Russel Caflisch 教授 1954 年 4 月 29 日出生於西維吉尼亞州 Charleston。 他於 1975 年在密西根州立大學獲得學士學位, 1977 年及 1978 年在紐約大學分別獲得碩士和博士學位。 1979 年至 1982 年, 他在史坦福大學擔任助理教授。 隨後, 他任教於紐約大學 (1983$\sim$84 年助理教授、 1984$\sim$88 年副教授、 1988$\sim$89 年教授)、 加州大學洛杉磯分校 (1989$\sim$2017 年)。 自 2017 年起他擔任紐約大學教授。 2008 年至 2017 年期間, 他擔任加州大學洛杉磯分校 IPAM 主任, 自 2017 年起擔任紐約大學 Courant 研究所所長。 因他在 Boltzmann 方程、 蒙地卡羅方法、 材料科學和其他應用數學領域的重大貢獻, 他榮膺美國國家科學院院士 (2019 年)、 美國數學學會院士 (2013 年), 並獲頒多項榮譽。 在這次採訪中, Caflisch 教授對數學科學中的各種主題提供了有趣且有見地的觀察。

劉太平(以下簡稱「劉」)： 很高興你能來。我們相識已久。 記得在 1976$\sim$77 年, 我以年輕訪問學員身分造訪紐約大學, 期間有一群優秀的研究生, 諸如你、Levermore ^{1 1} Charles David Levermore, 美國數學家, 馬里蘭大學數學教授。 他研究大規模行為如何從小規模的動態或結構中出現。 這包括研究統計物理學、 非線性波動方程式、 湍流建模和流體動力學。 、Klainerman ^{2 2} Sergiu Klainerman (1950$\sim$), 羅馬尼亞裔美國數學家, 研究領域為雙曲型偏微分方程和廣義相對論。 及 $\cdots\cdots$.

Russel Caflisch (以下簡稱「C」)： 是的, 還有倪維明 ^{3 3} 倪維明 (Wei-Ming Ni, 1950$\sim$), 臺灣數學家, 明尼蘇達大學榮譽退休教授, 現任香港中文大學 (深圳) 講座教授, 近年專注研究生物學中的數學問題。 、Jeff McFadden ^{4 4} Jeff McFadden, 美國數學家, 任職於美國國家標準與技術研究所 (NIST), 是應用和計算數學部數學分析和建模小組的成員。 他對數學建模做出重大貢獻, 特別是在流體動力學和介面不穩定性分析方面。 和 John Sylvester ^{5 5} John Sylvester, 美國數學家, 任教於華盛頓大學, 研究逆問題、 散射等問題。 。一群非常優秀的人。

劉： 每個人都不相同。

C： 我和 Sergiu Klainerman 是非常好的朋友。但我們就像陰和陽, 因為我很安靜, 而他恰恰相反。

劉： 是。 之後你去了史坦福大學和 Joe Keller ^{6 6} Joseph B. Keller (1923$\sim$2016), 美國數學家,在應用數學領域做出重大貢獻, 特別是在波的傳播和衍射。 他發展了幾何繞射理論 (GTD), 用於描述聲波或光波等如何繞過障礙物。他的工作涉及各種科學和工程問題, 包括第二次世界大戰期間的潛艇探測和原子爆炸的研究。 1997 年獲頒沃爾夫獎。 在一起。 情況如何？

C： Joe 和一群傑出的年輕人, 諸如 Pat Hagan ^{7 7} Patrick S. Hagan, 美國應用數學家, 曾任職 Los Almos 國家實驗室, 目前從事金融業。 , Jean-Marc Vanden-Broeck ^{8 8} 比利時裔英國數學家, 倫敦大學學院 (UCL) 的應用數學教授, 以其在應用數學、 流體力學和科學計算方面的工作而聞名。 他對自由邊界問題做出重大貢獻。他的研究可應用於兩種流體界面處傳播的波、 流體中上升的氣泡以及腫瘤的生長。 他開發了高效、 準確的邊界積分方程式方法來解決這些具有挑戰性的問題。 , John Maddocks ^{9 9} John H. Maddocks, 英國數學家, 瑞士洛桑聯邦理工學院 (EPFL) 的名譽教授。研究 DNA 力學、 計算和應用數學, 以及非線性系統穩定性。 他的研究對理解 DNA 結構及其動力學, 以及開發各種物理系統的數學模型做出重大貢獻。 。Joe 真的影響了每個人。當時我正努力進行 Boltzmann 方程的分析。Joe 說： 「這非常好, 但為什麼不做些更具應用性的東西呢？」這真是個好建議。

