關鍵字: 蝴蝶定理、坎迪定理、四邊形。

一、前言

關於蝴蝶定理 (Butterfly Theorem), 如圖 1, 過圓內弦 $\overline{PQ}$ 的中點 $M$ 任作兩弦 $\overline{AB} $ 和 $\overline{CD} $, 連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交弦 $\overline{PQ}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\overline{XM} = \overline{MY} $。 除此之外, 文獻也針對蝴蝶形的連接方式、 弦 $\overline{PQ}$、 $M$ 點的位置和外接其他圓錐曲線作發想, 而有一些推廣的性質。 如圖 2, 若將蝴蝶形外接的圓形改成四邊形, 那蝴蝶形是否也會有類似的性質？ 於是我們決定繼續推廣蝴蝶定理, 看能否有更多不一樣的發現。

 

 

二、名詞定義

(一) 蝴蝶形： 如圖 3, 凸四邊形的對角線相連, 所產生四個角形, 兩個不相鄰的三角形所構成。 (參 )
(二) 蝴蝶形的中心： 如圖 3, 蝴蝶形中, 兩個三角形共用的頂點。 (參 )
(三) 蝴蝶線： 如圖 4, 通過蝴蝶形的中心並與蝴蝶形兩側相交的直線。 (參 )

 

 

(四) 坎迪定理 (Candy Theorem) (參 )

如圖 5, 設 $\overline{PQ}$ 為圓內一條弦, 過 $\overline{PQ}$ 上一點 $M$ 任作兩弦 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$, 若連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別與 $\overline{PQ}$ 交於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\dfrac{1}{\overline{XM}}-\dfrac 1 {\overline{YM}} =\dfrac 1{\overline{PM}}-\dfrac 1{\overline{QM}}$。

 

 

(五) 共邊定理 (參 )

如圖 6, 設 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 共邊 $(\overline{BC} = \overline{B'C'})$, 且 $D$ 是 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AA'}$ 的交點, $A'\not=D$, 則 $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle A'B'C'}=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{A'D}}$。 這裡 $\triangle ABC$ 表示 $\triangle ABC$ 的面積。

(六) 共角定理 (參 )

如圖 7 和 8, 設 $\angle ABC$ 和 $\angle A' B' C'$ 相等或互補, 即 $\angle ABC= \angle A' B' C'$ 或 $\angle ABC+ \angle A' B' C'\!=\! 180^\circ $, 則 $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle A'B'C'}\!=\!\dfrac{\overline{AB} \!\times\! \overline{BC}}{\overline{A'B'}\!\times\!\overline{B'C'}}$。 這裡 $\triangle ABC$ 表示 $\triangle ABC$ 的面積。

 

 

三、四邊形的蝴蝶定理

根據四邊形對邊是否平行與對角線是否平分, 分成梯形、 平行四邊形、 一條對角線被平分的四邊形、 任意四邊形做討論, 而有以下的定理：

(一) 定理 1 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為梯形, $\overline{PQ}$ 為平行上下底 $\overline{A_1 A_2}$、 $\overline{A_3 A_4}$ 的截線段, 以 $\overline{PQ}$ 為蝴蝶線, $\overline{PQ}$ 上任一點 $M$ 為蝴蝶中心, 若蝴蝶形 $ABCD$ 的頂點分別落在上下底, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交 $\overline{PQ}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\overline{MX}= \overline{MY}$。 (梯形之蝴蝶定理) (此定理是作者的創見)

 

證明： 如圖 9, 因為 $\overline{PQ} //\overline{A_1 A_2}//\overline{A_3 A_4}$, 所以 $\dfrac{\overline{XM}}{\overline{DB}}=\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CM}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{MY}}{\overline{DB}}$, 從而 $\overline{MX}=\overline{MY}$。

