摘要: 本人是中學高級教師退休, 是江蘇省優秀教育工作者, 已退休 17 年。 近日有興趣翻閱有關西摩松定理的專刊及專著, 發現： ① 《中學數學教學》 (上海師範大學主辦) 1984 年第 6 期和上海科委主辦的《中學科技》1985 年第 5 期都刊登和轉載了合肥九中程李強的《Simson 線的推廣》一文； ② 1986 年 3 月, [日] 矢野健太郎, 著《幾何的有名定理》, 由上海科學技術出版社出版, 在第七章中也介紹了西摩松定理的複數證法； ③ 1988 年 11 月, 汪江松和黃家禮編著的《幾何明珠》由中國地質大學出版社出版, 書中第 190 至 196 頁也介紹了西摩松定理及其推廣的幾何證法研究。 然而上述論文及論著的幾何證法及複數證法都比較繁瑣, 不夠簡明。 但閱讀上述資料後, 頗受啟發, 收益匪淺。 根據國家教育部高中數學新課程標準把《座標系與參數方程列入選修系列 4, 因而極座標內容的應用就顯得十分重要。 為說明極座標在解題中的應用, 本文現應用極座標法對西摩松定理及其推廣進行簡捷新穎的證明, 既彌補上本述論文和論著的不足, 又可供高中數學教師參考, 達到數學傳播之功效。

關鍵字: 極座標、 西摩松、 推廣。

一、垂足多邊形

由多邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 所在平面上的一點P, 向多邊形的各邊 $A_1A_2,A_2A_3,\ldots A_nA_1$ 作垂線, 其垂足為 $B_1$、 $B_2$、 $\ldots$、 $B_n$ , 那麼多邊形 $B_1B_2B_3\cdots B_n$ 叫做 $P$ 點關於多邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 的一階垂足多邊形 (或簡稱垂足多邊形)。

由 $P$ 點再作 $B_1B_2B_3\cdots B_n$ 各邊的垂線, 設垂足為 $C_1$、 $C_2$、 $\ldots$、 $C_n$, 那麼多邊形 $C_1C_2C_3\cdot C_n$ 叫做 $P$ 點關於多邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 的二階垂足多邊形。 由 $P$ 點再作出 $C_1C_2C_3\cdot C_n$ 的垂足多邊形, 稱為 $P$ 點關於多邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 的三階垂足多邊形, $\cdots$ 依此類推, 可定義 $P$點關於多邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 的 $n$ 階垂足多邊形。

下面就用極座標法來證明西摩松定理其推廣。

二、西摩松 (Simson) 定理的證明

設 $P$ 為 $\triangle A_1A_2A_3$ 外接圓上任一點, 那麼 $P$ 點關於 $\triangle A_1A_2A_3$ 的一階垂足三角形的三個頂點在一條直線上。

證明： 如圖 1, 以 $P$ 為極點, $PO$ 所在的半射線為極軸建立極座標系。 設 $\triangle A_1A_2A_3$ 的外接圓直徑為 $d$, 則 $\odot\, O$ 的方程為 $\rho=d\cos\theta$, 設頂點為 $A_i(d\cos\theta_i,\theta_i)$, $(i=1,2,3)$, $\theta\in[0,2\pi]$ 所以 $A_1A_2$ 的兩點式方程為： $\dfrac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\rho}=\dfrac{\sin(\theta_2-\theta)}{d\cos\theta_1}=\dfrac{\sin(\theta-\theta_1)}{d\cos\theta_2}$

\begin{align*} \therefore\ &\rho[\sin(\theta_2-\theta)\cos\theta_2+\sin(\theta-\theta_1)\cos\theta_1]=d\sin(\theta_2-\theta_1)\cos\theta_1\cos\theta_2,\\ {\hbox{即}}\ &\frac 12\rho[\sin(2\theta_2-\theta)+\sin(\theta-2\theta_1)]=d\sin(\theta_2-\theta_1)\cos\theta_1\cos\theta_2, \end{align*}

因為 $\sin(\theta-2\theta_1)\not=0$, $\therefore\ \rho\cos(\theta-\theta_1-\theta_2)=d\cos\theta_1\cos\theta_2$。