劉： 那麼, 你做了什麼？

C： 嗯, 我掙扎了一段時間。我學習了 Boltzmann 的數值方法, 特別是蒙地卡羅方法。我也開始研究多相流 (multiphase flow) 和渦流動力學 (vortex dynamics)。

劉： 這些工作的量很大。

C： 嗯, 歷經好幾年。

劉： John, 你提到 John Maddocks。 他之後去了馬里蘭, 對吧？

C： 是的, 是的。

劉： 當時我在馬里蘭。我記得你來馬里蘭發表演講。實際上我也是從你那裡學到 Boltzmann 方程的。

C： 是嗎？

劉： 是的, 因為你談到了 Boltzmann 震波解等等。

C： 是的。

劉： 然後你回去 Courant, 而後去了洛杉磯。這是兩個截然不同的地方。

C： 嗯, 我真的很喜歡在紐約大學和 Courant 工作, 那是一個令人興奮的地方。特別是, 當時 Peter Lax ^{10 10} Peter Lax (1926$\sim$), 匈牙利出生的美國數學家, 在可積系統、流體動力學、 衝擊波、 孤子物理、 雙曲守恆定律以及科學計算等領域有重大貢獻。 2005 年獲頒阿貝爾獎。 專訪 2002 年 12 月刊登於數學傳播第 26 卷第 4 期。 正在做極其出色的工作, 並且在很大程度上是一位領導者。我想除了他所做的數學之外, 他還是一位真正的領導者, 每個人都仰慕他。

劉： 你說的是 80 年代。

C： 是的, 80 年代。之後我妻子想搬到洛杉磯。她之前為了我搬到紐約, 所以我認為對我來說為她搬到洛杉磯還算公平。 但我發現這真的很困難；因為在紐約大學, 你會覺得自己真的處於世界的中心。在加州大學洛杉磯分校 UCLA, 你必須自己創造興奮點。

劉： 但你在那裡待了好幾年。

C： 是的, 我有待了好幾年。我真的很喜歡那裡。我結識了 Stan Osher ^{11 11} Stanley Osher (1942$\sim$), 美國應用數學家, 加州大學洛杉磯分校 UCLA 的教授, 對計算物理、 影像處理和偏微分方程有重大貢獻。 他是開發了許多有影響力的數值方法, 包括： 水平集方法, 震波捕獲方法, 基於總變分的影像處理。 和 Bjorn Engquist ^{12 12} Bjorn Engquist, 瑞典數學家, 德州大學 Austin 分校教授, 對微分方程數值方法有重大貢獻, 並將其應用於多尺度建模和流體力學, 促成可壓縮流體動力學的同質化理論和非線性高解析度方案的發展。 ,以及那裡的所有其他人物。

劉： 在我印象中, 加州大學洛杉磯分校 UCLA 在應用數學領域自己開括領域。 這可能與預期有些不同, 對嗎？ 譬如 Stan 從偏微分方程到影像處理等領域的發展。

C： 是的。 這真是一個驚喜。 我初認識 Stan 時, 他對水平集法 (Level-set method) 感到非常興奮。 他用它來處理均曲率流 (mean curvature flow)。這似乎是解決這個問題的好方法, 但我沒有看到的是, 你可以用它做更多的事情。 但是, 哇, 我真的是錯啦。它的適用範圍非常廣泛。Stan 的這一點讓我佩服。Stan 可以找到一個想法, 然後把它推前得很遠。

劉： 如何在應用數學領域取得成功？ 應該選擇哪條路徑, 或朝什麼方向發展, 這些都不是直接了當的, 是嗎？

C： 我喜歡應用數學, 被它吸引, 因為我喜歡學習人們正在研究的科學, 並結識科學家。在加州大學洛杉磯分校 UCLA, 與其他系的人互動沒有太多障礙。 因此, 我結識了機械工程、 化學工程、 金融和其他一些領域的人。例如, 我在 UCLA 加州大學洛杉磯分校見到了中央研究院院長廖俊智 (James Liao)。 他正在研究微流體, 在極小的幾何形狀中進行傳輸研究。

劉： 一所重要大型的州立大學, 的確值得我們談論, 對吧？因為它包含如此多的資源、 人力資源等等。 加州大學洛杉磯分校 UCLA 是一所重要大型的州立大學。

C： 我認為在加州大學洛杉磯分校 UCLA 很容易結識數學界以外的人。這可能是受 Stan 的影響？ 我不確定。 但這似乎很容易。 此外, 還有 IPAM (Institute for Pure & Applied Mathematics) 和奈米科學中心。是的, 有很多這樣的機構。

