{5}, \eqref{7} 兩式後, 我們可依序利用 \eqref{7} 式與 \eqref{5} 式寫下 \begin{align} \sum_{j=1}^n {y_{ij}}^m =&\sum_{j=1}^n \frac{{a_{ij}}^m}{{M_i}^m} =\frac{1}{{M_i}^m} \sum_{j=1}^n {a_{ij}}^m \nonumber\\ =\,&\frac 1{{a_{i1}}^m+{a_{i2}}^m+\cdots+{a_{in}}^m} ({a_{i1}}^m+{a_{i2}}^m+\cdots+{a_{in}}^m )=1.\label{14} \end{align} 將上式的結果代入 \eqref{13} 式後, 可得 $$\sum_{j=1}^n y_{1j} y_{2j}\cdots y_{mj} \le \frac 1m \sum_{i=1}^m 1=\frac 1m \times m=1,$$ 至此我們就證明了 \eqref{9} 式, 因此 \eqref{8} 式成立。 從 \eqref{8} 式出發利用等價關係回推, 可依序推得 \eqref{6}, \eqref{4}, \eqref{1} 三式成立, 至此我們就證明了廣義柯西不等式 \eqref{1} 成立, 定理 1 證明完畢。 接下來我們探討不等式 \eqref{1} 等號成立的充要條件, 當不等式 \eqref{1} 的等號成立時, 利用等價關係可推得 \eqref{4}, \eqref{6}, \eqref{8} 三式的等號亦成立。 注意 \eqref{8} 式等號成立的充要條件是 \eqref{10} 式對滿足 $1\le j\le n$ 的所有正整數 $j$ 寫下的 $n$ 個不等式之等號均成立, 由算幾不等式等號成立的充要條件知前述條件成立若且唯若對滿足 $1\le j\le n$ 的任一個 $j$ 值均有 $$y_{1j}=y_{2j}=\cdots=y_{mj}.$$ 利用 \eqref{7} 式將上述條件改寫, 可知對滿足 $1\le j\le n$ 的任一個 $j$ 值均有 $$\frac{a_{1j}}{M_1} =\frac{a_{2j}}{M_2} =\cdots=\frac{a_{mj}}{M_m} ,$$ 利用上式的條件令 $$\frac{a_{1j}}{M_1} =\frac{a_{2j}}{M_2} =\cdots=\frac{a_{mj}}{M_m} =d_j,$$ 其中 $1\le j\le n$, 則我們有 $$a_{ij}=M_i d_j,$$ 其中 $1\le i\le m$, $1\le j\le n$。 因此對於滿足 $1\le i\le m$ 的任一個正整數 $i$, 我們可寫下 \begin{align} a_{i1}:a_{i2}:\cdots :a_{in}=M_i d_1:M_i d_2:\cdot :M_i d_n=d_1:d_2:\cdots :d_n, \label{15} \end{align} 其中 $M_i\gt0$, 從而我們有 \begin{align} a_{11}:a_{12}:\cdots :a_{1n}=a_{21}:a_{22}:\cdots :a_{2n}=\cdots =a_{m1}:a_{m2}:\cdots :a_{mn}, \label{16} \end{align} 上式即為不等式 \eqref{1} 等號成立的充要條件。 不妨進一步說明此充要條件, 此充要條件即以 \eqref{1} 左式 $m$ 個括號內的 $m$ 個形如 $a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in}$ 的 $n$ 元實數組寫成的 $m$ 個連比皆相等(皆等於 \eqref{15} 式右端的 $d_1:d_2:\cdots :d_n$), 至此我們不但明白了廣義柯西不等式 \eqref{1} 的等號成立若且唯若 \eqref{16} 式成立, 也更清楚 \eqref{16} 式中構成 $m$ 個連比的 $m$ 組數與不等式 \eqref{1} 的關連性。 回顧前面對 \eqref{1} 式寫下的證明過程, 不難發現我們能成功寫下證明的關鍵有二, 第一個關鍵是先利用算幾不等式寫下 \eqref{10} 式, 第二個關鍵則是透過交換 \eqref{11} 右式中雙重求和式之求和順序以寫下 \eqref{13} 式。 因此我們可以說, 第一節定理 1 所介紹的廣義柯西不等式 \eqref{1} 基本上是利用算幾不等式搭配「含有限項且足標取值獨立」(註 1) 的雙重求和式可交換求和順序之性質所得到的不等式。 本節的後半段, 我們不妨利用廣義柯西不等式求解一道例題。請讀者參考數學傳播 44 卷 2 期的 例1: 已知 $x,y,z\in R^+$, 且 $x\!+\!y\!+\!z\!=\!1$, 求 $S={\root 3\of {x\!+\!\dfrac 16}}\!+\!{\root 3\of {4y\!+\!2}}\!+\!{\root 3\of {9z\!+\!3}}$ 的最大值。 