研究目的

本人試圖尋求定理 1 來證明拉瑪奴姜問題 524, 請看下文的剖析。

研究過程

定理1： 已知 $\alpha,\beta,\gamma$ 三實數, $t\!=\!-(\alpha\!+\!\beta\!+\!\gamma)$ 為一實數, $v\!=\!\alpha\beta\!+\!\beta\gamma\!+\!\gamma\alpha$ 為一實數, 滿足

(1) $\alpha\beta\gamma=-1$,

(2) $t+v=-3$, 則

$a=\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}={\root 3\of {(-t-6)+3{\root 3\of{t^2+3t+9}}}}$。

證明：

一、 構造以 $\alpha,\beta,\gamma$ 為三根的一元三次方程式

是 $x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=x^3+tx^2+vx+1=0$。

二、 構造以 $\alpha^{\frac 13},\beta^{\frac 13},\gamma^{\frac 13}$ 為三根的一元三次方程式

1. 設 $a=\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}$,
2. 設 $b=(\alpha\beta)^{\frac 13}+(\beta\gamma)^{\frac 13}+(\gamma\alpha)^{\frac 13}$,
3. 設 $c=(\alpha\beta\gamma)^{\frac 13}=(-1)^{\frac 13}=-1$,
4. 由 1. 2. 3. 得知以 $\alpha^{\frac 13},\beta^{\frac 13},\gamma^{\frac 13}$ 為三根的一元三次方程式
是 $z^3-az^2+bz+1=0\ \Rightarrow\ z^3+1=z(az-b)$。

三、 $x=z^3$ 且 $x^3+tx^2+vx+1=0$
$\Rightarrow\ (z^3)^3+t(z^3)^2+v(z^3)+1=0\ \Rightarrow\ z^9+tz^6+vz^3+1=0$。

四、 由二、得知 $z^3+1=z(az-b)\ \Rightarrow\ (z^3+1)^3=z^3(az-b)^3$,
$\Rightarrow\ z^9+3z^6+3z^3+1=z^3\cdot[a^3z^3-3abz(az-b)-b^3]$,
$\Rightarrow\ z^9+3z^6+3z^3+1=z^3\cdot[a^3z^3-3ab(z^3+1)-b^3]$,
$\Rightarrow\ z^9+(3-a^3+3ab)z^6+(3+3ab+b^3)z^3+1=0$。

五、 由三、 四、 得知 $z^9+tz^6+vz^3+1=0$ 與 $z^9+(3-a^3+3ab)z^6+(3+3ab+b^3)z^3+1=0$ 為同一個方程式

由比較係數可得 $\left\{\begin{array}{l} t=3-a^3+3ab ...................(1),\\ v=3+3ab+b^3 ...................(2).\end{array}\right.$

(2)式$-$(1)式 $\Rightarrow\ v-t=b^3+a^3$ 且 $v+t=-3\ \Rightarrow\ b^3=-a^3-2t-3$. .........(3)

由 (1) 式 $\Rightarrow\ a^3+t-3=3ab\ \Rightarrow\ (a^3+t-3)^3=27a^3b^3$. .............................(4)

將 (3) 式代入 (4) 式得

\begin{align*} &(a^3+t-3)^3=27a^3(-a^3-2t-3)\\ \Rightarrow\ &a^9+3(t-3)a^6+3(t-3)^2a^3+(t-3)^3=-27a^6-54ta^3-81a^3\\ \Rightarrow\ &a^9+3(t+6)a^6+3[t^2-6t+9+18t+27]a^3+(t-3)^3=0\\ \Rightarrow\ &a^9+3(t+6)a^6+3(t^2+12t+36)a^3=-(t-3)^3\\ \Rightarrow\ &a^9+3(t+6)a^6+3(t+6)^2a^3+(t+6)^3=(t+6)^3-(t-3)^3\\ \Rightarrow\ &[a^3+(t+6)]^3=(t^3+18t^2+108t+216)-(t^3-9t^2+27t-27)\\ \Rightarrow\ &[a^3+(t+6)]^3=27t^2+81t+243\\ \Rightarrow\ &[a^3+(t+6)]^3=27(t^2+3t+9), \end{align*}