這是 $A_1A_2$ 的法線式方程, 故知垂足 $B_1$ 的座標為 $(d\cos\theta_1\cos\theta_2,\theta_1+\theta_2)$。 輪換三個頂點的座標, 得 $B_2(d\cos\theta_2\cos\theta_3,\theta_2+\theta_3)$, $B_3(d\cos\theta_3\cos\theta_1,\theta_3+\theta_1)$。 顯然 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 的座標都滿足法線式方程： $\rho\cos(\theta-\theta_1-\theta_2-\theta_3)=d\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3$。 故 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點共線。

三、西摩松定理推廣的證明

1、 設 $P$ 點與四邊形 $A_1A_2A_3A_4$ 的四個頂點同在一個圓周上。 那麼 $P$ 點關於四邊形 $A_1A_2A_3A_4$ 的二階垂足四邊形的四個頂點在一條直線上。

證明： 如圖 2, 以 $P$ 為極點, $PO$ 所在的半射線為極軸建立極座標系。 設四邊形 $A_1A_2A_3A_4$ 的外接圓直徑為 $d$, 則 $\odot\, O$ 的方程為 $\rho=d\cos\theta$, 設頂點為 $A_i(d\cos\theta_i,\theta_i)$, $(i=1,2,3,4)$, $\theta\in[0,2\pi]$, 所以由 Simson 定理的證明知 $A_2A_3$ 的方程為：

$$\rho\cos(\theta-\theta_2-\theta_3)=d\cos\theta_2\cos\theta_3, \quad \therefore\, B_2(d\cos\theta_2\cos\theta_3,\theta_2+\theta_3).$$

輪換四個頂點的座標, 得

$$B_3(d\cos\theta_3\cos\theta_4,\theta_3+\theta_4),\ B_4(d\cos\theta_1\cos\theta_4,\theta_1+\theta_4),\ B_1(d\cos\theta_2\cos\theta_1,\theta_2+\theta_1)$$

故 $B_2B_3$ 的兩點式方程為：

\begin{align*} &\frac{\sin(\theta_3+\theta_4-\theta_2-\theta_3)}{\rho}=\frac{\sin(\theta_3+\theta_4-\theta)}{d\cos\theta_2\cos\theta_2}+ \frac{\sin(\theta-\theta_2-\theta_3)}{d\cos\theta_3\cos\theta_4},\\ &\therefore\ \frac{\sin(\theta_4-\theta_2)}{\rho}=\frac{\sin(\theta_2+\theta_4-\theta)\cos\theta_4+\sin(\theta-\theta_2-\theta_3)\cos\theta_2} {d\cos\theta_2\cos\theta_3\cos\theta_4}\\ &\sin(\theta_3+\theta_4-\theta)\cos\theta_4+\sin(\theta-\theta_2-\theta_3)\cos\theta_2\\ &=\frac 12[\sin(\theta_3+2\theta_4-\theta)+\sin(\theta-2\theta_2-\theta_3)]=\sin(\theta_4-\theta_2)\cos(\theta-\theta_2-\theta_3-\theta_4)\\ &\therefore\ \frac{\sin(\theta_4-\theta_2)}{\rho}=\frac{\sin(\theta_4-\theta_2)\cos(\theta-\theta_2-\theta_3-\theta_4)} {d\cos\theta_2\cos\theta_3\cos\theta_4}\sin(\theta_4-\theta_2)\not=0.\\ &\therefore\ \rho\cos(\theta-\theta_2-\theta_3-\theta_4)=d\cos\theta_2\cos\theta_3\cos\theta_4. \end{align*}

這是 $B_2B_3$ 的法線式方程, 故知垂足 $C_2$ 的為座標 $(d\cos\theta_2\cos\theta_3\cos\theta_4,\theta_2+\theta_3+\theta_4)$, 輪換 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$、 $B_4$ 四個點的座標, 得 $C_3(d\cos\theta_3\cos\theta_4\cos\theta_1,\theta_3+\theta_4+\theta_1)$, $C_4(d\cos\theta_4\cos\theta_1\cos\theta_2,\theta_4+\theta_1+\theta_2)$, $C_1(d\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3,\theta_1+\theta_2+\theta_3)$, 顯然 $C_1$、 $C_2$、 $C_3$、 $C_4$ 的座標都滿足法線式方程： 故 $C_1$、 $C_2$、 $C_3$、 $C_4$ 四點共線。

2、設 $P$ 點與五邊形 $A_1A_2A_3A_4$ 的五個頂點同在一個圓周上, 那麼 $P$ 點關於五邊形 $A_1A_2A_3A_4A_5$ 的三階垂足五邊形的五個頂點在一條直線上。

