摘要: 本文介紹了 $3x+1$ 問題的研究概況。 給出了 $nx\pm k$ ($n, k=1,2, ...$) 新方法： 把任意自然數 $x$ 經過計算得到"1"的快速方法, 定義了"對偶解"及"全對偶解"。 比傳統的 $3x+1$ 法簡單、 快捷。

$3x+1$ 問題簡介

「曾有一個風靡世界的數字遊戲問題, 從小學生到大學生, 從平民到官員, 從歐洲到亞非拉, 人人都會做這個遊戲, 但要弄清它的道理卻非易事。 這個問題已變成世界難題」。

$3x+1$ 問題是 20 世紀提出來的猜想, 被列入數論四大猜想之一。 這個問題有很多名字： 在 20 世紀 30 年代, 德國漢堡大學學生考拉茲 (Collatz) 就研究這個問題, 因此被稱為"考拉茲猜想"。 又, 這個問題是在美國的雪城大學被研究的, 所以在西方被稱為雪城 (Syracuse)猜想。 也有人稱為"角谷猜想", "烏拉姆問題", "冰雹猜想"等等。

 

《科學美國人》雜誌"數學遊戲"專欄編輯馬丁$\cdot$加德納 (Martin Gardner (1914年10月21日$\sim$2010年5月22日)), 撰寫了浩如煙海的數學科普文章, 據不完全統計已寫了五十本以上的科普讀物, 並多次獲獎, 在國際學術界影響之大無人能及。 他在《科學美國人》雜誌介紹了這個猜想, 加速了這個猜想的傳播, 讓這個猜想風靡全球！美國一位數學家說道： 「曾經有一個時期, 在美國大學裡, 這個猜想成了最熱門的話題, 數學系和電腦系的大學生, 差不多人人都在研究。」

據傳, 當時幾乎有文化又感興趣的男女老幼, 紛紛被捲入"猜想"的旋渦之中, 對於這個猜想的討論熱烈到頂峰, 人人期盼攻克, 一夜成名。 結果令美國中央情報局產生疑惑, 誤認為是蘇聯國家安全委員會 (KGB, 情報機關) 所使用的"特務"詭計, 企圖使美國人把寶貴時間陷入這個數字遊戲之中, 不務正業。 直到蘇聯解體, 才消除了美國人的疑慮。

目前, 已經發表了很多關於 $3x+1$ 問題的文章, 對這個問題進行了多方面的探討, 可是這個問題的本身始終沒有被解決, 至今還是不知道, "到底是不是總會得到1"？ 。

基本定義

任取一個自然數 $x$, 如果它是奇數, 就把它乘以 3 再加上 1； 如果是偶數, 就把它除以 2, 經過這樣的變換, 就得到一個新數。 如果反復使用這種變換進行計算, 就會得到一串數, 直到得到 1 為止。 因此猜想, 經過有限次計算, 最後得到的結果為 1。 直到現在也沒有被證明, 所以仍為猜想。

為便於介紹, 我們約定：

定義1(初始數) ： 從第一個數"$x$"開始, 進行計算, 第一個數就叫"初始數"。

定義2： 從初始數開始進行計算, 每進行一次變換, 稱為"1步"。 直到 $x=1$, 所進行的變換次數, 稱為"步數", 簡稱"步"。

定義3 (對偶解)： 利用演算法 $3x+1$ 與 $3x-1$, 合併為 $3x\pm 1$ 模式。 如果都能得到從初始數開始變換到 $x=1$。 稱這兩組解互為"對偶解"。 如果只能得到 1 組解 ($3x+1$ 或者 $3x-1$), 而另一組出現"循環數", 則稱為"非對偶解"。

定義4 (全對偶解)： 若 $nx\pm k$ ($n, k=1,2, ...$) 經過變換, 無論是 $nx+k$ 或是 $nx-k$ 都能得到 $x=1$, 稱為"全對偶解"。

定義5 (循環數)： 在計算 $3x\pm 1$ 的一串數字中, 如果出現了相同的數字, 就叫"循環數"。

對於 $3x+1$ 問題的探討

道德經曰： 「天下難事, 必作於易；天下大事, 必作於細」。

對於 $3x+1$ 問題, 既是難事, 又是大事。 在《數學猜想與發現》 (科學出版社) 一書中, 把 $3x+1$ 問題列入第一項, 著名的哥德巴赫猜想被列入第二項, 其重要性非同一般。