(二) 定理 2 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為平行四邊形, 以對角線的交點 $M$ 為蝴蝶中心, 一組對邊 $\overline{A_1 A_4}$、 $\overline{A_2 A_3}$ 的中點連線 $\overline{PQ}$ 為蝴蝶線, 若蝴蝶形ABCD的頂點不全落在一組對邊上, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交 $\overline{PQ}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\overline{MX}=\overline{MY}$。 若進一步以M為中心將蝴蝶線 $\overline{PQ}$ 旋轉成蝴蝶線 $\overline{P'Q'}$, 且 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CB}$ 分別交 $\overline{P'Q'}$ 於 $X'$、 $Y'$ 兩點, 則 $\overline{MX'}=\overline{MY'}$。 (平行四邊形之蝴蝶定理) (此定理是作者的創見)

證明：

 

(1) 如圖 10, 因為 $\overline{A_1 A_4}//\overline{A_2 A_3}$, 所以 $\angle APM= \angle BQM$, $\overline{PM} = \overline{QM} $, $\angle AMP= \angle BMQ$, 推得 $\triangle AMP\simeq \triangle BMQ$ (ASA), 從而 $\overline{AM}=\overline{MB}$。 又 $\overline{PQ} //\overline{A_1 A_2}//$ $\overline{A_3 A_4}$, 所以 $\overline{CM}=\overline{MD}$, 且 $\angle AMD= \angle BMC$, 推得 $\triangle AMD\simeq \triangle BMC$ (SAS), 從而 $\angle MAX= \angle MBY$, 推得 $\triangle AMX\simeq \triangle BMY$ (ASA), 故 $\overline{MX}=\overline{MY}$。

(2) 因為 $\angle MAD= \angle MBC$, 所以 $\overline{AD} //\overline{CB}$, 從而 $\angle MXX'= \angle MYY'$, 且 $\overline{MX}= \overline{MY}$、 $\angle XMX'= \angle YMY'$, 推得 $\triangle MXX'\simeq \triangle MYY'$ (ASA), 故 $\overline{MX'}=\overline{MY'}$。

(三) 定理 3 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為一條對角線 $\overline{A_1 A_3}$ 被另一條 $\overline{A_2 A_4}$ 平分的四邊形, 以 $\overline{A_1 A_3}$ 為蝴蝶線, $\overline{A_1 A_3}$ 的中點 $M$ 為蝴蝶中心, 若蝴蝶形 $ABCD$ 的頂點分別落在四邊形的四條邊或邊的延長線上, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交 $\overleftrightarrow{A_1A_3}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\overline{MX}=\overline{MY}$。 (四邊形之蝴蝶定理)

證明： (參考資料 的證法)

 

 

如圖 11 和 12, 由共邊、 共角定理, 及 $\overline{A_1M} = \overline{A_3M}$ 可得

\begin{align*} \frac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}}=& \frac{\triangle MAD}{\triangle A_1AD}= \frac{\triangle MAD}{\triangle MBC}\!\times\! \frac{\triangle MBC}{ \triangle A_3BC} \!\times\! \frac{\triangle A_3BC}{\triangle A_3 A_2 A_4}\!\times\! \frac{\triangle A_3 A_2 A_4}{\triangle A_1 A_2 A_4}\!\times\! \frac{\triangle A_1 A_2 A_4}{\triangle A_1 DA}\\ =&\frac{\overline{MA} \times \overline{MD}}{\overline{MB}\times\overline{MC}}\times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B} \times \overline{A_3C}}{\overline{A_3A_2} \times \overline{A_3A_4}}\times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}} \times \frac{\overline{A_1A_2}\times \overline{A_1A_4}}{\overline{A_1D} \times \overline{A_1A}}\\ =&\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}} \times \frac{\overline{MD}}{\overline{MC}}\times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3A_2}}\times \frac{\overline{A_3C}}{\overline{A_3A_4}} \times 1\times \frac{\overline{A_1A_2}}{\overline{A_1D}} \times \frac{\overline{A_1A_4}}{\overline{A_1A}} \\ =&\frac{\triangle A_1A_3A}{\triangle A_1A_3B}\!\times\! \frac{\triangle A_1A_3D}{\triangle A_1A_3C} \!\times\! \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \!\times\! \frac{\triangle A_1A_3B}{\triangle A_1A_3A_2}\!\times\! \frac{\triangle A_1A_3C}{\triangle A_1A_3A_4} \!\times\! \frac{\triangle A_1A_3A_2}{\triangle A_1A_3D}\\ &\!\times\! \frac{\triangle A_1A_3A_4}{\triangle A_1A_3A}=\frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}}, \end{align*}