劉： IPAM 是如何運作的？ 你在那裡擔任了一段時間的所長。

C： 是的, 我當了 9 年的所長。 我真的很喜歡這份工作。 它讓我可以我認識不同領域的很多人。 我也開始認識電腦科學界的人。

劉： 有些人是數學科學家 (mathematical scientists), 不是傳統的數學家。

C： 數學科學家。 嗯, 我想我認為自己在某種程度上是數學科學家, 因為我喜歡數學的應用, 也喜歡數學為其他許多事物帶來的洞察力。 我總是喜歡用物理或其他應用來思考數學。我一直很喜歡這樣, 讓我能夠對數學進行詮釋, 或者有些幾何上的理解。

劉： 你現在是 Courant 研究所的所長。我記得讀過 Courant ^{13 13} Richard Courant (1888$\sim$1972), 德裔美國數學家, 對實分析、 數學物理、變分法和偏微分方程有重要貢獻。 他與 Hilbert 合作編寫的教科書《數學物理學方法》, 該書至今仍被廣泛使用。他在紐約大學創立了 Courant 數學科學研究所。 他也與 Herbert Robbins 合著了暢銷書《什麼是數學？》。 的書。早在 60 年代, Courant 就已經說： 目前應用數學的主要方向不明確。我猜想人們總是一直會問這種問題。 現在我們有了 AI 等等。Courant研究所也在演變, 對吧？

C： 是的, 的確如此。

劉： 但是對應用數學的看法是什麼？ 這是一個非常大的問題。

C： 是的, 這是一個很大的問題, 尤其是在 Courant 研究所。但我認為 AI 無處不在, 它正在產生巨大的影響。 我真是為 Courant 研究所感到自豪。我認為 Courant 研究所因為有 Yann LeCun ^{14 14} Yann LeCun (1960$\sim$), 法裔美國電腦科學家,以其在機器學習、 電腦視覺和計算神經科學領域的開創性工作而聞名。 他目前是 Meta 公司 (前身為 Facebook) 的副總裁兼首席 AI 科學家, 紐約大學 Courant 數學科學研究所教授。 LeCun 最著名的發明是卷積神經網路 (CNN), 該網路已成為深度學習領域的基礎技術。 他在光學字元辨識和電腦視覺方面的工作對 AI 技術的發展產生了重大影響。2018 年因對深度學習的貢獻而榮獲圖靈獎。 在那裡而很自豪；他是一位最早推動機器學習應用的人。他和其他幾個人在 2011 年或 2012 年首次將其用於圖像識別。 這真令人驚訝。我記得當我第一次聽到它時, 簡直不敢置信, 因為他們使用的是神經網路, 而這神經網路已存在 50 年, 但從未真正成功過。 但他們看到了其中的前景, 並設法開發了使其真正脫穎而出的技術。

劉： 他在 Courant 研究所。

C： 他在 Courant。 他學的是電腦科學, 但在 Courant 研究所。 現在有很多人嘗試用數學來更好地理解 AI, 也有人嘗試將 AI 應用在數學或計算中。 更有甚者, Terry Tao ^{15 15} Terence Tao (陶哲軒, 1975$\sim$), 澳洲裔美國數學家, 加州大學洛杉磯分校 UCLA 數學系教授, 因其在偏微分方程、 組合數學、 調和分析和加法數論方面的貢獻而於 2006 年獲得菲爾茲獎, 之後持續在這些廣泛的領域獲致非凡成就。 最近發表了一些關於在證明中使用AI 的演講； 特別是 AI 在圍棋和西洋棋取得成功之後, 你可能會認為你可以利用 AI 進行邏輯論證和數學證明。

劉： AI 的出現讓人思考： 數學系大學生在這個新時代應該如何適應並有所作為。

C： 這是個好問題。我認為這個問題會在未來幾年內浮現。我們有一位教授建議, 不應該聘用任何做應用數學的人, 而應該聘用研究應用 AI 的人。 我認為這看法有點極端。 毫無疑問, 對於從事前置 AI (pre-AI) 數學研究的人來說, 將會有很大的施展空間。

劉： 數學家在某種程度上能夠理解 AI、 欣賞 AI, 應該是件好事。

C： 我也這麼認為。 一個重要的問題是： 為什麼 AI 表現如此優異？ 這可以視為一個逼近理論的問題。我不確定這是否完全正確, 但這是一種好的思索方向。

劉： 很多人想學習理論數學, 譬如實分析。這些人未必主修數學。因此我們知道數學很受歡迎。

C： 我認為你觸及了一個非常重要的問題, 亦即數學不僅僅是服務性的, 拿來用的。我不知道這裡或史坦福大學的情況如何, 但我知道在紐約大學及許多其他大學, 入學人數正在飆升, 尤其是電腦科學方面, 而在數學方面也是如此。很難跟上這個趨勢。

