謹將此文獻給朱樺教授 (1950$\sim $2020)
數學與信仰交織他的一生, ANIMA CANDIDA！

前言： 本文是參考資料 的後續； 討論黎曼假説 (Riemann Hypothesis) 和機率論以及量子力學的關連。 文章的格調, 和前者一致, 除了前言和結語外, 分成一些小節, 講述相關議題。 又, 學術名詞以及人名的呈現方式, 和 "註:" 的使用, 作者仍大致依循前文 。

若是被問到什麼是數學的聖杯 (Holy Grail, 註：原指傳說中, 耶穌和門徒在最後晚餐所用的杯子； 在科學中, 常被用來指一學科裡的崇高, 但是仍未解, 主題； 例如, 物理學的聖杯, 通常被認為是統一場理論)？ 我想, 很多數學人會回答是黎曼假説吧。 這是黎曼在 1859 年於柏林科學院的授職演說中提到的, 原始手寫稿只有八頁 , 主題是質數分佈的一個複變函數論角度。 他並沒有提出此新角度所能帶來之質數分佈問題的完整解答； 反倒是提到一個函數的零點位置之猜想, 而追尋此猜想之完整證明, 至今超過 160 年, 仍然是在途中。 讀者可以看參考資料 。

(一) 黎曼假説的回顧

　　黎曼假説通常以下述的黎曼 zeta 函數 (Riemann zeta function) 作開始:

\begin{align} \label{1} \zeta (s):=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac 1{n^s},\ s=u+it\in \mathbb{C}\;\ u,t\in \mathbb{R}. \end{align}

(1) 中, $u= {\rm Re}(s)$ 和 $t= {\rm Im}(s)$ 分別是 $s$ 的實部和虛部。 對 $s: u={\rm Re}(s)\gt1 $, \eqref{1} 式是絕對收斂 (註： 對任一正實數 $a $, 它的複數次方的定義 $a^s:=(\ln a)e^s=(\ln a)e^u e^{it}$)。 利用解析延拓 (analytic continuation), 可將 zeta 函數的定義域, 增大為區域 $\mathbb{C}\backslash \{1\}$, 而 $s=1$ 為單極 (simple pole)。 黎曼推導出如下函數關係式 (functional equation) :

\begin{align} \label{2} \pi ^{-s/2} \Gamma \big(\frac s2\big)\zeta (s)=\pi ^{-(1-s)/2} \Gamma \Big(\frac{1-s}2\Big)\zeta (1-s). \end{align}

上式中, $\Gamma$ 函數的定義為

\begin{align} \label{3} \Gamma (s):=\int_{0}^\infty e^{-x} x^{s-1} dx. \end{align}

式 \eqref{3} 的定義域, 也是利用解析延拓, 由 $s: u= {\rm Re}(s) \gt0$, 增大為區域 $\mathbb{C}\backslash\{-k, k= 0, 1,2,\ldots\}$; 這些扣除的點都是延拓後的單極。 既然 $\Gamma$ 函數的值處處不為零, 比較黎曼的關係式 \eqref{2} 的左右兩邊 : 我們觀察左實軸 $(u = {\rm Re}(s)\lt0$ 且 $t= {\rm Im}(s)=0)$, 式 \eqref{2} 之右項除 zeta 函數外, 其餘兩項處處大於 0, 而左項則在 $-2k$ 有 $\Gamma$ 函數的單極, 可以看出, zeta 函數在 $s= -2k$, $k= 1,2,3,\ldots$ 必須值為 0, 被稱為無聊零位 (trivial zero)； 因在這些位置, zeta 函數值必須是 0, 以使式 \eqref{2} 左右兩邊皆是 0。 類似的觀察, 也可使我們理解, 其它的零位, 被稱為非無聊零位 (nontrivial zero), 必須落在帶狀區域 $0\le {\rm Re}(s)\le 1$ 內, 此區域被稱為臨界帶域 (critical strip)。 又, 式 \eqref{2} 為對鉛直軸 $u=1/2$ 對稱, 也使黎曼猜想 :

所有 zeta 函數的非無聊零位 , 應該在鉛直軸 $u =1/2$ 上。

這就是黎曼假説。

此條鉛直軸稱為臨界直線 (critical line)。 另外, 我們也可以看出, 這些非無聊零位, 對實軸 ${\rm Im}(s)= t =0$ 亦是對稱。 以下則是一些和黎曼假説相關的內容 。

