本期專訪 Andrei Okounkov 教授。 Okounkov 最初的研究領域是群表現理論, 側重組合和漸近面向。 以此為起點, 他在複、 實代數幾何、 統計力學、 動力學系統、 概率論及拓樸弦論等領域, 取得了驚人成果。 他的研究植根於極為基本的概念, 譬如分割 (partition), 這是表現理論核心的基本組合概念。 他的核心想法是：就自然的機率測度而言, 分割和其他表現論的概念應該被視為隨機物件。 他將此想法與幾何、 化學、 高能物理結合, 應用於諸多領域。

Okounkov 和合作者的諸多結果是以 Gromov-Witten (GW) 不變量理論為背景。 GW 不變量是源於計數幾何 (enumerative geometry) 的經典問題, 例如： 平面一般位置上, 經過 $3d-1$ 個點的 $d$ 次的有理曲線的數目是多少？ 八十年代末, 弦理論學者藉由曲線數的生成函數所遵循的微分方程, 以冪級數求解這些方程, 得到曲線數目的遞歸關係。

一般來說, GW 理論探索曲線到複流形的映射在模空間的交點數目。 設 $V$ 是複非奇異投影多樣體。 在一系列論文中, Okounkov 和 Pandharipande 對曲線的 GW 不變量做了詳盡的描述。 他們證明： $V={\Bbb P}^1$ 的生成函數是 Todd 階序的 tau 函數, 且 $V={\Bbb P}^1$ 時 GW 不變量出乎意料地簡單, 比 $V$ 為點時的 GW 不變量更為基本, 因為後者可藉由取極限而獲得。 箇中關鍵因素是 Gromov-Witten/Hurwitz 對應關係；該關係聯繫起曲線 $V$ 的 GW 不變量與 Hurwitz 數, 其中的 Hurwitz 數是： 在給定點上, 給定分歧(ramification)類型的分歧覆蓋(branched covering)數。

其後, Maulik, Nekrasov, Okounkov 及 Pandharipande 的論文推測： 對於特定類別的形狀, Gromov-Witten 計數恰好對應於所謂的 Donaldson-Thomas 理論(該理論對曲線有迥異的理解)。 在此對應關係, 某類型的隨機曲面至為關鍵。

橢圓曲線上的點滿足某二元三次方程, 形如 $y^2=x^3+1$。 陳榮凱教授介紹橢圓曲線的代數結構, 概述 Mordell-Weil 定理。 之後為了在複數平面的商群上描繪出三次曲線的樣貌, 他考慮亞純函數, 介紹亞純雙周期函數 Weierstrass P-function $\wp(z)$； $\wp$ 函數及其導數可用於參數化橢圓曲線, 並可對給定整數格子點生成週期橢圓函數體。 最後他概述橢圓曲線的密碼學, 其安全性植基於所謂的 Discrete logarithm problem (DLP) 的難解性； 該問題考慮在有限體上的橢圓曲線, 在給定 $P,Q$ 且已知 $Q=mP$ 時試圖求出 $m$。

本期刊登 2024 歐洲女子數學奧林匹亞、 國際數學奧林匹亞競賽試題解答。 值得一提的是, Google 的 DeepMind 打造的 AI 系統 AlphaGeometry 2, 費時19秒, 解出了國際奧林匹亞競賽的幾何題 (第四題), 而該公司另一 AI 系統 AlphaProof, 費了 72 小時, 解出兩道代數題 (第一題、 第六題) 及一道數論題 (第二題)。

梁惠禎
2024年9月