因為 $a$ 與 $t$ 為實數, 所以 $(a^3+t+6)$ 為實數

\begin{align*} &\Rightarrow\ a^3+t+6=3{\root 3\of{t^2+3t+9}}\ \hbox{或}\ 3{\root 3\of{t^2+3t+9}}\cdot\omega\ \hbox{(不合) 或}\hskip 2cm~\\ &\qquad 3{\root 3\of{t^2+3t+9}}\cdot \omega^2\ \hbox{(不合), 其中}\ \omega=\frac{-1+\sqrt 3i}{2}\\ &\Rightarrow\ a^3=(-t-6)+3{\root 3\of{t^2+3t+9}}\\ &\Rightarrow\ a={\root 3\of {(-t-6)+3{\root 3\of{t^2+3t+9}}}},\\ &{\hbox{得證定理 1}}\\ &a=\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}={\root 3\of {(-t-6)+3{\root 3\of{t^2+3t+9}}}}, \end{align*}

六、 利用定理 1 證明拉瑪奴姜問題 524:

1. 試證: ${\root 3\of{\cos\dfrac{2\pi}{7}}}+{\root 3\of{\cos\dfrac{4\pi}{7}}}+{\root 3\of{\cos\dfrac{8\pi}{7}}}= {\root 3\of{\dfrac 12(5-3{\root 3\of 7})}}$。

證明: 令 $\alpha=-2\cos\dfrac{2\pi}{7}$, $\beta=-2\cos\dfrac{4\pi}{7}$, $\gamma=-2\cos\dfrac{8\pi}{7}$。

\begin{align*} (1).\quad \alpha+\beta+\gamma=\,&-2\cos\frac{2\pi}{7}-2\cos\frac{4\pi}{7}-2\cos\frac{8\pi}{7}\\ =\,&\frac{\sin\frac{2\pi}{7}(-2\cos\frac{2\pi}{7}-2\cos\frac{4\pi}{7}-2\cos\frac{8\pi}{7})}{\sin\frac{2\pi}{7}}\\ =\,&\frac{-\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{2\pi}{7}-\sin\frac{6\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7}-\sin\frac{10\pi}{7}} {\sin\frac{2\pi}{7}}\\ =\,&\frac{-\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{2\pi}{7}-\sin\frac{6\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}} {\sin\frac{2\pi}{7}}=1.\hskip 1.5cm~\\ (2).\ \alpha\beta\!+\!\beta\gamma\!+\!\gamma\alpha=\,&4\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{4\pi}{7} +4\cos\frac{4\pi}{7}\cdot\cos\frac{8\pi}{7} +4\cos\frac{8\pi}{7}\cdot\cos\frac{2\pi}{7}\\ =\,&2\big(\cos\frac{2\pi}{7}\!+\!\cos\frac{6\pi}{7} \!+\!\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7} \!+\!\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}\big)\\ =\,&4\big(\cos\frac{2\pi}{7}\!+\!\cos\frac{4\pi}{7} \!+\!\cos\frac{6\pi}{7}\big)\\ =\,&\frac{4\sin\frac{2\pi}{7}(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7})}{\sin\frac{2\pi}{7}}\\ =\,&\frac{2(\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7}-\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}-\sin\frac{4\pi}{7})} {\sin\frac{2\pi}{7}}\\ =\,&\frac{2(\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7}-\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7}-\sin\frac{4\pi}{7})} {\sin\frac{2\pi}{7}}=-2.\hskip 1.5cm~\\ (3).\qquad \alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\,&-8\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{4\pi}{7}\cdot \cos\frac{8\pi}{7}\\ =\,&\frac{\sin\frac{2\pi}{7}(-8\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{4\pi}{7}\cdot \cos\frac{8\pi}{7})}{\sin\frac{2\pi}{7}}\\ =\,&\frac{-4(\sin\frac{4\pi}{7}\cdot\cos\frac{4\pi}{7}\cdot\cos\frac{8\pi}{7})}{\sin\frac{2\pi}{7}}\\ =\,&\frac{-2(\sin\frac{8\pi}{7}\cdot\cos\frac{8\pi}{7})}{\sin\frac{2\pi}{7}} =\frac{-\sin\frac{16\pi}{7}}{\sin\frac{2\pi}{7}} =\frac{-\sin\frac{2\pi}{7}}{\sin\frac{2\pi}{7}}=-1. \end{align*}