證明： 如圖 3 建立極座標系。 仿照上述證明, 先求 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$、 $B_4$、 $B_5$ 的座標, 再求 $C_1$、 $C_2$、 $C_3$、 $C_4$、 $C_5$ 的座標, 最後求 $D_1$、 $D_2$、 $D_3$、 $D_4$、 $D_5$ 的座標為：

\begin{align*} &D_1(d\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3\cos\theta_4,\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4),\\ &D_2(d\cos\theta_2\cos\theta_3\cos\theta_4\cos\theta_5,\theta_2+\theta_3+\theta_4+\theta_5),\\ &D_3(d\cos\theta_3\cos\theta_4\cos\theta_5\cos\theta_1,\theta_3+\theta_4+\theta_5+\theta_1),\\ &D_4(d\cos\theta_4\cos\theta_5\cos\theta_1\cos\theta_2,\theta_4+\theta_5+\theta_1+\theta_2),\\ &D_5(d\cos\theta_5\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3,\theta_5+\theta_1+\theta_2+\theta_3),\\ \end{align*}

顯然 $D_1$、 $D_2$、 $D_3$、 $D_4$、 $D_5$ 的座標滿足法線式方程：

$$\rho\cos\Big(\theta-\sum_{i=1}^5\theta_i\Big)=d\prod_{i=1}^5\cos\theta_i$$

故 $D_1$、 $D_2$、 $D_3$、 $D_4$、 $D_5$ 五點共線。

3、 設 $P$ 點與 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的所有頂點同在一個圓周上。 那麼 $P$ 點關於 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的 $(n-2)$ 階垂足 $n$ 邊形的 $n$ 個頂點都在一條直線上。

證明： 極座標的建立與上相仿, 按照上述證明易知, $P$ 點關於 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的 $(n-2)$ 階垂足 $n$ 邊形的 $n$ 個頂點的座標都滿足法線式方程：

故 $P$點關於 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的 $(n-2)$ 階垂足 $n$ 邊形的 $n$ 個頂點都在一條直線上。

$$\rho\cos\Big(\theta-\sum_{i=1}^n\theta_i\Big)=d\prod_{i=1}^n\cos\theta_i$$

從而得出： 圓內接 $n$ 邊形 $(n\ge 3)$ 的 $(n-2)$ 階垂足共線。

綜上所述可見： 應用極座標法證明上述西摩松定理及其推廣, 其關鍵在於巧妙正確建立極座標系, 並根據題設, 以最少量的字母表示未知的幾何量, 借其幾何性質, 設置圖形中有關各點的座標, 寫出極座標有關的方程, 將幾何圖形數量化, 再結合代數、 三角知識, 通過運算, 即可獲證。 此法思路簡捷, 證題明快, 一般不添或少添輔助線, 因此是證題的一種好方法, 值得重視。

教學實踐證明： 引導學生學習高中選修內容, 並對其應用進行研究, 符合新課程改革關於"以課程標準為指導, 以教材為基礎, 合理使用課本, 加強教學科研"的理念要求, 有利於幫助學生全面理解高中平面解析幾何的知識, 有利於培養學生的探索精神和創新意識, 有利於指導學生感悟數學、掌握基礎知識和基本技能及方法, 利於學生啟迪思維、 開拓視野, 提高綜合解題水準。

總之, 我們要注重這一新內容的研究, 要引導學生通過專題講座的探究, 使學生更加熱愛數學, 對數學產生濃厚的興趣。

附錄：極座標法證西摩松定理

西摩松 (Simson) 定理的證明 眾所周知： "三角形外接圓上任一點在三邊所在直線上的射影共線。"這直線叫做該點對於該三角形的西摩松 (Simson) 線。 西摩松線的證明方法較多, 唯獨極座標法別樹一幟, 現介紹如下：

如圖 4, 以 $P$ 為極點, 射線 $PO$ 為極軸建立極座標系, 設 $\triangle A_1A_2A_3$ 的外接圓直徑為 1, 則圓 $O$ 的方程為 $\rho=\cos\theta$。