由合比性質得 $\dfrac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}}=\dfrac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}}\Longrightarrow\dfrac{\overline{MX}}{\overline{MX} + \overline{A_1X}} = \dfrac{\overline{MY}}{\overline{MY}\!+\!\overline{A_3Y}}$, $\dfrac{\overline{MX}}{\overline{A_1M}} = \dfrac{\overline{MY}}{\overline{A_3M}}$, 故 $\overline{MX} = \overline{MY}$。

(四) 定理 4 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為一條對角線 $\overline{A_1 A_3}$ 被另一條 $\overline{A_2 A_4}$ 平分於 $O$ 的四邊形, $\overline{A_1 O}=\overline{A_3 O}$, 以 $\overline{A_1 A_3}$ 為蝴蝶線, $\overline{A_1 A_3}$ 上一點 $M$ 為蝴蝶中心, 若蝴蝶形 $ABCD$ 的頂點分別落在四邊形的四條邊或邊的延長線上, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交 $\overleftrightarrow{A_1A_3}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\dfrac{\overline{MX}}{\overline{MA_1}}= \dfrac{\overline{MY}}{\overline{MA_3}}$。 可改寫成 $\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XM}}\times \dfrac{\overline{MY}}{\overline{YA_3}}=1$。 (四邊形之蝴蝶延伸定理) (此定理是作者的創見)

證明：

 

 

如圖 13 和 14, 由共邊、 共角定理, 及 $\overline{A_1 O}=\overline{A_3 O}$ 可得

\begin{align*} \dfrac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}}=&\frac{\triangle MAD}{\triangle A_1AD} \!=\!\frac{\triangle MAD}{\triangle MBC}\!\times\! \frac{\triangle MBC}{\triangle A_3BC} \!\times\! \frac{\triangle A_3BC}{\triangle A_3 A_2 A_4}\!\times\! \frac{\triangle A_3 A_2 A_4} {\triangle A_1 A_2 A_4}\!\times\! \frac{\triangle A_1A_2 A_4}{\triangle A_1 DA}\\[5pt] =&\frac{\overline{MA} \times \overline{MD}}{\overline{MB} \times \overline{MC}}\times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B} \times \overline{A_3C}} {\overline{A_3A_2}\times \overline{A_3A_4}}\times \frac{\overline{A_3O}}{\overline{A_1O}} \times \frac{\overline{A_1A_2} \times \overline{A_1A_4}}{\overline{A_1D} \times \overline{A_1A}}\\[5pt] =& \frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}\times \frac{\overline{MD}}{\overline{MC}} \times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3A_2}}\times \frac{\overline{A_3C}}{\overline{A_3A_4}} \times 1\times \frac{\overline{A_1A_2}}{\overline{A_1D}} \times \frac{\overline{A_1A_4}}{ \overline{A_1A}}\\[5pt] =&\frac{\triangle A_1A_3A}{\triangle A_1A_3B}\times \frac{\triangle A_1A_3D}{\triangle A_1A_3C} \times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\triangle A_1A_3B}{\triangle A_1A_3A_2}\times \frac{\triangle A_1A_3C} {\triangle A_1A_3A_4}\times \frac{\triangle A_1A_3A_2}{\triangle A_1A_3D}\\[5pt] &\times \frac{\triangle A_1A_3A_4}{\triangle A_1A_3A}= \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}}, \end{align*}