複數系 $\mathbb{C}$ 中可以定義如下的全序 (totally ordered) 關係:

\begin{align} \label{4} s_1=u_1+it_1\le s_2=u_2+it_2\ \Leftrightarrow\ (u_1\lt u_2)\vee \big((u_1=u_2)\wedge (t_1\le t_2)\big). \end{align}

zeta 函數的非無聊零位, 只有可列多個 (註 ：這必須利用複變函數論的一個基本定理, 我們省略)。 我們記成下列

\begin{align} \label{5} s_1\le s_2\le s_3\cdots. \end{align}

是以, 對於 $\mathbb{C}$ 中帶域 $t={\rm Im}(s)\in [0, T]$, $T\gt0$, 上列零位在上半帶域 $[0, T]$ 中只有有限多個。 黎曼在其演講中, 提到下述式子 (在式 \eqref{6} 中, 只要 $T$ 夠大,)

\begin{align} \label{6} N(T) :=\#\{j:0\le s_j\le T\}=\frac T{2\pi} \ln \frac T{2\pi} -\frac T{2\pi}+O(\ln T). \end{align}

上式, 見於黎曼的講文 , 1905 年由 von Mangoldt (1854$\sim$1925) 證明。

黎曼 zeta 函數和質數的關連, 則是起因於歐拉乘積式 :

\begin{align} \label{7} \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac 1{n^k}=\prod_p \Big(1-\frac 1{p^k}\Big)^{-1}. \end{align}

上式中, 右項是對所有質數作乘積。 歐拉推導此式, 只對正整數 $k$, 黎曼將之延拓成對於複數 $s$。 式 \eqref{7} 乃是由質數分解定理： 任何正整數都可以分解成質數的乘積 $n=p_1^{n_1}\cdots p_m^{n_m}$。 把此乘積代入式 \eqref{7} 左項, 將作和與相乘兩運算互換 (因為所涉及是正數, 所以無窮和與無窮積確可互換), 再利用無窮等比級數和的公式, 即可獲得式 \eqref{7}。

黎曼提出 zeta 函數, 主要是想利用它來討論高斯在 1792 年所提出的質數分佈之猜測：

令 $\{p_1,p_2,\ldots\}$ 是由小至大排列的質數列, 且 $\pi (x):=\#\{p_i:p_i\le x\}$; 則, 以下兩個量近似相等：$$\pi (x)\cong \frac x{\ln x}.$$ 上式中的符號, 代表兩個量的商在 $x$ 趨近於無窮的極限為 1。

黎曼的企圖, 在 1896 年, 分別由 D.J. Hardmard (1865$\sim$1963) 和 C.J. de la Vallee Pousssin (1866$\sim$1962) 各自證出； 他們兩人都利用了 zeta 函數在鉛直線 ${\rm Re}(s)= 1$ 沒有零位 ! 而 1901 年, N. von Koch (1870$\sim$1924, 以碎形曲線 von Koch 雪花片 (von Koch snowflake) 知名) 則證明了黎曼假説確實和質數分佈密切相關：

定理： 黎曼假説成立, 若且唯若, 下式成立

$$\Big|\pi (x)-\frac x{\ln x}\Big|=O(\sqrt{x} \ln x).$$

以下是黎曼假説於 1859 年以後, 除了上述三個以外, 的一些重要進展 ： G. H. Hardy (1877$\sim$1947, 天才數學者 Srinivasa Ramanujan (1887$\sim$1920) 的伯樂, 有名著 A Mathematician's Apology (一位職業數學家的辯白) 傳世) 在 1914 年證明了臨界直線 $s=1/2$ 上有無窮多個 zeta 函數的零位。 Herald August Bohr (1857$\sim$1951, 量子力學先驅 Neals Bohr 的兄弟) 和以下 (二) 中的 Egmund Landau 在同年則證明了, 任予 $\sigma :\sigma \ge (1/2)$,

$$\#\{s=u+it:\zeta (s)=0,\sigma \lt u\le 1,0\le t\le T\}=O(T),$$

以上兩個結果, 使各學者多相信, 黎曼假説是正確的。 Atle Selberg (1917$\sim$2007; 1950 年費爾茲奬, 1986 年沃爾夫獎, 2002年 (榮譽) 阿貝爾奬得主) 於 1942 年證明： 存在正數 $C$ 和 $T_0$, 使得,

$$\#\{s:s=\frac 12+it,\ \zeta (s)=0,\ 0\le t\le T\}\gt C \cdot T \ln T,\ \forall\ T\gt T_0.$$