令 $A_1(\cos\theta_1,\theta_1)$, $A_2(\cos\theta_2,\theta_2)$, $A_3(\cos\theta_3,\theta_3)$, 則 $A_2A_3$ 的兩點式直線方程為：

$$\dfrac{\sin\theta_3-\theta_2)}{\rho}=\dfrac{\sin(\theta_3-\theta)}{\cos\theta_2}+\dfrac{\sin(\theta-\theta_2)}{\cos\theta_3}$$

化簡整理, 得 $\rho\cos(\theta-\theta_2-\theta_3)=\cos\theta_2\cos\theta_3$

這恰好是 $A_2A_3$ 的法線式方程, 故垂足 $B_1$ 的座標為 $(\cos\theta_2\cos\theta_3,\theta_2+\theta_3)$, 輪換三個頂點的座標得 $B_2$ 的座標為 $(\cos\theta_3\cos\theta_1,\theta_3+\theta_1)$, $B_3$ 的座標為 $(\cos\theta_1\cos\theta_2,\theta_1+\theta_2)$。

證一： 點的座標滿足法線式方程法 將 $B_1$ 點的座標代入方程 $\rho\cos(\theta-\theta_1-\theta_2-\theta_3)=\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3$ (1) 中, 得
左 $=\cos\theta_2\cos\theta_3\cos(\theta_2+\theta_3-\theta_1-\theta_2-\theta_3)=\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3=\hbox{右}$。

$\therefore$ $B_1$ 點的座標滿足方程 (1) , 同理 $B_2,B_3$點的座標也滿足方程 (1) , 故 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點共線。

證二： 點的座標滿足兩點式方程法 $\because$ $B_1,B_2$ 的兩點式直線方程為：

$$\dfrac{\sin\theta_3+\theta_1-\theta_2-\theta_3)}{\rho}=\dfrac{\sin(\theta_3+\theta_1-\theta)}{\cos\theta_2\cos\theta_3} +\dfrac{\sin(\theta-\theta_2-\theta_3)}{\cos\theta_3\cos\theta_1}$$

即

$$\dfrac{\sin\theta_1-\theta_2)}{\rho}=\dfrac{\sin(\theta_3+\theta_1-\theta)}{\cos\theta_2\cos\theta_3}+\dfrac{\sin(\theta-\theta_2-\theta_3)}{\cos\theta_3\cos\theta_1}$$

把 $B_3$ 點的座標代入上式方程中, 得

\begin{align*} \hbox{右 }=&\dfrac{\sin(\theta_3+\theta_1-\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2\cos\theta_3}+\dfrac{\sin(\theta_1+\theta_2-\theta_2-\theta_3)}{\cos\theta_3\cos\theta_1}\\ =&\dfrac{\sin(\theta_3-\theta_2)\cos\theta_1+\sin(\theta_1-\theta_3)\cos\theta_2} {\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3}=\frac{\cos\theta_3\sin(\theta_1-\theta_2)} {\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3}=\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)} {\cos\theta_1\cos\theta_2}=\hbox{左} \end{align*}

$\therefore$ $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點共線。

證三：點線距離為零法 由證一知 $B_2$、 $B_3$ 所在的直線方程為方程 (1), 而由點線距離公式得 $B_1$ 點到直線 $B_2B_3$ 的距離為：

\begin{align*} d=\,&\cos\theta_2\cos\theta_3\cos(\theta_2+\theta_3-\theta_1-\theta_2-\theta_3)-\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3\\ =\,&\cos\theta_2\cos\theta_3\cos\theta_1-\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3=0 \end{align*}

$\therefore$ $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點共線。

證四：斜率相等法

\begin{align*} K_{B_2B_3}=\,&\frac{\cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\theta_1+\theta_2)-\cos\theta_3\cos\theta_1\sin(\theta_3+\theta_1)} {\cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\theta_1+\theta_2)-\cos\theta_3\cos\theta_1\cos(\theta_3+\theta_1)}\\ =\,&\frac{\cos\theta_2\cos(\theta_1+\theta_2)-\cos\theta_3\sin(\theta_3+\theta_1)} {\cos\theta_2\cos(\theta_1+\theta_2)-\cos\theta_3\cos(\theta_3+\theta_1)}\\ =\,&\frac{\sin(\theta_1+2\theta_2)-\sin(\theta_1+2\theta_3)} {\cos(\theta_1+2\theta_2)-\cos(\theta_1+2\theta_3)}\\ =\,&\frac{2\cos(\theta_1+\theta_2+\theta_3)\sin(\theta_2-\theta_3)} {2\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)\sin(\theta_3-\theta_2)}\\ =\,&-\cot(\theta_1+\theta_2+\theta_3) \end{align*}