由合比性質得 $\dfrac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}}= \dfrac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}}\Longrightarrow \dfrac{\overline{MX}}{\overline{MX} \!+\! \overline{A_1X}} = \dfrac{\overline{MY}}{\overline{MY} \!+\! \overline{A_3Y}}$, 故 $\dfrac{\overline{MX}}{\overline{MA_1}}= \dfrac{\overline{MY}}{MA_3}$。

若將原式的左式移項, 可得 $\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XM}} \times \dfrac{\overline{MY}}{YA_3}=1$。

(五) 定理 5 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為任意四邊形, 以 $\overline{A_1 A_3}$ 為蝴蝶線, 兩對角線交點 $M$ 為蝴蝶中心, 若蝴蝶形 $ABCD$ 的頂點分別落在四邊形的四條邊或邊的延長線上, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交 $\overleftrightarrow{A_1A_3}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\dfrac 1{\overline{MX}}-\dfrac 1{\overline{MY}}=\dfrac 1{\overline{MA_1}}-\dfrac 1{\overline{MA_3}}$。 可改寫成 $\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XM}}\times \dfrac{\overline{MY}}{\overline{YA_3}}\times \dfrac{\overline{A_3M}}{\overline{MA_1}}=1$。 (四邊形之坎迪定理)

 

證明： (參考資料 的證法)

 

 

如圖 15 和 16, 由共邊、 共角定理可得

\begin{align*} \frac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}}=&\frac{\triangle MAD}{\triangle A_1AD}= \frac{\triangle MAD}{\triangle MBC}\times \frac{\triangle MBC}{\triangle A_3BC}\times \frac{\triangle A_3BC}{\triangle A_3 A_2 A_4} \times \frac{\triangle A_3 A_2 A_4}{\triangle A_1 A_2 A_4}\times \frac{\triangle A_1 A_2 A_4}{\triangle A_1 DA}\\ =&\frac{\overline{MA} \times \overline{MD}}{\overline{MB} \times \overline{MC}}\times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B} \!\times\!\overline{A_3C}} {\overline{A_3A_2} \!\times\! \overline{A_3A_4}}\times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}}\times \frac{\overline{A_1A_2} \!\times\! \overline{A_1A_4}}{\overline{A_1D} \!\times\! \overline{A_1A}}\\ =& \frac{\overline{MA}}{\overline{MB}} \times \frac{\overline{MD}}{\overline{MC}} \times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3A_2}} \times \frac{\overline{A_3C}}{\overline{A_3A_4}} \times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}} \times \frac{\overline{A_1A_2}}{\overline{A_1D}}\times \frac{\overline{A_1A_4}}{\overline{A_1A}}\\ =&\frac{\triangle A_1A_3A}{\triangle A_1A_3B}\times \frac{\triangle A_1A_3D}{\triangle A_1A_3C} \times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\triangle A_1A_3B}{\triangle A_1A_3A_2}\times \frac{\triangle A_1A_3C}{\triangle A_1A_3A_4}\times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}} \\ &\times \frac{\triangle A_1A_3A_2}{\triangle A_1A_3D}\times \frac{\triangle A_1A_3A_4}{\triangle A_1A_3A}= \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}}, \end{align*}

推得 $\dfrac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}} = \dfrac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \dfrac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}}\Longrightarrow \dfrac{\overline{MX}}{\overline{MA_1}- \overline{MX}} = \dfrac{\overline{MY}}{\overline{MA_3}\!-\!\overline{MY}}\times \dfrac{\overline{MA_3}}{\overline{MA_1}}$,

取倒數 $\dfrac{\overline{MA_1}\!-\!\overline{MX}}{\overline{MX}}=\dfrac{\overline{MA_3}\!-\!\overline{MY}}{\overline{MY}} \times \dfrac{\overline{MA_1}}{\overline{MA_3}}$ 化簡 $\dfrac{\overline{MA_1}}{\overline{MX}}-1=\big(\dfrac{\overline{MA_3}}{\overline{MY}}-1\big)\times \dfrac{\overline{MA_1}}{\overline{MA_3}}$,