所以我們不妨對其認真、細緻的探討一番, 尋找 $3x+1$ 的奧秘到底隱藏在哪裡？

眾所周知, 把一個奇數"$x$"變成偶數有兩種方法： $x+1=$偶數, $x-1=$偶數。 以本文為例, 當 $x$ 為奇數時, 經過 $3x+1$ 計算, 就得到一個偶數。 對 $3x-1$ 計算也應該得到一個偶數。

那麼問題來了：

問題1： 為什麼在文獻中只出現 $3x+1$ 模式, 而不見 $3x-1$ 模式呢？

下面我們對幾個較小的奇數進行"$3x\pm 1$"模式的計算, 檢驗得到什麼結果？

當初始數 $x=3$ 時, 表格中的數字表示每計算一步的變化情況, 例如 $3x+1=10$, $10/2=5$, $5\times 3+1=16$, $16/2=8$, $8/2=4$, $4/2=2$, $2/2=1$。 為方便計, 把 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 直接填入下邊表格中：

 

初始數後面的"$+$,$-$"符號, 表示對初始數及後面的奇數進行 $3x+1$ 或者 $3x-1$ 計算。 下同。

當 $x=5$、 7、 15 的例：

 

 

 

我們發現：

1. 當對奇數實施 $3x+1$ 模式計算時得到的結果, 最後 4 個數都是 8, 4, 2, 1。 是 8/2/2/2 得到的結果, 好像直達列車一樣, 一氣呵成！

2. 當初始數為 5 與 7 時, 對 5 與 7 實施 $3x-1$ 模式的計算時, 最後邊 5 個數與前面相鄰 5 個數相同。 當初始數等於 5 時, 粗體字 5, 14, 7, 20, 10 與斜體字 5, 14, 7, 20, 10。 就是循環數。 當初始數等於 7 時的粗體字 7, 20, 10, 5, 14 與斜體字 7, 20, 10, 5, 14 也是循環數。

3. 當初始數 $x=3$ 及初始數 $x=15$ 時, 無論用 $3x+1$ 模式計算或者用 $3x-1$ 模式計算得到的結果都等於 8, 4, 2, 1。 沒有循環數, 我們稱這兩組解為"對偶解"。

4. 我們還發現 18 個數的循環數, 下面是初始數為 17 時, 按照 $3x-1$ 模式運算, 得到的結果： 前面的 18 個粗體字 (17, 50, 25, ..., 136, 68, 34) 與後面的 18 個斜體字 (17, 50, 25, ..., 136, 68, 34.) 為 18 個數的循環數。

 

當初始數 $x=33$ 時, 用 $3x-1$ 模式計算, 得到 18 個循環數的例子

 

由上例發現, 當對奇數進行 $3x-1$ 模式計算時, 得到的結果不一定全部都有對偶解, 所以對 $3x-1$ 的計算被棄之不用, 其中的道理不言而喻。

探討 $3x+1$ 模式得到 1 的解與 $3x-1$ 模式出現循環數的例。

下圖藍線與粗體字連接的數字, 表示用$3x+1$模式計算得到的從初始數到1的結果路線圖。

綠線與紅線所連接的表示用 $3x-1$ 模式計算得到的從初始數及兩段循環數。

 

由以上 $3x-1$ 模式所示, 發現有循環數, 所以不能滿足 $3x\pm 1$ 模式的"全對偶解"。

那麼問題又來了：

問題2： 是否存在 $nx\pm k$ 模式滿足"全對偶解"的數組呢？

事實是最有力的證明：

方法一, 對於奇數實施$x\pm 1$計算, 對於偶數仍然除以2, 可以得到等於1的結果。

下面是 $x=3,5,7$ 的例：

 

 

 

這裡我們給出初始數為 53, 55, 57, 59, 61, 63 的例子：

 

我們發現當對於奇數用 $x\pm 1$ 計算時, 都能得到對偶解。 並且每個解的最後 4 個數分別是 3,4,2,1； 5,4,2,1； 6,3,2,1； 8,4,2,1.