我們略述 Hardy 的證明如下。 他的原論文是法文, 我們現在循 中的論證。 主要是利用黎曼在 中引入的處處可解析的函數 :

\begin{align*} \xi (s):=\,&\frac s2 (s-1)\pi ^{-s/2} \Gamma \big(\frac s2\big)\zeta (s),\ s\in \mathbb{C}.\\ {\hbox{令}} H(z):=\,&z^{-1/2} (1/\pi )\int_{-\infty}^{\infty} \xi \Big(\frac 12+it\Big)z^{it} dt,\quad z\in \mathbb{C}. \end{align*}

考慮 $z^{it} =e^{i(\ln z)t}$, $\ln z$ 表複變數對數函數的解析單值分枝, 的泰勒展式 :

$$H(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^{-1/2} (i\ln z)^n,\ z\in \mathbb{C}.$$

利用對稱性 : $\xi (s)=\xi (1-s)$, $s=(1/2)+it$, 可以看出 $c_{2k+1}=0$。 設若只有有限多個 $t$ 使 $\zeta \big((1/2)+it\big)=0$, 則只要 $t$ 夠大, $\zeta (t)\not=0$, 所以, 存在一正數 $T$, 使得 $\xi (t)$ 恆為正, 或恆為負； 注意： 除 $s = 0, 1$ 外, $\zeta$ 和 $\xi$ 兩個函數的零位相同。 對所有 $t: t \gt T $, 於前者, $c_{2k}\gt0 $, 於後者, $c_{2k}\lt0 $。 這都將有以下的矛盾出現： 把 $z^{1/2} H(z)$ 對 $z':=i\ln z$ 作多次微分, 可看出, 上述展式在 $ z\to e^{i\pi /4}$ 時, 不趨於 0。 然而,

$$\frac d{dz'}=(-iz)\frac d{dz} ,$$

是以, 作多次微分, 將使 $z^{1/2} H(z)$ 變成一個在 $z\to e^{i\pi /4}$ 時趨於 0 之函數, 這是矛盾的。

有關黎曼假説進展的時間表 (至 2004 年止), 可見 (10 Timeline)。 另外, 進階的回顧文章, 則有 。

(二) 黎曼假説和隨機漫步的關連

首先, 我們回想： 隨機漫步 (random walk), 指某醉漢, 在一維格子點上, 依手中的公正銅板之丟擲, 來決定他在格子點 (即是, 整數點, 通常以 $z$ 表示) 上的移動： 假設, 他開始時, 站在 $z=0$ 上, 手上的銅板若丟出正面, 他就右移一格, 設若丟出反面, 他就左移一格 (對稱型隨機漫步)； 如是 $n$ 次, 大數法則告訴我們, 此人的位置 (這是個隨機量), "約是"回到出發點, 亦即, 在格子點 $z=0$, 上 ；而中央極限定理告訴我們, 此人位置的變異數是 $n$。 又, 利用組合數和階乘數的 Stirling 公式, 我們也可以估計, 此人在偶數次步驟後, 例如, $n=30$, 他回到出發點的機率。

1899 年 Edmund Landau (1877$\sim$1938, 1912年 ICM 上提出四個現今稱為 Landau's problems 的數論猜測, 包括哥德巴赫猜測和孿生質數猜測) 在其博士論文中, 提出以下兩個定理。 首先, 對任一正整數 $n$, 令 $\lambda (n):=(-1)^{w(n)}$, $w(n)$ 為 $n$ 的質因數的個數, 但是不見得須相異; 例如：

$$\lambda (1)=\lambda (2)=\lambda (3)=\lambda (5)=\lambda (8)=-1;\ \lambda (4)=\lambda (6)=\lambda (9)=\lambda (10)=1.$$

定理1： 黎曼假説成立, 若且唯若, 對任何 $\varepsilon\gt0 $,

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\lambda (1)+\cdots+\lambda (n)}{n^{\frac 12+\varepsilon}} =0.$$