此處我們可利用廣義柯西不等式寫下上述例題的另解, 解答如下: 解答: 先將 $S$ 的表達式改寫為 \begin{align} S={\root 3\of {x+\frac 16}}+{\root 3\of {4\Big(y+\frac 12\Big)}}+{\root 3\of {9\Big(z+\frac 13\Big)}}. \label{17} \end{align} 令 $X=x+\dfrac 16$, $Y=y+\dfrac 12$, $Z=z+\dfrac 13$, 則 $X,Y,Z\in R^+$, 且 \begin{align} X+Y+Z=x+y+z+1=2, \label{18} \end{align} 此時 \eqref{17} 式可改寫為 \begin{align} S={\root 3\of X}+{\root 3\of {4Y}}+{\root 3\of {9Z}}. \label{19} \end{align} 利用第一節所介紹的廣義柯西不等式 \eqref{1}, 在與 \eqref{1} 式等價的 \eqref{4} 式中令 $m=n=3$ 後將不等式反過來寫, 可得 \begin{align} &\hskip -15pt a_{11} a_{21} a_{31}+a_{12} a_{22} a_{32}+a_{13} a_{23} a_{33}\nonumber\\ \le \,&{\root 3\of {{a_{11}}^3+{a_{12}}^3+{a_{13}}^3}}\cdot {\root 3\of {{a_{21}}^3+{a_{22}}^3+{a_{23}}^3}}\cdot {\root 3\of {{a_{31}}^3+{a_{32}}^3+{a_{33}}^3}}. \label{20} \end{align} 在上式中取 $$\begin{array}{ccc} a_{11}={\root 3\of X},&a_{12}={\root 3\of Y},&a_{13}={\root 3\of Z},\\ a_{21}={\root 3\of 1},&a_{22}={\root 3\of 2},&a_{23}={\root 3\of 3},\\ a_{31}={\root 3\of 1},&a_{32}={\root 3\of 2},&a_{33}={\root 3\of 3},\end{array}$$ 並搭配 \eqref{18} 式的條件, 可得 \begin{align} &\hskip -15pt {\root 3\of X}+{\root 3\of {4Y}}+{\root 3\of {9Z}}\le {\root 3\of {X+Y+Z}}\cdot {\root 3\of {1+2+3}}\cdot {\root 3\of {1+2+3}}\nonumber\\ =\,&{\root 3\of 2}\cdot {\root 3\of 6}\cdot {\root 3\of 6}=2{\root 3\of 9}, \label{21} \end{align} 再以上式的結果搭配 \eqref{19} 式可知 $S\le 2{\root 3\of 9}$, 故 $S$ 的最大值為 $2{\root 3\of 9}$。 當以廣義柯西不等式寫下的 \eqref{21} 式等號成立、 使例 1 所關心的 $S$ 取得最大值 $2{\root 3\of 9}$ 時, 回顧前面 \eqref{16} 式中廣義柯西不等式等號成立的充要條件, 並搭配 \eqref{4} 式且令 $m\!=\!n\!=\!3$, 可知此時 \eqref{20} 式不等號右側三個 3 次根號內形如 $a_{i1},a_{i2},a_{i3}$ 的三組數構成同一個連比, 即此時我們有 $a_{11}:a_{12}:a_{13}=a_{21}:a_{22}:a_{23}=a_{31}:a_{32}:a_{33},$ 以上式搭配 \eqref{20} 式下方的設定, 可知此時有 $${\root 3\of X}:{\root 3\of Y}:{\root 3\of Z}={\root 3\of 1}:{\root 3\of 2}:{\root 3\of 3}.$$ 上式顯示 $X:Y:Z=1:2:3$, 接著利用 \eqref{18} 式的條件可求得 $$X=\frac{1\times 2}{1+2+3}=\frac 13,\quad Y=\frac{2\times 2}{1+2+3}=\frac 23,\quad Z=\frac{3\times 2}{1+2+3}=1,$$ 將以上的 $X,Y,Z$ 三數之值代入 \eqref{19} 式後, 確實會發現 $S=2{\root 3\of 9}$。 最後回到 \eqref{18} 上方對 $X,Y,Z$ 三數所作的假設, 可知當 $S$ 取得最大值 $2{\root 3\of 9}$ 時有 $$x=X-\frac 16=\frac 16,\quad y=Y-\frac 12=\frac 16,\quad z=Z-\frac 13=\frac 23,$$ 至此例 1 解題完畢。 三、結語本文只是簡單的心得分享, 猶記得最初看到 經過了一段時間後,筆者才完成第二節前半段對廣義柯西不等式提出的證明, 然而要提醒讀者的是,第二節中的證明雖然篇幅較長, 但是基本上其證明的脈絡應與 註1: 先寫下 \eqref{11} 右式的雙重求和式如下: $$\sum_{j=1}^n \Big(\sum_{i=1}^m {y_{ij}}^m \Big) ,$$ 其中 $m,n$ 皆為不小於 2 的正整數, 注意上式完全展開後會包含 $m\times n$ 個形如 ${y_{ij}}^m$ 的項, 故上述雙重求和式展開後包含有限項。 又上述雙重求和式中無論外層足標 $j$ 的取值為何, 內層足標 $i$ 的取值範圍恆為與 $j$ 值無關的 1 至 $m$, 此即所謂的足標取值獨立。 參考文獻本文作者投稿時正準備轉換工作跑道 |