綜上, 我們有

定理1： 對於奇數實施 $x\pm 1$ 計算, 對於偶數實施 $x/2$ 計算, 按照這個演算法繼續進行計算, 得到的數列沒有重複循環元素。 最後可以得到 $2/2=1$。

證明： 用3個引理來證明：

引理1： 先證明按照"$x+1$ 模式"計算的數列 $x_1$, $x_2$, $x_3, ..., 2,1$, 中, 無循環數。

設： $x_1$ (奇數), $x_2$, $x_3$, $x_4, ..., 2,1$ 為"$x+1$ 模式"的元素數列 (表1), 由構作方法知, $x_1$ 為奇數時, 按照"$x+1$ 模式"計算, $x_2$ 應為 $x_1+1$。 接著 $x_3$ 應該是 $(x_1+1) /2$, 這時 $x_3$ 比 $x_2$ 小。 相鄰兩數 $x_1$ 與 $x_2$ (由奇數變偶數) 的差距為 1, 由偶數變奇數 (或偶數) 時, $x_2$ 是 $x_3$ 的 2 倍, 它們相鄰兩個數的差是： 差 1, 是後邊數的 2 倍； 差 1, 是後邊數的 2 倍； 是後邊數的 2 倍, ..., 永遠不會相等, 所以不會出現重複循環數。 引理 1 證畢。

引理2： 對於"$x-1$ 模式"計算的數列, $x_1, x_2, x_3, ..., 2,1$, 中, 無循環元素。

由構作方法知, $x_2=x_1-1$ (可知 $x_1 \gt x_2$)。 接著 $x_3=x_2/2$ (可知 $x_2 \gt x_3$)。

若 $x_3$ 為奇數則 $x_4 =x_3 -1$; 若 $x_3$ 為偶數則 $x_4=x_3/2 $, 無論 $x_3$ 為奇、 為偶, 必有 $x_3 \gt x_4$。

若 $x_4$ 為奇數則 $x_5=x_4-1$； 若 $x_4$ 為偶數則 $x_5=x_4/2$, 無論 $x_4$ 為奇、 為偶, 必有 $x_4 \gt x_5$。

所以都不會出現相等元素的現象。 當"$x-1$ 模式"時, 從 $x_1, x_2, ...,$ 至 4, 2, 1, 都是用大於符號 $x_1 \gt x_2 \gt x_3 \gt x_4 \gt x_5 \gt ... \gt 4 \gt 2 \gt 1$ 連接起來的, 所以沒有相等的循環數。 引理2證畢。

由引理 1 與引理 2, 證明對奇數實施 $x\pm 1$, 得到的數列無循環數。

引理3： 當 $x/2\!=$奇數時, 我們可以用 $x\!\pm\! 1$ 的方法使其變為 $x\!=\!2^m$ ($m = 2,3, ...$) 的偶數。

當 $x=2^m$ ($m = 2,3, ...$) 時, 最後的結果只能 $x/2/2, ..., 2/2=1$。

當 $x=6$ 時, $6/2=3$, 用 $x-1$ 模式, $3-1=2$, 再 $2/2=1$。 引理 3 證畢。

由引理1、2、3, 定理1證畢。

初始數為 69 與 97 的兩個例子：

 

圖解定理1： $x\pm 1$ 模式元素變化示意圖

下圖顯示了初始數分別為 69, 19, 97 用 $x\pm 1$ 模式計算的示意圖, 既不循環重複, 又不互相交叉, 各自走完從初始數到 1 的路程。 藍色線 $(x+1)$、 綠色線 $(x-1)$ 清晰明瞭, 毫不混淆。

 

藍線連接的黑色粗體字, 表示 $x+1$ 模式的元素走向。

綠色線連接的紅色字, 表示 $x-1$ 模式的元素走向。 不存在重複元素。

此路不通另闢蹊徑: 一個謎語指點迷津

整天除了吃飯、睡覺、就是想難題。 整天胡思亂想, 想得不著邊際, 想起了"男"字, 凡是男人就應該到田地裡去出力, 天經地義呀, 不得違抗。 再仔細想一想也不完全對, 還有"思"字呢？在田地裡也要用"心"呢, 還要有思想。想得兩眼發直, 想得目瞪口呆, 想出一個"方"法 ('方'為萬點選一), 想到"精當"處, 自己對自己嘿嘿一聲傻笑, 沒人理會。 只有搞幻方、 搞文字、 搞研究的"癡友"們才能體會其間的"樂趣"！