推得 $\dfrac 1{\overline{MX}}-\dfrac 1{\overline{MA_1}}=\dfrac 1{\overline{MY}}-\dfrac 1{\overline{MA_3}}$, 即 $\dfrac 1{\overline{MX}}-\dfrac 1{\overline{MY}}=\dfrac 1{\overline{MA_1}} -\dfrac 1{\overline{MA_3}}$。

若將原式的左式移項, 可得 $\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XM}}\times \dfrac{\overline{MY}}{\overline{YA_3}} \times \dfrac{\overline{A_3M}}{\overline{MA_1}}=1$。

(六) 定理 6 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為任意四邊形, 以 $\overline{A_1 A_3}$ 為蝴蝶線, $\overline{A_1 A_3}$ 上一點 $M$ 為蝴蝶中心, 若蝴蝶形 $ABCD$ 的頂點分別落在四邊形的四條邊或邊的延長線上, 且連接 $A$、$D$ 和 $C$、$B$ 分別交 $\overleftrightarrow{A_1A_3}$ 於 $X$、$Y$ 兩點, 則 $\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XM}}\!\times\! \dfrac{\overline{MY}}{\overline{YA_3}} \! \times\! \dfrac{\overline{A_3O}}{\overline{OA_1}}\!=\!1$。 (四邊形之坎迪延伸定理 1)

證明： (參考資料 的證法)

 

 

如圖 17 和 18, 由共邊、 共角定理可得

\begin{align*} \frac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}} =& \frac{\triangle MAD}{\triangle A_1AD}\!=\! \frac{\triangle MAD}{\triangle MBC} \!\times\!\frac{\triangle MBC}{\triangle A_3BC}\!\times\! \frac{\triangle A_3BC}{\triangle A_3 A_2 A_4} \!\times\!\frac{\triangle A_3 A_2 A_4}{\triangle A_1 A_2 A_4}\!\times\! \frac{\triangle A_1 A_2 A_4}{\triangle A_1 DA}\\[5pt] =&\frac{\overline{MA} \!\times\!\overline{MD}}{\overline{MB} \!\times\!\overline{MC}}\times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B} \!\times\! \overline{A_3C}}{\overline{A_3A_2} \!\times\! \overline{A_3A_4}}\times \frac{\overline{A_3O}}{\overline{A_1O}} \times \frac{\overline{A_1A_2} \!\times\! \overline{A_1A_4}}{\overline{A_1D} \!\times\! \overline{A_1A}}\\[5pt] =&\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}} \times \frac{\overline{MD}}{\overline{MC}} \times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3A_2}} \times \frac{\overline{A_3C}}{\overline{A_3A_4}} \times \frac{\overline{A_3O}}{\overline{A_1O}} \times \frac{\overline{A_1A_2}}{\overline{A_1D}} \times \frac{\overline{A_1A_4}}{\overline{A_1A}}\\[5pt] =&\frac{\triangle A_1A_3A}{\triangle A_1A_3B}\times \frac{\triangle A_1A_3D}{\triangle A_1A_3C} \times \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\triangle A_1A_3B}{\triangle A_1A_3A_2} \times \frac{\triangle A_1A_3C}{\triangle A_1A_3A_4}\times \frac{\overline{A_3O}}{\overline{A_1O}} \\[5pt] &\times \frac{\triangle A_1A_3A_2}{\triangle A_1A_3D} \times \frac{\triangle A_1A_3A_4}{\triangle A_1A_3A} = \frac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3O}}{\overline{A_1O}}, \end{align*}

推得 $\dfrac{\overline{MX}}{\overline{A_1X}}=\dfrac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \dfrac{\overline{A_3O}}{\overline{A_1O}}$, 從而 $\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XM}}\times \dfrac{\overline{MY}}{\overline{A_3Y}} \times \dfrac{\overline{A_3O}}{\overline{OA_1}}=1$。