定理2： 質數定理成立, 若且唯若,

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\lambda (1)+\cdots+\lambda (n)}n=0.$$

學習過機率論的讀者, 大都可以了解, 第二結果是對稱隨機漫步之大數定理的形式, 而第一結果則是重複對數法則 (law of iterated logarithms) 的特殊情況。 第二結果確成立 (見 (一)); 那麼第一結果就成為一個 "容易明瞭" 的黎曼假說 (只有用到因數分解); 見 第一章。

由上觀之, 我們也可説, 雖然質數列是個命定的數列, 但是它的呈現, 卻帶有強烈的隨機性; 另一個例子, 是圓周率 $\pi$ 的十進位展式 , $\pi = 3.14159\cdots$。 是以, 在 1980 年代迄今, 有機率式數論 (Probabilitic Number Theory) 的研究； 可看成解析數論的一支。 作者也曾有一篇相關論文 。

有關命定性 (determinism) 和隨機性 (randomness, stochasticity) 的哲學, 乃至神學, 討論, 一直是學者有興趣的對象。 最有名的是拉普拉斯 (Pierre-Simon, Marquis de Laplace 1749$\sim$1827, 對天文、 物理、 工程、 數學, 乃至政冶, 都有重大貢獻); 拉普拉斯有兩本名著傳世, 一是機率的分析基礎, 這是公認的機率論之數學理論的立基著作； 另一是機率的哲學問題, 此書中出現有名的拉普拉斯惡魔 (Laplace's devil)。 又, 量子力學也是命定和隨機互為表裡： 薛丁格方程是命定的, 但波函數卻是須透過的機率才能理解其意涵, 以至愛因斯坦曾經有言, 上帝不丟骰子。

(三) 黎曼假説和量子力學的關連 (I)

名數學家 David Hilbert (1862$\sim$1943, 現代數學立基者； 1900 年 ICM 上提出的 23 問題, 影響現代數學研究至巨, 黎曼假説被列為第八問) 和 George Polya (1887$\sim$1985, 名著 How to Solve It (如何解題) 的作者) 是第一個提出黎曼假說和量子力學之關連猜測 (Hilbert-Polya Conjecture): 前述 zeta 函數的非無聊零位 $s= (1/2 )+i t$ 之 $t$ 是否恰是某自伴算子的特徵值? 此兩位的問題, 在曾經作大量 zeta 函數零位的數值計算之 A.M. Oldyzko (1949$\sim$) 網頁上, 有 Polya 致他的私信, 敍述, Polya 曾於 1914 年在哥丁根時, 被 (二) 中的數論學者 Landau 問到, 黎曼假說為真是否有物理上的理由？ 見 。

1999 年, 兩位物理學者 M.V. Berry (1941$\sim$, 1998 年沃爾夫獎得主) 和 J.P. Keating , 對此猜測, 提出具體的物理觀點： 他們基於半古典物理 (semiclassical physics) 和半古典極限 (semiclassical limits) (註： 前者意指, 對一系統的解釋, 須包含且揉合古典物理和量子物理； 後者意指, 對此系統的數學式和其計算, 所須的極限式和級數展式, 涉及普朗克常數 $\hbar$), 列出若要解答此猜測, 則所建立的物理系統, 須有九個條件 。 例如, 他們提出, 此自伴算子來自於一古典動力系統, 稱為 Riemann Dynamics, 的量子化 (條件 $a$; 條件 $a, b, c, \ldots$ 的編號是依 中所定的)； 而此動力系統 Riemann Dynamics 須是 "擬一維的" (quasi-onedimensional) (條件 $i$), 因為 : 由 (一) 中的式 \eqref{6},