一天晚上, 孫子的同學小磊來找他玩耍, 平常我給他們出謎語讓他們猜, 這一次小磊跟別人學到一個謎語, 想難倒爺爺, 小磊主動出擊說： "爺爺我給你出個謎語。 一半大, 一半小。 猜一個字。" 我指著他的鼻子說： "是這個！"小磊說："不對, 不對, 你猜錯啦！"小磊洋洋得意。 我說："一二三, 鼻、 子、 尖, 就是這個尖"。

之後, 我想起 $3x+1$, 能不能把3變大或者變小呢？ 天下萬物有大就有小, 世界上很難找到兩個一樣大的樹葉。

我在想, 如果把3變小, 只有2與1, 當 $x=2$ 時, $2x+1=$ 奇數, 顯然不符合題意。 那麼 $1x+1$ 呢？ 即 $x+1$, 經過試驗竟然成功啦！ 哈哈！ 又做了很多例題, 無一不成功 --- 笨貓逮住個瘸老鼠。

於是突發奇想, 何不用 $x-1$ 試試呢？ 乘勝追擊, 一鼓作氣檢驗了幾十組也都成功！ 哈哈哈！ 小孩子的謎語竟然與數學難題搭配上了, 真是天作之合呀！

想當年搞幻方時, 也是孩子們背誦的乘法口訣, 一二得二, 使我茅塞頓開, 找到解決雙重幻方的關鍵環節, 構造出新的雙重幻方。 看來我的老師是"童生"啊！

本文使用的 $x+1$ 法就是從構造幻方得到啟發的, 這一次, 小學生的謎語, 使我陡然醒悟。

一把鑰匙能開幾把鎖？

解決了 $x\pm 1$ 的問題之後, 是否存在其他模式滿足全部對偶解的條件呢？ 我們對下列問題

$$2x\pm 2,\ 4x\pm 4,\ 8x\pm 8,\ 16x\pm 16,\ 32x\pm 32,\ 64x\pm 64$$

進行了探討, 都得到正確的結果, 最後一個數為"1"。 下面給出 $2x\pm 2$ 的 2 個例子：

 

再給出 $4x\pm 4$ 的 2 個例子

 

我們對$8x\pm 8$、$16x\pm 16$、$32x\pm 32$、$64x\pm 64$ 做了部分驗算 (從略), 都得到了正確的結果"1"。

因此, 我們有

猜想1： 存在 $2^m\pm 2^m$ ($m=1,2,3, ...$) 模式, 能得到正確的結果"1"。

我們又對初始數為偶數時做了研究發現

猜想2： 初始數為偶數時, 經過運算也可以得到"1"。

分兩種情況討論：

情況1： 當初始數為 $2^m$ 的偶數時, 可以直接除以 2, 一氣呵成而得到"1"。

 

情況2： 當初始數為 $4k$ ($k=3,5,7, ..., 2n+1$) 時, 都能得到"1"。

 

反其道而行之, 尋找全循環數

假如我們討論的問題是： 對一個奇數實施 $nx\pm k$, 對於偶數仍然用除以2的規則, 使得它們得到的結果都有循環數。 是否有解呢？

這樣, 我們就把前面的問題顛倒過來了, 反其道而行之：

猜想3： 是否存在 $x\pm k$ 模式的全循環數呢？

全循環就是無論 $x+k$ 還是 $x-k$, 經過計算, 都只能得到循環數。 我們發現在 $12x\pm 12$ 及 $20x\pm 20$ 的全循環數的解如下：

 

結語：

$3x+1$ 是一個有趣的大難題, 筆者不揣淺陋異想天開, 給出一個對於奇數實施 $x\pm 1$ 的算法, 對於偶數仍然用 $x/2$ 的算法, 得到了一些結果。 請行家裡手不吝賜教。 嚶其鳴矣, 求其友聲。

鳴謝！

感謝審稿老師的辛苦勞作, 提出很多中肯的建議和需要修改之處。

感謝編輯部主編及編輯老師, 一如既往重視鄙人的稿件, 本人共發表 13 篇小文, 其中有些問題幫助解決, 例如"反幻方定理"一文中, 主編親自添加了一個"推論", 有些錯誤之處, 也及時修改。 特致以誠摯的感謝！

參考文獻

本文作者梁培基任職於中國君子故里梁培基數學工作室, 梁欽任職於中國北京在前線傳媒工作室