在高中數學, 我們常常在默認地使用一類結果, 比如 $ f(t)=\sin(2t)+\sin(3t) $ 的最小正週期恰好是 $ \sin(2t) $ 的最小正週期 $ T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi $ 與 $ \sin(3t) $ 的最小正週期 $ T_2=\frac{2\pi}{3} $ 的最小公倍數, 即 $ T=2\pi $。 但估計你鮮有機會看到文獻解釋它。 而本刊創刊號所提出的一個綜合難題 "證明 $ \cos x+\sin\sqrt{2}x $ 不是週期函數" 則是一類相關的否定問題。 二者所考慮的, 都是一類特殊的函數(即標題中所謂的"三角多項式")的週期性問題。 它可以表述如下：

問題 1. 設

$$ f(t)=A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_1t)+\cdots +A_n\cos(\omega_nt)+B_n\sin(\omega_nt), $$

其中 $ A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_n $ 是實數, 滿足 $ A_1^2+B_1^2\neq0, \ldots,A_n^2+B_n^2\neq0 $, 而 $ \omega_1,\ldots,\omega_n $ 為互異的正數。 問： $ f(t) $ 是否為週期函數? 當它為週期函數時, 最小正週期是多少?

對此問題, 其實有一完整回答, 如下:

定理 1. 設

\begin{equation} f(t)=A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_1t)+\cdots +A_n\cos(\omega_nt)+B_n\sin(\omega_nt),\label{1} \end{equation}

其中 $ A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_n $ 是實數, 滿足 $ A_1^2+B_1^2\neq0, \ldots,A_n^2+B_n^2\neq0 $, 而 $ \omega_1,\ldots,\omega_n $ 為互異的正數。 則

(i) $ f(t) $ 是週期函數當且僅當對任意的 $ i\neq j $ 有 $ \frac{\omega_j}{\omega_i} $ 是有理數。

(ii)當 $ f(t) $ 為週期函數時, $ f(t) $ 的最小正週期是 $ T_i=\frac{2\pi}{\omega_i}\,(i=1,\ldots,n) $ 的最小公倍數。

注： 由定理 1, 可以立即給出本文開頭介紹的兩個具體問題的回答。 特別地, $ \cos x+\sin\sqrt{2}x $ 之所以不是週期函數, 正是因為 $ \sqrt{2} $ 不是有理數。

據筆者瞭解, 作為一個更像是民間相傳的結果, 定理 1 並非廣為人知(尤其是其證明, 對信號處理(signal processing) 領域的人士來說可能更是如此)。 在網上數學討論區、 信號處理討論區, 可以看到許多此類問題, 如 。 1977 年, 定理 1 的 (ii) 部分曾經由 Yeshurun 作為一個猜想提出, 很快由 Waterhouse , Myers 給出證明。 但他們並不瞭解, 20 年前俄國數學家 Barban 就已經解決了這一問題。 他們的證明主要是依據三角函數的線性無關性, 即以下引理：

引理 1. 設 $ \omega_1,\ldots,\omega_n $ 為互異的正數, 若存在實數 $ A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_n $ 使得

\begin{align} A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_1t)+\cdots&+A_n\cos(\omega_nt)+B_n\sin(\omega_nt)\equiv 0,\label{2} \end{align}

則

\begin{align} A_1=\cdots=A_n=B_1=&\cdots=B_n=0.\label{3} \end{align}

至於定理 1 的 (i) 部分, 似乎只是在 1997 年莫慶美與林木元合寫的文章 中才首次予以討論。 筆者在 2020 年 獨立地得到了定理 1, 事後才瞭解到這些文獻。

筆者注意到, Yeshurun 在 1980 年美國數學協會的期刊《數學雜誌》的問題徵解欄再次提出這一問題： 給出定理 1(ii) 的一個無需微積分的證明。 他之所以孜孜以求這樣一個證明, 也許是考慮到微積分尚未在普通中學師生的工具箱內。 後來, Beigel 對此給出了一個解答。 在筆者看來, 這個解答不能令人滿意, 因為他只考慮了特殊的情況, 而且並未證明定理1(i)。

這個短文之主要目的, 就是給出引理 1 的一個無需微積分的證明。 據此, 就可以給出定理 1 的一個中學師生可以接受的證明。

引理 1 的證明： 對 $ n $ 用數學歸納法。

首先看 $ n=1 $ 的情況。 設 $ \omega_1\gt0 $, 實數 $ A_1,B_1 $ 使得

\begin{equation} A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_1t)\equiv 0.\label{4} \end{equation}