劉： 我認為人們認識到, 理解數學是一件好事。

C： 是的。 而且, 在資料科學或電腦科學, 或者實際上在許多其他量化程度越來越高的領域, 都需要數學, 這樣才有未來。 我在醫學院遇到很多人, 試圖將定量方法應用於醫學。他們希望與數學家或數學研究生合作來實現這一目標。

劉： 我想回到 70 年代你開始在 Courant 工作的時候。當時有很多偏微分方程領域的重要數學家。 例如, 在分析領域, 在你我相關的兩個領域中, 比如說, 有 Peter Lax、 Harold Grad ^{16 16} Harold Grad (1923$\sim$1986), 美國應用數學家, 研究統計力學在電漿物理學及磁流體動力學的應用。 和其他許多人。現在 Courant 研究所的主要研究內容是什麼？

C： 許多人在研究流體動力學。例如, 許多人對流體動力學奇異點感興趣。 根據觀察, 湍流存在無黏度的耗散。從某種不完全嚴謹的數學來看, Onsager ^{17 17} Lars Onsager (1903$\sim$1976), 挪威出生的美國化學家。他發現非平衡態熱力學的一般關係, 提出不可逆化學過程的一般理論, 1968 年獲頒諾貝爾化學獎。 的一個結果顯示： 要獲得無黏度的耗散, 流體中必須具有奇異點。因此這方面及類似的問題上已有很多研究在進行。 這是一個大問題。 同質化 (homogenization) 方面的工作也持續進行。

劉： 所以, 這些是偏微分方程。

C： 是的, 這些都是偏微分方程問題。

劉： 也有機率。

C： 機率。 是的。 例如 Raghu Varadhan ^{18 18} Srinivasa Raghu Varadham (1942$\sim$), 印度裔美國數學家, 任教於紐約大學 Courant 研究所, 研究罕見事件機率的大偏差理論獲致重大進展, 對機率論有根本性貢獻。 他於2007年獲頒阿貝爾獎。 專訪 2008 年 3 月刊登於數學傳播第 32 卷第 1 期。 、Gérard Ben Arous ^{19 19} Gérard Ben Arous (1957$\sim$), 法國數學家, 研究隨機分析及其在數學物理中的應用。 2011 年至 2016 年擔任紐約大學 Courant 研究所所長。 、Paul Bourgade ^{20 20} Paul Bourgade (1982$\sim$), 紐約大學 Courant 研究所的教授。他的研究主要集中在機率論, 特別是隨機矩陣和隨機分析。 對隨機矩陣集合的普遍性, 及其與偏微分方程和解析數論等其他數學領域的聯繫, 他做出重大貢獻。 , 以及其他在偏微分方程中使用機率的人。還有一些年輕人。 他們在隨機矩陣和自旋玻璃 (spin glass) 方面做很多研究。 自旋玻璃是一種允許無序的數學物理模型, 介於液體和固體之間。

劉： 有什麼特定的項目？ 你要推動 Courant 研究所朝某個方向發展？

C： 我認為一個重大的推動力是 AI 和資料科學, 奇異點及其影響是另一個方向。我們有一個電漿研究群。你之前提到了 Harold Grad。 這就是 Harold Grad 的遺產。他在 80 年代末過世, 但他的團隊延續了很長一段時間。之後活動減少。 目前電漿的研究實在不多, 但現在又開始增長了。

劉： 今天早上你談到了這點。

C： 是的, 我在這方面有些研究。 對。

劉： 這個融合的東西現在確實是可能的, 對嗎？

C： 從事融合研究的人已重生, 核融合的想法已實際可行。它甚至吸引了大量的資金。 有些小型初創公司正在努力, 非常令人驚喜。

劉： 有融合、 高溫超導, 還有量子計算機。

C： 我認為高溫超導是個重大突破。

劉： 是, 高溫超導。

C： 是的, 這些現在都是有趣的領域。 我對量子計算的看法尚不確定。 我想我對他們的說法感到反感。 過度炒作。就他們正在從事的事情來說, 他們所謂的量子霸權 (quantum supremacy), 在我看來是一個誇張的名詞。但看起來確實很有趣。 有些人在做一些非常有趣的事情, 比如開發可以在量子電腦運行的演算法。

劉： 是的, 這可以做的。

C： 那似乎很好。 這似乎是一門很好的科學。 我認為他們已經非常接近量子通訊了, 你可以使用量子力學來編碼消息, 沒有密鑰就無法解碼。 至少在某種程度上是這樣。我認為你和我的一個共同點是尊崇 Peter Lax 為英雄。 在我心目中 Peter 是英雄。