(七) 定理 7 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為任意四邊形, 以 $\overline{A_1A_3}$ 為蝴蝶割線, $\overline{A_2A_4}$ 上一點 $N$ 為蝴蝶中心, 若蝴蝶形 $ABCD$ 的頂點分別落在四邊形的四條邊或邊的延長線上, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交 $\overleftrightarrow{A_1A_3}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 再連接 $A$、 $B$ 和 $C$、 $D$ 分別交 $\overleftrightarrow{A_1A_3}$ 於 $T$、 $S$ 兩點, 則 $$\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XS}}\times \frac{\overline{TY}}{\overline{YA_3}}\times \frac{\overline{A_3 S}}{\overline{TA_1}}=1\,\hbox{。}\ \hbox{可改寫成}\ \dfrac{\big(\frac{\overline{A_1 S}}{\overline{A_1 T}}\big)}{\overline{XS}} -\dfrac{\big(\frac{\overline{A_3 T}}{\overline{A_3S}}\big)}{\overline{YT}}=\dfrac{1}{\overline{A_1T}}-\frac{1}{\overline{A_3S}}\,\hbox{。}$$ (四邊形之坎迪延伸定理2)

證明： (以下證法是作者的創見)

 

 

如圖 19 和 20, 由共邊、 共角定理可得

\begin{align*} (1)\frac{\overline{SX}}{\overline{A_1X}} =&\frac{\triangle SAD}{\triangle A_1AD}=\frac{\triangle SAD}{\triangle NAD}\times \frac{\triangle NAD}{\triangle NBC} \times \frac{\triangle NBC}{\triangle TBC}\times \frac{\triangle TBC}{\triangle A_3BC} \times \frac{\triangle A_3BC}{\triangle A_3 A_2 A_4}\\[5pt] &\times \frac{\triangle A_3 A_2 A_4}{\triangle A_1 A_2 A_4} \times \frac{\triangle A_1 A_2 A_4}{\triangle A_1 DA}\\[5pt] =&\frac{\overline{SD}}{\overline{ND}}\!\times\! \frac{\overline{NA} \!\!\times\!\! \overline{ND}}{\overline{NB} \!\!\times\!\! \overline{NC}} \!\times\! \frac{\overline{NB}}{\overline{TB}} \!\times\! \frac{\overline{TY}}{\overline{A_3Y}} \!\times\! \frac{\overline{A_3B} \!\times\! \overline{A_3C}}{\overline{A_3A_2} \!\times\! \overline{A_3A_4}}\!\times\! \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}}\!\times\! \frac{\overline{A_1A_2} \!\times\! \overline{A_1A_4}} {\overline{A_1D} \!\times\! \overline{A_1A}}\\[5pt] =&\frac{\overline{SD} \times \overline{NA}}{\overline{NC} \times \overline{TB}}\times \frac{\overline{TY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3A_2}} \times \frac{\overline{A_3C}}{\overline{A_3A_4}} \times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}} \times \frac{\overline{A_1A_2}}{\overline{A_1D}}\times \frac{\overline{A_1A_4}}{\overline{A_1A}}\\[5pt] =&\frac{\overline{SD} \times \overline{NA}}{\overline{NC} \times \overline{TB}}\times \frac{\overline{TY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\triangle A_1A_3B}{\triangle A_1A_3A_2}\times \frac{\triangle A_1A_3C}{\triangle A_1A_3A_4} \times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}}\\[5pt] &\times \frac{\triangle A_1A_3A_2}{\triangle A_1A_3D} \times \frac{\triangle A_1A_3A_4}{\triangle A_1A_3A}\\[5pt] =&\frac{\overline{SD} \times \overline{NA}}{\overline{NC} \times \overline{TB}} \times \frac{\overline{TY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\triangle A_1A_3B}{\triangle A_1A_3A} \times \frac{\triangle A_1A_3C}{\triangle A_1A_3D} \times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}}\\[5pt] =&\frac{\overline{SD} \times \overline{NA}}{\overline{NC} \times \overline{TB}}\times \frac{\overline{TY}}{\overline{A_3Y}} \times \frac{\overline{TB}}{\overline{TA}} \times \frac{\overline{SC}}{\overline{SD}} \times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}}\\[5pt] =&\frac{\overline{NA} \times \overline{SC}}{\overline{NC} \times \overline{TA}}\times \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}} \times \frac{\overline{TY}}{\overline{A_3Y}}. \end{align*} \begin{align*} (2)\ \hbox{欲證}\ \frac{\overline{NA} \!\times\!\overline{SC}}{\overline{NC}\!\times\!\overline{TA}}\!\times\! \frac{\overline{A_3M}}{\overline{A_1M}} \!=\!\frac{\overline{A_3S}}{\overline{A_1T}}\!\Leftrightarrow& \frac{\overline{NA}}{\overline{TA}}\times\frac{\overline{SC}}{\overline{NC}} =\frac{\overline{A_3S}}{\overline{A_3M}}\times \frac{\overline{A_1M}}{\overline{A_1T}}\\ &\hskip -35pt \Leftrightarrow \frac{\triangle A_1 A_4 N}{\triangle A_1 A_4 T}\!\times\! \frac{\triangle A_3 A_4 S}{\triangle A_3 A_4 N} \!=\!\frac{\triangle A_3 A_4 S}{\triangle A_3 A_4 M}\!\times\! \frac{\triangle A_1 A_4 M}{\triangle A_1 A_4 T}\\ &\hskip -35pt \Leftrightarrow \frac{\triangle A_1 A_4 N}{\triangle A_3 A_4 N}\!=\!\frac{\triangle A_1 A_4 M}{\triangle A_3 A_4 M} \Leftrightarrow \frac{\overline{A_1M}}{\overline{A_3M}}\!=\! \frac{\overline{A_1M}}{\overline{A_3M}}, \hbox{得證。} \end{align*}