在 \eqref{4} 式中將 $ t $ 代換為 $ t+\frac{\pi}{2\omega_1} $, 就得到

\begin{equation} A_1 [-\sin(\omega_1t)]+B_1\cos(\omega_1t)\equiv 0.\label{5} \end{equation}

在 \eqref{4}, \eqref{5} 中令 $ t=0 $, 就得到

\begin{equation} A_1=0,\quad B_1=0.\label{6} \end{equation}

從而引理 1 對 $ n=1 $ 成立。

現在假設 $ n=k $ 時, 引理 1 成立。 現在考慮 $ n=k+1 $ 的情況。 設 $ \omega_1,\ldots,\omega_{k+1} $ 是兩兩不同的正數, 實數 $ A_1,\ldots,A_{k+1},B_1,\ldots,B_{k+1} $ 使得

\begin{equation} A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_{1}t)+\cdots +A_{k+1}\cos(\omega_{k+1}t)+B_{k+1}\sin(\omega_{k+1}t)\equiv 0,\label{7} \end{equation}

對任意給定的實數 $ s $, 在 \eqref{7} 式中將 $ t $ 代換為 $ t\pm s $, 就分別得到

\begin{align} &\hskip -20pt A_1\cos(\omega_1(t+s))+B_1\sin(\omega_{1}(t+s))+\cdots\nonumber\\ &+A_{k+1}\cos(\omega_{k+1}(t+s))+B_{k+1}\sin(\omega_{k+1}(t+s))\equiv 0,\label{8}\\ &\hskip -20pt A_1\cos(\omega_1(t-s))+B_1\sin(\omega_{1}(t-s))+\cdots\nonumber\\ &+A_{k+1}\cos(\omega_{k+1}(t-s))+B_{k+1}\sin(\omega_{k+1}(t-s))\equiv 0.\label{9} \end{align}

\eqref{8} \eqref{9} 兩式相加, 並利用和差化積公式, 就得到

\begin{align} &\hskip -20pt [A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_{1}t)]\cos(\omega_1s)+\cdots\nonumber\\ &+[A_{k+1}\cos(\omega_{k+1}t)+B_{k+1}\sin(\omega_{k+1}t)]\cos(\omega_{k+1}s)\equiv 0.\label{10} \end{align}

\eqref{7} 式兩邊同時乘以 $ \cos(\omega_{k+1}s) $, 就得到

\begin{align} &\hskip -20pt [A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_{1}t)]\cos(\omega_{k+1}s)+\cdots\nonumber\\ &+[A_{k+1}\cos(\omega_{k+1}t)+B_{k+1}\sin(\omega_{k+1}t)]\cos(\omega_{k+1}s)\equiv 0.\label{11} \end{align}

\eqref{11} 式減去 \eqref{10} 式, 就得到

\begin{align} &\hskip -20pt [A_1\cos(\omega_1t)+B_1\sin(\omega_{1}t)][\cos(\omega_{k+1}s)-\cos(\omega_1s)]\nonumber\\ &+\cdots +[A_{k}\cos(\omega_{k}t)+B_{k}\sin(\omega_{k}t)][\cos(\omega_{k+1}s)-\cos(\omega_ks)]\equiv 0. \label{12} \end{align}

根據歸納假設(此時 $ s $ 視為常數), 我們就有(由於對每個 $ s\in\mathbb{R} $ 都成立, 於是得到恒等式)

\begin{align} &\hskip -20pt {}A_1[\cos(\omega_{k+1}s)-\cos(\omega_1s)]=B_1[\cos(\omega_{k+1}s)-\cos(\omega_1s)]\nonumber\\ &=\cdots=A_{k}[\cos(\omega_{k+1}s)-\cos(\omega_ks)]=B_{k}[\cos(\omega_{k+1}s)-\cos(\omega_ks)] \equiv 0.\label{13} \end{align}

由於 $ \omega_{k+1}\neq \omega_1 $, 所以必定存在 $ s $ 使得 $ \cos(\omega_{k+1}s)-\cos(\omega_1s)\neq0 $ (否則 $ \cos(\omega_{k+1}s)=\cos(\omega_1s) $ 有相同的週期, 進而 $ \omega_{k+1}=\omega_1 $, 矛盾), 於是就得到 $ A_1=B_1=0 $。 類似地, 可以推出, 對其他 $ j=2,\ldots,k $ 有 $ A_j=B_j=0 $。 從而 \eqref{7} 式退化為

\begin{equation} A_{k+1}\cos(\omega_{k+1}t)+B_{k+1}\sin(\omega_{k+1}t)\equiv 0,\label{14} \end{equation}