劉： Peter Lax 的一個強項是他有非常好的常識 (common sense)。儘管「常識」這個詞可以有不同的解釋, 但它可以是深刻見識的表徵。良好的常識是難得的。

C： 他也有表達想法的天賦, 我覺得真是深富啟發性。

劉： 76 年、 77 年我在那裡。那年讓我感到興奮。當時 Courant 和 Friedrich ^{21 21} Kurt Otto Friedrichs (1901$\sim$1982), 德裔美國數學家, 致力於偏微分方程的許多方面的研究。他是 Courant 研究所的共同創辦人。 已經退休了, 但那裡還有很多其他人, 比如 Joe Keller、 Harold Grad、 Nirenberg ^{22 22} Louis Nirenberg (1925$\sim$2020), 加拿大出生的美籍數學家, 對線性及非線性偏微分方程理論, 及其在複分析、 幾何中的應用做出重大貢獻。 2015 年獲頒阿貝爾獎。 ......

C： Garabedian ^{23 23} Paul Roesel Garabedian (1927$\sim$2010), 美國數學家暨數值分析學家, 在計算流體動力學、 電漿物理學領域做出重大貢獻。 。

劉： Garabedian, 是的。

C： 是的, 有很多真正的巨人。 那時還是巨人。

劉： 那真是偏微分方程的黃金時代。

C： Jürgen Moser ^{24 24} Jürgen Moser (1928$\sim$1999), 德裔美國數學家, 研究哈密頓動力系統和偏微分方程, 發展 KAM 理論, 該理論研究可積系統在受到輕微擾動時的穩定性。 他也為 Moser 迭代技巧的發展做出貢獻, 該技巧用於證明偏微分方程解的規律性結果。 。我不清楚他首次造訪的時間。 我不認為他在那裡待了那麼久。

劉： 我上過他的課, 他舉了這個例子、那個例子、更多的例子。我鼓起勇氣問他, 「你的目標是什麼？你為什麼要這樣做？」記憶所及, 他說, 「我只想知道動態系統可以有多豐富, 事情可以有多糟糕」, 諸如此類。這讓我想起了你說的奇異點, 我們理解規律性, 但有許多不同的方式可以成為奇異點。

C： 是的。 我和侯一釗 Tom Hou ^{25 25} 侯一釗 (Thomas Hou, 1962$\sim$), 美國數學家, 加州理工學院計算與數學科學系教授, 因數值分析和數學分析方面的工作而知名。 談了很多, 我相信他已經為不可壓縮的歐拉方程成功地構建了奇異點。 他似乎即將構建出 Navier-Stokes 奇異點。

劉： 是的, 這是一件困難的工作。 根據 Caffarelli ^{26 26} Luis Caffarelli (1948$\sim$), 阿根廷數學家, 任教於德州大學 Austin 分校。 在自由邊界問題, 以及 Monge–Ampère 方程式、 Navier-Stokes 方程式等非線性偏微分方程領域, 他堪稱領導者。 專訪 2008 年 9 月刊登於數學傳播第 32 卷第 3 期。 、Kohn ^{27 27} Robert V. Kohn (1953$\sim$), 任教於紐約大學 Courant 研究所, 研究偏微分方程、 變分法、 數學材料科學和數學金融。 和 Nirenberg 的論文, 如果奇異點存在, 它就會在一個非常非常小的集合上, 對吧？ 所以, 要構建奇異點, 基本上, 你必須追蹤它。 它們不會自己顯現。

C： Tom 的做法是, 起初幾個物件都受到幾何上的限制, 但隨後他找到了自相似的形式。

劉： 無邊界。

C： 它們沒有邊界。 對。 我猜想自相似性降低了維度。 邊界將東西固定在原地。 你可能認為奇異點開始形成了, 但它可能會在某個地方飛出並消失； 有邊界時, 他用邊界來保持奇異點的位置, 我認為自相似性做了類似的事情。 我認為他的方法很有趣, 也是因為他做了很多事情來建構它。 在構建過程中, 他從數值計算和穩定性分析起步。 之後, 他用數值分析來證明他的解沒有太多的數值誤差, 並使用積分算術來證明他的解中沒有太多的捨入誤差。 這使狀態保持穩定。

