本期專訪 Russel Caflisch 教授。 他的研究涵蓋應用數學諸多領域, 對蒙地卡羅方法、 水平集方法及計算金融做出了卓越貢獻。 他曾擔任加州大學洛杉磯分校 IPAM 主任, 自 2017 年起擔任紐約大學 Courant 研究所所長。 憑藉豐厚的學識與經歷, 他分析了多個領域, 分享了跨學科合作的經驗, 介紹了 Courant 研究所在數學教育方面的變革, 並評析了數學在 AI 發展中的重要性及因應之道。

近年來 Caflisch 教授研究電漿及核融合科學。 固體、 液體和氣體之外, 電漿是恆星中最常見的第四種物質狀態。 製造及控制電漿是發展核融合反應器的關鍵。 輕元素的融合模擬恆星內部情況。 Tokamak 反應器形如甜甜圈, 利用周圍的磁場將電漿約束在內部。 目前的一項挑戰是, 必須保持足夠的熱量來維持反應, 同時要保護反應器的外壁不受損壞。 電腦模擬、 多尺度分析、 基於偏微分方程的優化、 大域優化及機器學習的最新進展, 已帶來了變革性影響。 但對於電漿動力學及相關傳輸過程的理解, 仍然存在巨大挑戰。

愛因斯坦在 1915 年提出廣義相對論的方程式, 描述大質量物體導致的曲率。 然而該理論並未提供確定物體質量的方法。 物體在時空中旋轉的角動量更難定義。 直到 1950 年代末, Arnowitt、 Deser 及 Misner 才提出質量的第一個嚴格定義。 他們從無限遠的地方觀察孤立物體的質量, 其時空幾乎是平坦的。 然而, 對於有限區域內的質量, 即所謂的準局部質量, 該方法未能估算。 2008 年, 王慕道教授及丘成桐教授提出了一個準局部質量的定義。 2015 年, 他們和陳泊寧教授定義了準局部角動量。 之後王業凱教授加入研究團隊, 四人於 2022 年提出了新的角動量定義。 此定義具有超平移不變性, 與觀察者的位置或坐標系選取無關, 因此解決了超平移歧義。 據此定義, 觀察者可以測量旋轉物體產生的重力波, 並計算出這些重力波從物體帶走的角動量。 王慕道教授在演講中介紹了研究的歷史背景及發展前景。

1925 年 7 月, 海森堡草創現今所稱的海森堡測不準原理, 被認為是現代量子力學的開端。 聯合國因此宣布 2025 年為國際量子科學技術年。 適逢其時, 謝南瑞教授推出一系列文章介紹量子力學的機率架構。 本期推廣上期介紹的 Max Born 法則, 並將量子量測定義為仿射變換, 由「態」的集合映射至「量測之可能值」的集合上的機率分佈, 其機率值為某么元分解作用於態之後的 trace。

希臘先賢創建推理幾何學, 由兩個基本性質, 即一條直線把平面分割成兩個半面及 S.A.S. 三角形疊合條件, 可以導出所有推論。 Thales 體認到等腰三角形的反射對稱性, 從而由 S.A.S. 論證 S.S.S.。 而由於未能推導出三角形內角和定理, 先賢們引入了平行公理。 項武義教授推導出三角形內角和的兩個定理, 並期勉學子重訪定性平面幾何, 體會邏輯推理以簡御繁的威力。

梁惠禎
2025年3月