$$N(T)\ll T^{1+\alpha},\quad \forall\ \alpha \gt0.$$

又, 此 Riemann Dynamics 須是 "沒有時間反向對稱性" (no time-reversal symmetry) (條件 $c$), 因為 : 由下第 (三) 節, 它對應的隨機矩陣是么正系綜, 而不是正規系綜 (註 ： 這關連到量子坍塌, 見 )。 再, Riemann Dynamics 須是混沌的(chaotic) (條件 $b$)； 混沌 (chaos) 通常意味一個動力系統有以下某些特性: 運動軌跡沒有單一週期性, 旋向某個或某些奇異{吸引子} (strange attractors), 軌跡在一個有界範圍內且不穩定, 各個出發點形成的軌跡族是封閉且這些軌跡混雜的 (mixed), 等等 ; 讀者可參閲 (特別是第 8 章前半段), 或相關的書籍。 又, 條件 $e$, 各個封閉軌跡, 看成一個週期軌道, 它的週期形如 $(\{p_1,p_2,\ldots\}$ 是由小至大排列的質數列)

$$m\ln p;\ m=1,2,\ldots,p\in \{p_1,p_2,\ldots\}.$$

此量子系統, 由於來自一混沌古典系統的量子化, 通常也稱為是量子混沌的 (quantum chaotic)。

Berry 和 Keating 建議的 Riemann Dynamics 是一維古典 Hamiltonian $H(q, p):= q p$ (我們使用常用的古典 Hamilton 力學符號, 見 第 8 章)； 利用海森堡之符號, 見 , 對應的量子系統的 Hamiltonian 為自伴算子 $(QP+PQ)/2$; $Q$ 代表位置算符 (position operator), 而 $P$ 代表動量算符 (momentum operator)。 一量子系統, 如果是來自一混沌古典系統的量子化, 通常也稱為是量子混沌的 (quantum chaotic)。

利用 Hamilton 力學的基本方程式, 我們得到以下的方程組

\begin{align} \label{8} \frac{dq}{dt}=q(t),\qquad \frac{dp}{dt}=-p(t). \end{align}

以上方程組的解是

$$q(t)=q(0)e^t,\quad p(t)=p(0)e^{-t};$$

前者的 Liapunov 指標為 1, 後者的 Liapunov 指標為 $-1$； 是以, 系統不穩定： 在 $q$-方向是指數伸張, 在 $p$-方向是指數收縮, 每個軌跡上的起點 $\big(q(0), p(0)\big)$ 都是雙曲點 (hyperbolic point)。 但是, 系統 $H(q,p)=qp$ 是可積的 (integrable), 是以, 它不是混沌的； 可積性可由 第 8 章 281 頁 1,2 得知。 在以下 (五) 中, 我們將繼續討論 Berry 和 Keating 論文的後續發展。

(四) 黎曼假説和量子力學的關連 (II)

由 (一) 中之式 \eqref{6}, 我們有, 只要 $T$ 夠大,

$$\#\{j:0\le s_j\le T\}\cong \frac{T\ln T}{2\pi}.$$

我們考慮正規化 (normalized) 零位列； 令

\begin{align*} {\hat s}_j:= \frac{s_j \ln s_j}{2\pi},\quad j\ge 1. \end{align*}

此正規化是源自 (一) 中所述的高斯質數分佈定理 (由上面漸近式也可以看出)。

在 中, 數論學者 Hugh Montgomery (1944$\sim$) 計算出以下結果：

令兩正規化零位之差距, $j, k =1,\ldots$

\begin{align*} \delta_j^k:={\hat s}_{j+k}-{\hat s}_j , \end{align*}

設若黎曼假説是正確的, 則, 他計算得,

\begin{align} \label{13}\lim_{N\to\infty} \frac{\#\{1\!\le\! j\!\le\! N:\alpha \!\lt\!\delta_j^1\!\lt\!\beta \}}N\!=\!\int_\alpha^\beta\! \Big[1\!-\!\Big(\frac{\sin\pi u}{\pi u}\Big)^2\Big]du,\quad \forall\ \alpha ,\beta :-\infty \!\lt\!\alpha \!\lt\!\beta \!\lt\!\infty . \end{align}