劉： 然後分析穩定性理論 (analytical stability theory) 可以用上。

C： 是的, 這樣數值解就成了真正的數學解。 這真是太神奇了。

劉： 是的, 他將各種分析事物與非常優質的計算相結合。

C： 你知道, 我在數學方面擔心的是, 在我們的領域, 尤其是在偏微分方程, 數學已經變得非常技術性, 以至於論文通常長達 100 頁或更長, 這使得這個領域變得非常困難。 我憂心未來會發生什麼。

劉： 是的。 但還有像 AI 這樣的事物。 所以, 整體來看數學還行, 但過於技術性的東西可能會被淘汰。

C： 沒錯。 我認為年輕人現在要進入這個領域已更加困難。 一個解決方法可能是讓 AI 以某種方式參與其中。

劉： 自你 70 年代出道以來。 你對哪些事情感到興奮？

C： 哦, 我？ 我依然喜歡蒙地卡羅方法。 我覺得它們非常美。 我喜歡它們, 因為它們非常穩健 (robust)。 它們是有點生硬的工具, 但它們可以做很多事情。 我喜歡。

劉： 你說這方法很穩健, 是因為它是機率性的。 機率具有一定的穩健性, 因為存在大數法則、 中央極限定理之類的東西, 對吧？ 因此, 萬一你從錯誤的數據開始, 這些法則可以挽救局面。 是嗎？

C： 是的, 我認為是這樣。 對我來說, 機率方法是一種很好的整合器, 因為它們適用於很多問題, 而且它們以類似的方式應用。 你知道, 金融、 醫學、 液體、 偏微分方程, 你可以在所有這些東西中找到機率。 我不是一個機率學者, 但我一直喜歡機率方法。 我也喜歡嘗試在偏微分方程中使用優化。 我認為這是一件令人興奮的事情。 我也喜歡應用。 我曾經研究數學金融, 但隨著金融領域的變化, 我的研究方向也有所調整。

劉： 以什麼方式？

C： 我認為 2008 年的金融危機和其他早期事件, 確實展現一些數學模型的不合宜。 而且波動不是常態分佈的。 所以你不能用 Black-Scholes 理論來描述它們。 我認為人們仍然使用 Black-Scholes, 但他們也使用了很多資料驅動的方法。

劉： 但人們意識到如此可能會更穩健。

C： 我猜想它更穩健。 對。 像 Jim Simons ^{28 28} James Simons (1938$\sim$2024), 美國數學家、 對沖基金經理人及慈善家。 他創立的量化對沖基金 Renaissance Technologies, 利用數學模型和演算法獲得投資收益, 獲利非凡。 他也為微分幾何和密碼學等領域做出貢獻； 他與陳省身先生共同發展了 Chern-Simons form, 並為弦理論做出了重大貢獻。 除了財務和學術成就外, 他和夫人於 1994 年創立了 Simons 基金會, 支持數學、 科學研究以及教育和健康計劃。 這樣的人正在崛起, 很難確切知道他們到底在做什麼, 但他們似乎設法從微小的波動中獲利, 並從不確定性或波動中收益。 市場分裂的方式給了他們優勢； 亦即, 市場在某些方面是協調的, 但在其他方面是分裂的。 我認為他們設法把握市場時機； 他們不是在最高點買賣股票, 而是設法快速獲得買賣訂單。

劉： 所以他們更能識別隱藏的機制？

C： 是的, 我認為他們是如此。 他們如何運作是個機密, 但似乎是這樣的。

劉： 我們知道 Jim Simons 是一位非常優秀的數學家。

C： 他很優秀, 是的。 他的成就真是太神奇了。

劉： 他剛剛過世, 不久前。

C： 我知道。 嗯, 我們深受 Flatiron 研究所 ^{29 29} Flatiron 研究所是 Simons 基金會在紐約設立的研究機構, 2016 年成立。 該研究所致力於透過資料分析、 理論、 建模和模擬等計算方法, 推進天文物理、 生物和量子物理等領域的科學研究。 影響, 因為我們一些最好的教授在那裡兼職。 還有一些人在科技公司工作, 例如 Meta (前身為 Facebook)、 Google或其他公司。

劉： 你們是否有教授與他們有直接的聯繫？

C： 是的, 一些人甚至有三分之二或一半時間在公司或 Flatiron 研究所工作。

劉： 你想辦法通融這狀況。

C： 是的。 我完全支持, 但這確實讓我們失去了一些優秀人才和領導者。 公司想要的是領導者。

劉： 你曾在洛杉磯和紐約擔任所長。 這份工作最困難的是什麼？

C： 有很多困難。 我想成為真正的行動主義者, 改變事物並努力改進。 但這可能造成威脅性。 許多數學家寧可只做研究, 不願改變環境。 因此, 要說服人們進行改變可能很難。 我理解這一點。