而根據 $ n=1 $ 情況的結果, 就有 $ A_{k+1}=B_{k+1}=0 $。 引理 1 證畢。

$\Box$

注： 以上證明受到 Artin [p. 30] 關於特徵標的線性無關性引理的證明之啟發。 下面我們給出定理 1 的證明, 其他證明亦可參見 。

定理1的證明： 先證 (i)。 充分性是顯然的, 若對任意的 $ i\neq j $, $ \frac{\omega_j}{\omega_i} $ 是有理數, 則 $ T_i=\frac{2\pi}{\omega_i}(i=1,\ldots,n) $ 有公倍數。 這是因為, 對任意有限多個有理數, 都存在最小公倍數, 並且若這些 有理數都不為 $ 0 $, 則最小公倍數也不為 $ 0 $。 設 $ T\neq 0 $ 是各個 $ T_i $ 的一個公倍數, 則 $ T $ 是 $ f(t) $ 的週期。

下證必要性： 設 $ T\neq0 $ 是 $ f(t) $ 的週期, 則有

\begin{equation} f(t+T)-f(t)=0.\label{15} \end{equation}

令

\begin{equation} f_i(t)=A_i\cos(\omega_it)+B_i\sin(\omega_it),\quad i=1,\ldots,n.\label{16} \end{equation}

則我們可以把(15)重新寫為

\begin{equation} [f_1(t+T)-f_1(t)]+\cdots +[f_n(t+T)-f_n(t)]=0.\label{17} \end{equation}

注意

\begin{align} f_i(t\!+\!T)\!-\!f_i(t) =&{}A_i\cos(\omega_i(t+T))+B_i\sin(\omega_i(t+T))-A_i\cos(\omega_it)-B_i\sin(\omega_it)\nonumber\\ =&{}A_i[\cos(\omega_iT)\cos(\omega_it)-\sin(\omega_iT)\sin(\omega_it)]\nonumber\\ &+ B_i[\cos(\omega_iT)\sin(\omega_it)\!+\!\sin(\omega_iT)\cos(\omega_it)]\!-\!A_i\cos(\omega_it)\!-\!B_i\sin(\omega_it)\nonumber\\ =&\Big(A_i [\cos(\omega_iT)-1]+B_i\sin(\omega_iT)\Big)\cos(\omega_it)\nonumber\\ &+\Big(B_i [\cos(\omega_iT)-1]-A_i\sin(\omega_iT)\Big)\sin(\omega_it)\label{18} \end{align}

根據引理1, 對 $ i=1,\ldots, n $ 有

\begin{align} A_i [\cos(\omega_iT)-1]+B_i\sin(\omega_iT)&=0,\label{19}\\ B_i [\cos(\omega_iT)-1]-A_i\sin(\omega_iT)&=0.\label{20} \end{align}

\eqref{19} 乘以 $ A_i $, \eqref{20} 乘以 $ B_i $, 將所得兩式相加就得到

\begin{equation} (A_i^2+B_i^2)[\cos(\omega_iT)-1]=0. \end{equation}

由於 $ (A_i^2+B_i^2)\neq0 $, 我們得到

\begin{align} [\cos(\omega_iT)-1]=&0.\\ {\hbox{即}} \cos(\omega_iT)=&1. \end{align}

從而, 對每個 $ i=1,\ldots,n $ 有

\begin{equation} T_i\mid T, \end{equation}

其中 $ T_i=\frac{2\pi}{\omega_i} $ 是 $ f_i(t) $ 的最小正週期。 從而 $ T $ 是 $ T_i(i=1,\ldots,n) $ 的公倍數。 由此推出, $ T_i(i=1,\ldots,n) $ 彼此可公度, 進而對任意的 $ i\neq j $, $ \frac{\omega_j}{\omega_i} $ 是有理數。 (i)的必要性得證。

(ii) 由(i)的必要性證明(特別是(24)式)可見, 當 $ f(t) $ 有週期 $ T $ 時, $ T $ 是各個 $ T_i(i=1,\ldots,n) $ 的公倍數。 這就推出, 當 $ f(t) $ 為週期函數時, $ f(t) $ 的最小正週期恰好是各個 $ T_i(i=1,\ldots,n) $ 的最小公倍數。 定理1證畢

$\Box$

利用定理1和引理1, 還可以討論形如(1)的兩個三角多項式 $ f_1(t),f_2(t) $ 的和、差、積、商的週期。 此處從略。考慮到問題1是如此基本, 以至於筆者猜測, 這些結果早就見諸文獻, 如Euler的著作, 還望方家指教。

致謝： 感謝審稿老師對初稿提出寶貴意見！

參考文獻

本文作者任教中國西北農林科技大學理學院