他把此結果, 拿去請教物理學者 Freeman Dyson (1923$\sim$2020, 1981 年沃爾夫獎得主), 而後者看出, Montgomery 所計算出來的, 和某隨機矩陣 (random matrix) 之特徵值列的前後差距之機率分佈情況吻合！ 此隨機矩陣是高斯么正系綜 (Gaussian Unitary Ensemble, GUE)。 GUE 意謂一 $N$ 階自伴方陣, 而且此方陣 $N^2$ 個隨機元, 是獨立的標準高斯隨機變量 (上三角上各隨機元是複數值, 對角線上各隨機元則是實數值; 複數值標準高斯隨機變量, 意指一隨機變量可以表成 $\frac 1{\sqrt{2}} (X +i Y)$, 而 $X$ 和 $Y$ 是獨立的實數值標準高斯隨機變量)。 隨機矩陣理論, 是物理學者 Eugene Wigner (1902$\sim$1995, 1963 年諾貝爾物理學獎得主) 首倡, 用來解釋重質子所成量子系統之能階分佈, 他最為人熟知的, 就是 Wigner 半圓定律 (Wigner's semi-circle law)。 我們補充一些資料：

(1) 以機率論角度, 式 \eqref{13} 可以看成是一個非高斯中央極限定理 (Non-Gaussian Central Limit Theorem)。 此類型定理意味, 所考量的隨機序列, 不是獨立的, 而是有強的相互關連。
(2) 我們可以式 \eqref{13} 改成兩個指標 $(j, k)$, 如此就更可以看出和矩陣的關係, 參考 ; 又, 也可以把式 \eqref{13} 寫成更一般的形式, 也參考 。

(五) 黎曼假説和量子力學的關連 (III)

物理學者 D. Schumayer 和 A. W. Hutchinson 回顧文章 , 很值得讀者關注。 2011 年, 物理學者 G. Sierra 和 R. Rodriguez-Laguna 則討論了 Berry-Keating 模型 (作者對 所提出討論之對象的稱呼) 之主要問題。

首先, 在此, 我們說明, 何以物理學者, 對黎曼假說這個純粹數學的問題有興趣？ 我們把式 \eqref{6} 改成

$$ N(T)=\frac T{2\pi}\ln \frac T{2\pi} -\frac T{2\pi} +e(N,T)$$

黎曼假説於是就是 $e (N, T )$ 的精確估計。 以下, 出現於 H. M. Edwards (1936 $\sim$2020) 的經典著作 132 頁 :

$$e(N,T)=\Big[-\frac 18+\cdots\Big]+\Big[1+{\rm Im}\frac 1{\pi}\int_C \frac{\zeta' (s)}{\zeta (s)}ds\Big],$$

上式中, $C$ 是一條適當的折線段 (對 $s$ 之積分, 實際上是先對 $s$ 之虛部再對 $s$ 之實部的黎曼積分)。 將右項兩個中括號第一項相加, 得到 7/8; 而此值有特殊的物理和幾何意義, 稱為 Malsov 指標; 見 V.I. Arnold (1937$\sim$2010, 2001 年沃爾夫獎得主) 的經典著作 442 頁。

其次, 量子系統的基本工作之一, 是估計予一正數 $E$, 所有能量小於 $E$ 的數目, 而此數目的半古典展式為:

$$N(E)=A(E)/h+\cdots$$

$A(E)$ 為對應於 $E$ 的封閉軌道所圍出的面積。 對 Berry-Keating 模型 (如下述的要求), 上式為:

$$\frac Eh\Big[\ln \frac Eh-1\Big]+\frac 78+\cdots,$$

我們使用庫倫制 (註： 一種物理量的量測單位制), 在此單位制下 $\hbar =1$, 則上式恰就對應於 $N(T)$ 與 $e (N, T )$ !

在 各論文中, 要求 Riemann Dynamics $H=qp$ 中, 必須 $|q|\ge \ell_q\gt0$, $|p|\ge \ell_p\gt0 $, 且乘積有 $\ell_q \ell_p=h=2\pi \hbar$。 在這些條件下, 由式 \eqref{8}, Berry-Keating 模型的解是

$$q(t)=\ell_q e^t,\ p(t)=(E/\ell_q)e^{-t},\ 0\le t\le T_E=\ln(E/h).$$

上述 $A(E)$ 由上式所成軌跡和軸 $q=\ell_q$, $p=\ell_p$ 所圍出。 然而, 上式所成的軌跡不是封閉的, 因為它的起點是 $\big(\ell_q,(E/\ell_q)\big)$ $(t=0)$, 而終點則是 $(E/\ell_p,\ell_p)$ $(t=T_E)$。 G. Sierra 和 R. Rodriguez-Laguna 修正 Berry-Keating 模型之 Riemann dynamics 的 Hamiltonian 成

$$H(q,p):=q\Big(p+\frac{\ell_p^2}p\Big),\quad 0\lt\ell_q\le q\lt\infty,\quad p\in \mathbb{R}.$$