劉： 現在美國有很多研究所。

C： 我認為數學研究所非常好。 我在 IPAM 工作多年。 它們是真正的創新中心： 重要的事件發生時, 它們會幫助許多人了解新發展, 例如 AI、 醫學成像或量子計算等。 他們還將數學家和需要數學的其他領域的人聚集在一起。 這非常令人興奮。

劉： 布朗大學和柏克萊等地都有研究所。

C： 還有加州大學洛杉磯分校 UCLA。 芝加哥也有一個新的研究所。 MSRI 表現不錯。 他們獲得一筆巨額捐款, 因此他們可以自籌資金完成很多工作。 我認為布朗大學的研究所也非常好。 我待過一些時間, 覺得那裡身份明確, 設施優良。 當然, 我偏愛 IPAM, 因為我曾在那裡擔任所長。

劉： 可否請你談一談 IPAM 的一些成就？

C： 一個重要事件是, 他們讓材料科學家和數學家一起研究一些問題, 特別是密度泛函理論 (density functional theory, DFT)。 密度泛函理論是一個量子力學理論, 基本上保持原子核不動, 用該理論計算電子密度。 電子的計算是藉由積分方程和偏微分方程完成的。 現代電子和感測器等許多設備都依賴該理論進行計算。

劉： NSF (National Science Foundation) 正在推動 AI 研究。

C： 是的, 他們確實如此。 我認為他們正在推廣基於電腦的證明, 其中很大一部分可能涉及 AI。

劉： 台灣在晶元製造方面非常強大, 而這些技術的基礎是量子力學。

C： 他們能做的事情真是令人驚嘆。 我記得約 20 年前聽說過量子點 (quantum dot)。 他們當時正在學習製造並控制量子點的大小。 現在有了基於量子點的電視螢幕。 它們必須是大尺寸的 (有很多點), 也必須統一規格。 他們能夠如此精確地控制這些技術, 實在令人驚嘆。 但我不知道其中涉及多少數學知識。

劉： 好的。 涉及多少數學？

C： 我認為他們的研究是根據密度函數理論等方法進行的。 材料的發現也是一個重要課題。 這在很大程度上涉及材料的量子特性。

劉： 幾周前, AI 公司的 CEO 黃仁勳到台灣。 訪台期間, 台灣對 AI 相關事物充滿熱情。

C： 他是 Nvidia 的 CEO 嗎？ 還是其他公司？

劉： 是的。

C： 哦, Nvidia。 他們研發生產專門用於 AI 的圖形處理單元 (GPU, Graphics Processing Unit)。

劉： 是的, 沒錯。 他們為 AI 用戶服務。

C： 我認為這家公司嚴格來說是美國公司, 但實際上是臺灣公司。

劉： 該公司是一家美國企業。 CEO 黃仁勳出生於臺灣, 童年時期移民到美國。 我們有一家晶元製造商與他合作。

C： 這十分重要。

劉： 數學系如何應對新技術的崛起？ 是否教好微積分、 線性代數, 學生就能參與這些新技術？

C： 喔, 這是一種商業模式。 從某種角度看, 我們是一家企業, 因為我們教書賺錢。 但我們也是一家科技公司, 有著商業角色。

劉： 你是說我們需要不時研究這種商業模式, 並調整課程以適應它？

C： 我想是的。 是的。

劉： 你待過的 Courant 或 UCLA 提供了哪些新課程？

C： 事物可以通過多種方式翻新, 例如教學方法, 尤其是在微積分方面。 在美國, 特別是紐約大學, 有多種教學模式, 其中之一是翻轉課堂; 它結合講座和問題討論, 講師直接與學生互動, 主要教學在小組課程中完成。