又因三個垂足的座標具有輪換性, 所以 $K_{B_1B_2}=-\cot(\theta_1+\theta_2+\theta_3)$, 從而 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點共線。

證五：應用距離公式計算法

因為

\begin{align*} B_1B_2=\,&\sqrt{\cos^2\theta_2\cos^2\theta_3+\cos^2\theta_3\cos^2\theta_1-2\cos\theta_1\cos\theta_2\cos^2\theta_3\cos(\theta_2-\theta_1)}\\ =\,&\sqrt{\cos^2\theta_3[\cos^2\theta_2+\cos^2\theta_1-2\cos\theta_1\cos\theta_2(\cos\theta_2\cos\theta_1+\sin\theta_2\sin\theta_1)]}\\ =\,&\sqrt{\cos^2\theta_3(\cos^2\theta_2\sin^2\theta_1+\cos^2\theta_1\sin^2\theta_2-2\sin\theta_2\sin\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_1)}\\ =\,&\sqrt{\cos^2\theta_3(\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2)^2}=\pm \cos\theta_3\sin(\theta_1-\theta_2) \end{align*}

輪換 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點的座標, 得

\begin{align*} &B_2B_3=\pm \cos\theta_1\sin(\theta_2-\theta_3),\quad B_1B_3=\pm \cos\theta_2\sin(\theta_3-\theta_1)\\ \therefore\, &B_1B_2+B_1B_3=\pm[\cos\theta_3\sin(\theta_1-\theta_2)+\cos\theta_1\sin(\theta_2-\theta_3)\\ =\,&\pm(\cos\theta_3\cos\theta_1\cos\theta_2\!-\!\cos\theta_3\cos\theta_1\sin\theta_2\!+\!\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \!-\!\cos\theta_1\cos\theta_2\sin\theta_3)\\ =\,&\pm\cos\theta_2(\sin\theta_1\cos\theta_3-\cos\theta_1\sin\theta_3)=\pm\cos\theta_2\sin(\theta_3-\theta_1)=B_1B_3 \end{align*}

$\therefore$ $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點共線。

證六：應用三點共線充要條件法

\begin{align*} \because\ D=\,&\left|\begin{array}{ccc} \cos\theta_2\cos\theta_3\cos(\theta_2+\theta_3)&\cos\theta_2\cos\theta_3\sin(\theta_2+\theta_3)&~~1~~\\ \cos\theta_3\cos\theta_1\cos(\theta_3+\theta_1)&\cos\theta_3\cos\theta_1\sin(\theta_3+\theta_1)&~~1~~\\ \cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\theta_1+\theta_2)&\cos\theta_1\cos\theta_2\sin(\theta_1+\theta_2)&~~1~~ \end{array}\right|\\ =\,&\frac 12\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3\cdot [\sin(\theta_2-\theta_1+\theta_3)+\sin(\theta_3-\theta_1-\theta_2)+\sin(\theta_3-\theta_2+\theta_1)\\ &+\sin(\theta_3-\theta_2-\theta_1)+\sin(\theta_1-\theta_3+\theta_2)+\sin(\theta_1-\theta_3-\theta_2)]\\ \because\ &\sin(-x)=-\sin x\qquad \therefore\ D=\frac 12\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3 \cdot 0=0 \end{align*}

故 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點共線。

由此可見：應用極座標法證三點線的問題時, 首先要適當建立極座標系, 再根據命題的條件, 結合圖形, 應用有關公式和方程求出三個點的極座標, 利用上述方法證明即可。

如果證明四點共線, 可先證任意三點共線, 再證另外一點的座標滿足共線的方程。

如要證明四個以上的點共線, 可先證明三點共線, 再證明共餘各點的座標滿足共線的方程。 此法簡捷明瞭, 富有規律, 值得介紹。

總而言之, 應用極座標法研究著名的幾何定理, 既符合新課程標準的理念要求, 又利於學生鞏固"雙基"內容, 對於啟迪學生思維、 開拓學生視野、 提高綜合解題水準、 融會貫通學科間的知識聯繫, 均頗有益處。

因此筆者認為：加強這類專題的研究是很有必要的。

參考文獻

本文作者為中國江蘇省泰州中學附屬初級中學退休教師