由 (1)(2) 可知： $\dfrac{\overline{SX}}{\overline{A_1X}} =\dfrac{\overline{A_3S}}{\overline{A_1T}}\times \dfrac{\overline{TY}}{\overline{A_3Y}}$, 推得 $\dfrac{\overline{SX}}{\overline{A_1 S}-\overline{SX}}=\dfrac{\overline{A_3S}}{\overline{A_1T}}\times \dfrac{\overline{TY}}{\overline{A_3 T}\!-\!\overline{TY}}$,

取倒數 $\dfrac{\overline{A_1 S}\!-\!\overline{SX}}{\overline{SX}}=\dfrac{\overline{A_1 T}}{\overline{A_3S}} \times \dfrac{\overline{A_3 T}\!-\!\overline{TY}} {\overline{TY}}$, 化簡 $\dfrac{\overline{A_1 S}}{\overline{SX}}-1=\dfrac{\overline{A_1 T}}{\overline{A_3S}} \times \Big(\dfrac{\overline{A_3 T}}{\overline{TY}}-1\Big) \Rightarrow $ $\dfrac{\big(\frac{\overline{A_1 S}}{\overline{A_1T}}\big)}{\overline{SX}}-\dfrac{1}{\overline{A_1T}} =\dfrac{\big(\frac{\overline{A_3T}}{\overline{A_3S}}\big)}{\overline{TY}}-\dfrac{1}{\overline{A_3S}}$, 即 $\dfrac{\big(\frac{\overline{A_1 S}}{\overline{A_1T}}\big)}{\overline{XS}}-\dfrac{\big(\frac{\overline{A_3T}}{\overline{A_3S}}\big)}{\overline{YT}} =\dfrac{1}{\overline{A_1T}}-\dfrac{1}{\overline{A_3S}}$。 若將原式的左式移項, 可得 $\dfrac{\overline{A_1X}}{\overline{XS}}\times \dfrac{\overline{TY}}{\overline{YA_3}}\times \dfrac{\overline{A_3S}}{\overline{TA_1}}=1$。