(4). 由 (1). (2). (3). 得知, 滿足定理1, $\alpha\beta\gamma=-1$ 與 $t+v=-(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=-(1)+(-2)=-3$,

\begin{align*} \hbox{因此}\quad a=\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}=\,&{\root 3\of {(-t-6)+3{\root 3\of{t^2+3t+9}}}}\\ =\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}=\,&{\root 3\of {(1-6)+3{\root 3\of{1-3+9}}}}\\ =\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}=\,&{\root 3\of {-5+3{\root 3\of{7}}}},\\ \hbox{即}\ {\root 3\of{-2\cos\frac{2\pi}{7}}}+{\root 3\of{-2\cos\frac{4\pi}{7}}}+&{\root 3\of{-2\cos\frac{8\pi}{7}}}= {\root 3\of {-5+3{\root 3\of{7}}}}\\ \Rightarrow\ {\root 3\of{-2}}\big({\root 3\of{\cos\frac{2\pi}{7}}}+{\root 3\of{\cos\frac{4\pi}{7}}} +&{\root 3\of{\cos\frac{8\pi}{7}}}\big)={\root 3\of {-5+3{\root 3\of{7}}}}\\ \Rightarrow\ {\root 3\of{\cos\frac{2\pi}{7}}}+{\root 3\of{\cos\frac{4\pi}{7}}} +&{\root 3\of{\cos\frac{8\pi}{7}}}=\frac{\root 3\of {-5+3{\root 3\of{7}}}}{\root 3\of {-2}},\\ \hbox{得證}\ {\root 3\of{\cos\frac{2\pi}{7}}}+{\root 3\of{\cos\frac{4\pi}{7}}} +&{\root 3\of{\cos\frac{8\pi}{7}}}={\root 3\of{\frac 12(5-3{\root 3\of 7})}}. \end{align*}

2. 試證: ${\root 3\of{\cos\dfrac{2\pi}{9}}}+{\root 3\of{\cos\dfrac{4\pi}{9}}} +{\root 3\of{\cos\dfrac{8\pi}{9}}}={\root 3\of{\dfrac 32({\root 3\of 9}-2)}}$.

證明: 令 $\alpha=2\cos\dfrac{2\pi}{9}$, $\beta=2\cos\dfrac{4\pi}{9}$, $\gamma=2\cos\dfrac{8\pi}{9}$.