上式中, $\ell_p$ 的量綱 (dimension) 和動量 $p$ 一致。 此時, $ H$ 在 $p=0$ 有奇點。 又, 當 $|p| \gg \ell_p$ 時, 他們所添加的項可忽略, 但是當 $|p| \ll \ell_p$ 時, 這添加項就很重要； 再, 對應的 Hamilton 方程組和其明解, 在 有列出, 由所列出的各式, 可以看出, 質點位置 $q$ 在有界範圍内, 而且形成封閉的軌跡。

2017 年, 著名的科普雜誌 Quanta Magazine 刊出了一篇報導, 見參考資料 [a], 三位物理學者 C. Bender, D. Brody, 和 M. Muller (論文發表於 Physics Review Letters 2017 ), 利用一型對稱算子, 稱為 PT (parity-time) -對稱性, 來討論和黎曼假說相關的量子力學。 自伴算子是完全對稱, 所以其特徵值是實數, 這與物理量測, 不論是經典的或量子的, 符合。 但是, PT-對稱算子, 並沒有此特性；此三位學者, 試圖說明, 他們所提出的算子, 是只有實特徵值, 是以黎曼假説確成立。 然而, 我們也可以反面地說, 這 "似乎涵意"是： 黎曼假說也有可能不成立 ?? , 在報導中, 也引用一位庫朗研究所的機率學者 Paul Bougrand 的審慎評論。 此外, 物理學者 P. Kalauni 和 K.A. Milton 則倡議利用超對稱量子模型 (supersymmetric quantum model) 來討論 zeta 函數的非無聊零位。 以上諸物理學者的提論, 有待數學者基於數學嚴格性的再審視。

(六) 黎曼假説的新近發展

6.1 1967 年 L. Carleson (1928$\sim$, 2006 年阿貝爾奬得主) 寫了一冊百多頁的書, 後來成為一本經典著作 。 在書中, 他講述了一些數學分枝中的 "例外集"(exceptional sets)。 2024 年, J. Maynard (2022 年費爾茲奬得主) 和 L. Guth 在 arXiv 發表一篇 zeta 函數零位之例外集的預稿, Quanta Magazine 和科學美國人 (Scientific American) 都專文報導 [b, c], 認為有突破的重要性。 我們簡述如下: 一個證明黎曼假説的方法, 是證明在任一不含臨界直線的帶域, 例如 $0.75\lt u={\rm Re}(s)\lt1$ 內, 都沒有 zeta 函數的零位; 1940 年 Albert Ingham (1900$\sim$1967, 生前是英國皇家學會會士) 證明了在此帶域內, 對任何 $U\gt0$, 最多只有 $U^{3/5+c}$ 個 $s$, ${\rm Im}(s)\lt U$, 使 $\zeta (s)=0$, $c$ 是某個常數, $0\lt c\lt9$; 1972 年 Martin Huxley (1944$\sim$) 證明了 Ingham 的工作任一 $c \gt0$ 都成立。 Maynard 和 Guth 則是把 Ingham-Huxley 指標由 3/5 改進成 13/25。 他們主要是利用 Dirichlet 多項式, 任予 $N\ge 1$,

$$D_N (t):=\sum_N^{2N} \frac{b_n}{n^{it}},\quad t\in \mathbb{R}.$$

他們估計以下之 $t$ 所成集合的大小

$$|D_N (t)|\gt N^\sigma,\quad \sigma \sim 3/4.$$

他們的工作, 獲得陶哲軒 (Terence Tao, 1975$\sim$, 2006年費爾茲奬得主) 的高度肯定。

6.2 物理學者 Andre Leclair 利用隨機漫步和布朗運動來討論 zeta 函數零位, 他的網頁 (Cornell University, Department of Physics) 上列有一個新聞稿, 標題為 Physicist offers a new take on 160 year old math problem, arXiv 也可以找到多篇相關論文, 包括題目是 Randomness of Mobius coefficients and Brownian motion: growth of the Mertens function and the Riemann Hypothesis (J. Stat. Mechanics, 2021) 的。 此外, 有些機率學者, 包括著名的 Marc Yor (1949$\sim$2014 , 生前為法國科學院院士), 則利用三維 Wiener 過程 (布朗運動的數學模型, 見 中引用的參考資料) 和對應的 Bessel 過程來討論 zeta 函數, 可參考 Marc Yor: Some Aspects of Brownian Motion Part II, Birkhauser 1997。