四、四邊形的蝴蝶定理之一般化

一般四邊形的蝴蝶線不一定要侷限於對角線, 也可能是四邊形任意兩邊的截線段, 於是分成對邊、 鄰邊的截線段做討論, 而有以下的定理：

(一) 以對邊的截線段為蝴蝶線

定理 8 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為任意四邊形, $\overline{PQ}$ 為和對邊 $\overline{A_1A_4}$、 $\overline{A_2 A_3}$ 相交的截線段, 以 $\overline{PQ}$ 為蝴蝶線, $\overline{PQ}$ 上任一點 $M$ 為蝴蝶中心, 設 $\overleftrightarrow{A_1A_4}$ 和 $\overleftrightarrow{A_2A_3}$ 相交於 $E$ 點, 過 $M$ 點作一截線段 $\overline{AB}$, 連接 $\overleftrightarrow{EM}$、 $\overleftrightarrow{QB}$ 相交於 $F$ 點, 並連接 $\overleftrightarrow{PF}$ 交 $\overline{A_1A_2}$ 於 $D$ 點, 再連接 $\overleftrightarrow{DM}$ 交 $\overleftrightarrow{A_2A_3}$ 於 $C$ 點, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$ 分別交 $\overline{PQ}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\dfrac 1{\overline{MX}}-\dfrac 1{\overline{MY}}=\dfrac 1{\overline{MP}}-\dfrac 1{\overline{MQ}}$。 (坎迪定理) 若 $\overline{MP}=\overline{MQ}$, 則 $\overline{MX} = \overline{MY}$。 (蝴蝶定理) (此定理是作者的創見)

證明： 如圖 21, 蝴蝶形 $ABCD$ 可以視為以兩對角線交點 $M$ 為中心的四邊形 $PEQF$ 之蝴蝶形, 故由定理 5 可知： $\dfrac 1{\overline{MX}}-\dfrac 1{\overline{MY}}=\dfrac 1{\overline{MP}} -\dfrac 1{\overline{MQ}}$。

 

(二) 以鄰邊的截線段為蝴蝶線

定理 9 (參 )

設四邊形 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 為任意四邊形, $\overline{PQ}$ 為和鄰邊 $\overline{A_1A_4}$、 $\overline{A_3 A_4}$ 相交的截線段, 以 $\overline{PQ}$ 為蝴蝶線, $\overline{PQ}$ 上任一點 $M$ 為蝴蝶中心, 過 $M$ 點作一截線段 $\overline{AB}$, 連接 $\overleftrightarrow{A_4M}$、 $\overleftrightarrow{QB}$ 相交於 $F$ 點, 並連接 $\overleftrightarrow{PF}$ 交 $\overline{A_1A_2}$ 於 $D$ 點, 再連接 $\overleftrightarrow{DM}$ 交 $\overleftrightarrow{A_3A_4}$ 於 $C$ 點, 且連接 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$分別交 $\overline{PQ}$ 於 $X$、 $Y$ 兩點, 則 $\dfrac 1{\overline{MX}}-\dfrac 1{\overline{MY}}=\dfrac 1{\overline{MP}}-\dfrac 1{\overline{MQ}}$。 (坎迪定理) 若 $\overline{MP}=\overline{MQ}$, 則 $\overline{MX} = \overline{MY}$。 (蝴蝶定理) (此定理是作者的創見)

證明： 如圖 22, 蝴蝶形 $ABCD$ 可以視為以兩對角線交點 $M$ 為中心的四邊形 $PA_4 QF$ 之蝴蝶形, 故由定理 5 可知： $\dfrac 1{\overline{MX}}-\dfrac 1{\overline{MY}}=\dfrac 1{\overline{MP}} -\dfrac 1{\overline{MQ}}$。

 

最後利用三線共點的作圖法, 我們成功將四邊形蝴蝶定理一般化, 只是此時蝴蝶形不一定內接在四邊形的邊上, 也可能接在邊之延長線上。

參考資料

本文作者群為國立金門高級中學師生