\begin{align*} (1).\quad \alpha+\beta+\gamma=\,&2\cos\frac{2\pi}{9}+2\cos\frac{4\pi}{9}+2\cos\frac{8\pi}{9}\\ =\,&2\cos(\frac{5\pi}{9}-\frac{3\pi}{9})+2\cos\frac{4\pi}{9}+2\cos(\frac{5\pi}{9}+\frac{3\pi}{9})\\ =\,&4\cos\frac{5\pi}{9}\cdot \cos\frac{3\pi}{9}+2\cos\frac{4\pi}{9}=4\cos\frac{5\pi}{9}\cdot(\frac 12)+2\cos\frac{4\pi}{9}\\ =\,&2\cos\frac{5\pi}{9}+2\cos\frac{4\pi}{9}=-2\cos\frac{4\pi}{9}+2\cos\frac{4\pi}{9}=0.\hskip 1.5cm~\\ (2). \alpha\beta\!+\!\beta\gamma\!+\!\gamma\alpha=\,&4\cos\frac{2\pi}{9}\cdot\cos\frac{4\pi}{9} +4\cos\frac{4\pi}{9}\cdot\cos\frac{8\pi}{9} +4\cos\frac{8\pi}{9}\cdot\cos\frac{2\pi}{9}\\ =\,&2\big(\cos\frac{2\pi}{9}\!+\!\cos\frac{6\pi}{9} \!+\!\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{12\pi}{9} \!+\!\cos\frac{6\pi}{9}+\cos\frac{10\pi}{9}\big)\\ =\,&2\big(\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{10\pi}{9}-\frac 32\big)\\ =\,&2\big[\cos\big(\frac{6\pi}{9}-\dfrac{4\pi}{9}\big)+\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\big(\frac{6\pi}{9}+\dfrac{4\pi}{9}\big) -\frac 32\big]\\ =\,&2\big(2\cos\frac{6\pi}{9}\cdot\cos\frac{4\pi}{9} \!+\!\cos\frac{4\pi}{9}-\frac 32\big)\\ =\,&2\big(-\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9} -\frac 32\big)=-3.\\ (3).\qquad \alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\,&8\cos\frac{2\pi}{9}\cdot\cos\frac{4\pi}{9}\cos\frac{8\pi}{9}\\ =\,&\frac{\sin\frac{2\pi}{9}\big(8\cos\frac{2\pi}{9}\cdot\cos\frac{4\pi}{9} \cos\frac{8\pi}{9}\big)}{\sin\frac{2\pi}{9}}\\ =\,&\frac{4\big(\sin\frac{4\pi}{9}\cdot\cos\frac{4\pi}{9}\cdot\cos\frac{8\pi}{9}\big)}{\sin\frac{2\pi}{9}}\\ =\,&\frac{2\big(\sin\frac{8\pi}{9}\cdot\cos\frac{8\pi}{9}\big)}{\sin\frac{2\pi}{9}} =\frac{\sin\frac{16\pi}{9}}{\sin\frac{2\pi}{9}}=\frac{-\sin\frac{2\pi}{9}}{\sin\frac{2\pi}{9}}=-1. \end{align*}

(4). 由 (1). (2). (3). 得知, 滿足定理 1, $\alpha\beta\gamma=-1$ 與 $t+v=-(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=-(0)+(-3)=-3$

\begin{align*} \hbox{因此}\quad a=\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}=\,&{\root 3\of {(-t-6)+3{\root 3\of{t^2+3t+9}}}}\\ =\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}=\,&{\root 3\of {(-0-6)+3{\root 3\of{0+0+9}}}}\\ =\alpha^{\frac 13}+\beta^{\frac 13}+\gamma^{\frac 13}=\,&{\root 3\of {3{\root 3\of{9}}-6}},\\ \hbox{即}\ {\root 3\of{2\cos\frac{2\pi}{9}}}+{\root 3\of{2\cos\frac{4\pi}{9}}}+&{\root 3\of{2\cos\frac{8\pi}{9}}}= {\root 3\of {3{\root 3\of{9}}-6}},\\ \Rightarrow\ {\root 3\of{2}}\cdot\big({\root 3\of{\cos\frac{2\pi}{9}}}+{\root 3\of{\cos\frac{4\pi}{9}}} +&{\root 3\of{\cos\frac{8\pi}{9}}}\big)={\root 3\of {3{\root 3\of{9}}-6}}\\ \Rightarrow\ {\root 3\of{\cos\frac{2\pi}{9}}}+{\root 3\of{\cos\frac{4\pi}{9}}} +&{\root 3\of{\cos\frac{8\pi}{9}}}=\frac{\root 3\of {3{\root 3\of{9}}-6}}{\root 3\of {2}}\\ \hbox{得證}\ {\root 3\of{\cos\frac{2\pi}{9}}}+{\root 3\of{\cos\frac{4\pi}{9}}} +&{\root 3\of{\cos\frac{8\pi}{9}}}={\root 3\of{\frac 32({\root 3\of 9}-2)}}. \end{align*}

參考文獻

本文作者為國立宜蘭高中退休教師