結語

在本文中, 我們主要簡述黎曼假説和機率論以及量子力學的一些關連； 讀者或可以依作者前文 內建議的書, 研究進一步發展 。

黎曼假説, 和費馬最後定理, 曾經是數學星河, 尤其是數論, 的雙星。 兩者皆敍述內容明確可懂, 且帶出一大串後續發展 。 此外, 有意思的是, 黎曼也是有一段自評於講文中 ( 英譯版第 4 頁)： 當然我希望在此有個嚴格證明, 但是在短暫的無功嘗試後, 我將之擱在一旁, 因為它和我下個研究目標無關 (註：依 第 26 章內容, 黎曼在 1860 年, 從事建立二次微分形 (quadratic differential forms) 之完整工具, 目的原是為熱傳導問題, 但是和現今微分幾何密切相關)。 1995 年之後, 由於費馬最後定理被 Andrew Wiles (1953$\sim$, 1998 年獲得 IMU 特別貢獻獎, 2016 年阿貝爾奬得主) 解決, 它則成為星河中的一個北極星, 在茫茫的數學星空中, 高掛在哪兒, 領引著有心朝之前行的人。 我們不免好奇, 黎曼是何許人？ 2003 年, 作家兼評論者 John Derbyshire 有本關於黎曼假説的著作 , 獲得美國數學會 AMS 的姊妹組織 MAA 於 2007 年頒予首屆歐拉書卷獎 (Euler Book Prize)。 我們以下的略述, 則主要是依參考資料 第 26 章 (註: 此章的標題, 非常特別, 是拉丁文, 中文意思是"聖潔的靈魂"), 輔以英文維基百科。 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826.09$\sim$1866.07) 生於漢諾瓦王國 (Kingdom of Hanover), 父親是一個貧窮的路德教派 (Lutheran Church) 牧師, 他是六個子女中排第二。 自小就對解數學問題有興趣, 但是正式學習的是古文字學 (Philology) 和基督神學 (Christian Theology)。 他在父親的資助下, 到哥丁根大學學習神學。 由於高斯的賞識及鼓勵, 且獲父親允許, 就改習數學。 一年後, 到柏林大學, 1849 年再回哥丁根任教。 1859 年承繼 P.G. Dirichlet (1805$\sim$1859, 註: Dirichlet $L$-函數的非無聊零位, 是否也是在臨界直線 $s= (1/2) + it$ 上, 被稱為大黎曼假說 (Grand Riemann Hypothesis)) 為數學系教授。 1866 年因避普魯士和漢諾瓦戰爭, 而到義大利一村莊, 因肺部宿疾而卒於該地。 黎曼是虔誠的基督徒, 視作為一個數學者是他服事神的恩賜。 據他的友人 Richard Dedekind (1831$\sim$1916, 以建構無理數的戴德金截切 (Dedekind cuts) 著名) 描述, 黎曼是太太陪同下, 在吟誦主禱文時過世的。 他的朋友們為他在逝世地立墓且書墓誌銘, 如下附圖 (引用自: Wikipedia, Bernhard Riemann)； 銘文意為： 敬神者, 諸事必都相互效力, 使其得益 (註: 引自新約羅馬書第 8 章 28 節)。

最後, 我們必須提及： 黎曼在 1854 年第一個演講集, 就是現今黎曼幾何 (Riemannian Geometry) 的立基演講, 而黎曼幾何學則是愛因斯坦廣義相對論的數學架構； 此主題一套非常好的"白話數學"版本, 則是 。

參考資料

網站參考資料 [a, b, c]
(a) Quanta Magazine (April 4, 2017): Physicists Attack Math's $1,000,000 Question.
(b) Quanta Magazine (July 15, 2024): 'Sensational' Proof Delivers New Insights Into Prime Numbers.
(c) Scientific American (July 1, 2024): The Biggest Problem in Mathematics Is Finally a Step Closer to Being Solved.

本文作者為國立台灣大學數學系退休教授