1935 年, 愛因斯坦與 Boris Podolsky 和 Nathan Rosen 提出了著名的 EPR 悖論。 他們指出, 量子力學預測了遠距離粒子之間存在一種奇異的關聯性 (後來薛丁格稱之為「量子糾纏」)。 如果量子力學是完備的, 這將意味著資訊的超光速傳遞, 即「鬼魅般的超距作用」。 愛因斯坦認為這違反了物理學的基本原則, 並推斷量子力學是一個不完備的理論, 背後一定存在某種「隱藏變數」來決定粒子的性質。 波爾反駁 EPR 悖論, 指出量子測量的交互作用使得古典因果律不再適用, 強調「互補原理」與量測過程的不可分性。

1964 年, John Bell受到 EPR 論文的啟發, 將愛因斯坦的哲學爭論轉化為一個可以進行實驗驗證的數學不等式, 即貝爾不等式。 貝爾證明, 任何符合「局域實存論 (local realism)」 (即： 無超距作用且存在隱藏變數) 的理論, 其測量結果的關聯性都有一個統計學上限, 而量子力學的預測則會違反這個上限。

1970 年代和 1980 年代, 物理學家進行了一系列實驗來檢驗貝爾不等式。 所有這些實驗結果都一致表明, 貝爾不等式被違反了, 證實了量子力學的預測是正確的。 實驗結果表明, 愛因斯坦所堅持的「局域實存論」假設是錯誤的。 自然界要麼是「非局域的」 (允許超距作用), 要麼是「非實存的」 (粒子的性質在測量前是不確定的), 或者兩者皆是。 謝南瑞教授細說這些歷史。

「圓」應如何定義？ 數學定義並非一成不變, 而是經歷歸納與探索的產物。 蕭文強教授透過歷史脈絡, 說明數學概念的形成是漫長的過程。 但數學定義往往被視為天授之真理, 學生被動接受, 缺乏探究與理解, 影響後續學習。 蕭教授強調數學定義不僅是背誦材料, 而且是理解數學本質與推理的基礎。 教師在教學中需平衡嚴謹與易懂, 適時使用非正式語言或「草率」表達以利理解, 但又不可誤導學生。 教學應兼顧歷史脈絡、哲學思考與學生認知發展； 教師需具備深厚數學素養與教學策略, 善用科技。

林琦焜教授將 $\Gamma$-函數視為「三位一體」： 積分、 極限、 無窮乘積三種定義彼此等價。 他陳述 Euler、 Gauss、 Legendre、 Weierstrass、 Dirichlet、 Cauchy、 Fourier 的不同觀點, 闡釋它們如何交織出完整的特殊函數理論。 他強調餘元公式不僅是技術結果, 更揭示了分析學、 代數、 幾何三大領域的深刻聯繫。

2023年, 兩位美國高中女生 Jackson 與 Johnson 在美國數學學會發表《An Impossible Proof of Pythagoras》； 媒體大幅報導, 說她們完成了兩千多年來數學家未做到的事。 這種誤解源自 Elisha Loomis 在 1928 年的著作, 其中聲稱「沒有三角學的畢氏定理證明」。 但事實上, 從 19 世紀到 21 世紀已有多種三角學證明, Jackson-Johnson 的成果並非首創。 冼鏡光教授做了歷史回顧, 澄清事實。

梁惠禎
2025年12月