劉： 小組課程。

C： 是的。 不是在學生面前講課, 而是學生觀看錄影內容後, 分組解決問題, 教師則在各小組間巡迴提供幫助。

劉： 那麼這樣做的優點是？

C： 優點是學生藉由實踐而不是僅聽講來學習。 我不認為這適合所有人, 但我認為對很多學生來說, 這是一種更有效的方法。

劉： 這也提高了他們的溝通能力。

C： 對。 還有他們的數學溝通技巧。

劉： 因為在當前這個新的高科技環境中, 擁有良好的溝通習慣是件好事。 但我們相信微積分、 線性代數等傳統數學, 它們是我們所做的任何技術的基礎。

C： 當然。 它們不會消失。 還有機率。 它們不會消失。 還有優化。

劉： 優化需要結合所有這些。

C： 是的, 對。

劉： 你現在教課嗎？

C： 不, 自從我去了 Courant, 我就沒有教過書了。 我忙於會議和行政。

劉： 你在 Courant 多久了？

C： 7 年。

劉： 你回 Courant 七年了？

C： 是的。 2017 年我回 Courant。 我知道這是很長的時間。 我愛 Courant, 我愛紐約。

劉： 我能理解。

劉： 對我來說紐約讓人感覺步調緊湊, 對吧？

C： 是的, 非常緊湊。 不過我喜歡這樣。

劉： 我在那裡住了兩年, 從 1988 年到 1990 年, 並不輕鬆。 之前我們住在郊區, 然後進了城, 孩子們當時正上中小學, 所以時間並不理想。

C： 之後你搬到史坦福？

劉： 是的。

C： 我覺得我對 Courant 有種浪漫的情感, 因為我仍能感受到 Peter Lax 和 Joe Keller 的存在。 與許多其他美國大學相比, 我認為紐約大學現在的一個優勢是, 因為住房非常困難且昂貴, 教授們住在大學宿舍, 這意味著大家生活在一起, 使得學術社區更緊密。

劉： 你正在研究電漿, 就我了解, 這真是很令人興奮, 但目前仍處於早期階段, 對吧？

C： 這種情況會持續一段時間。

劉： 那麼, 你有何近期計畫嗎？

C： 是的, 這就是我的計劃。 而且, 和其他人一樣, 我想做一些 AI。 我不太確定能做什麼, 但我正在學習, 並與一些人合作。

劉： 你朝一個新方向走。 很多人不走新方向, 害怕會沒成果, 你不擔心嗎？

C： 不, 我確實擔心自己的生產力。 我現在 70 歲了。 所以我覺得提高生產力的壓力減少了一些。 有更大的壓力要我做一些原創的事情。

劉： 對有終身教職的人來說, 這應該是好的心態。

C： 是的, 對。 我很喜歡擔任所長。 我可以投入很多時間嘗試在其他一些領域推廣數學。 例如, 我與醫學院一直有大量的合作。 我們組織研討會, 我會去聽聽大家在做什麼。 醫學界有許多人正在嘗試使用定量方法、 AI 或偏微分方程之類的東西。 許多部分的基因組學也存在很多定量問題。 醫學成像也涉及大量數學和物理問題。

劉： 在我看來, 你的態度是： 當我去學習一些東西時, 既為了自己的研究, 也為研究所提供可能性。

C： 是的。 這就是我正在嘗試做的。

劉： 這是非常好的心態。

C： 令我驚訝的是, 尤其是在醫學領域, 人們如此開放, 如此渴望更加量化, 並尋求與數學及電腦科學領域的人進行合作計畫。 但他們通常希望能接觸研究生。 我們目前的研究生有點供不應求。 這實際上限制了我們能做的。

劉： 研究生供不應求, 是因為資金不足, 還是其他原因？

C： 紐約大學對研究生的資助有相當具體的規定, 我們必須為每個學生準備 6 年的資金。 這讓招收需要的學生人數變得更加困難。 我們尚未真正解決這個問題。 但我認為我們會有所改進。

劉： 我們已經討論了很多 IPAM 和 Courant 進行的數學研究。 作為所長, 你與許多人有接觸。 你認為當前數學界有哪些令人興奮的發展？

C： 嗯, 似乎有很多事情。 我覺得在機率、 偏微分方程和科學計算方面有很多令人興奮的發展。 這些就是我們一直在談的。

劉： 是的, 很高興聽到你的演講, 也很高興聽到你下午的談話。 傳統數學與現代科學密切相關。 事物會發生變化, 但也有一些事物會保持不變, 在某種意義上來說是這樣。

C： 是的, 確實如此。

劉： 所以很高興聽到這個。

C： 嗯, 我認為基本的數學方法沒有太大變化。 但是, 它們的應用確實發生了變化。

劉： 是的。 因此, 學生需要做的是具備好的數學基礎, 但也要有開放的心態, 還要有與他人交流的勇氣, 並敢於嘗試新事物。

C： 是的。 我認為這很重要。

劉： 美國人非常大膽, 這總令我驚訝。 他們並不是學更多東西, 但他們不怕新事物。 例如 AI 之類的東西, 美國更為活躍。

C： 嗯, AI 發源自美國和加拿大。

劉： 是的。 因此, 美國文化具有這些內在的優勢。 為什麼？

C： 我認為創新是本來大家期待的。 但這必然會付出文化代價。 我們將觀察未來的發展。

劉： Russ, 很高興和你聊。 祝你開車順暢, 與夫人在北臺灣玩得愉快。 希望我們能很快再見面。

本文訪問者劉太平任職於中央研究院數學研究所