承前兩期, 冼鏡光教授以大量例證與多種證明方式闡釋 ： 三角學的基本公式並不依賴畢氏定理, 甚而可以從三角學推導出畢氏等式與畢氏定理。 這直接反駁了 Loomis 在名著《The Pythagorean Proposition》中「三角學建立在畢氏定理之上」的說法。

冼教授在「不使用畢氏定理」的前提下, 推導出角和與角差公式、 倍角公式、 半角公式、 積化和、 和化積公式。 並藉由這些公式反過來可以推導出 $\sin^2x+\cos^2x=1$。 他介紹 Mollweide 等式 $(a-b)/c=\sin((\beta -\gamma)/2)/\cos(\alpha/2)$, $(b+c)/a=\cos((\beta -\gamma)/2)/\sin(\alpha/2)$, 並給出 ： 用正弦定律的證明、 幾何證明, 及不用正弦定律的證明。 接著他利用 Mollweide 等式可直接證明畢氏定理。

冼教授也提供正弦定律的多種非畢氏證明, 並用 Mollweide 等式直接推得正切定律。 最後, 極富創意地, 用稠密集合與連續性證明畢氏等式。

在電磁學, $\delta$ 函數可視為單位點電荷密度； 對三維空間的函數 $\rho (\boldsymbol{x})$, 有 $\int\!\!\int\!\!\int \delta (\boldsymbol{x} -\boldsymbol{\xi})\rho (\boldsymbol{\xi})d\boldsymbol{\xi}=\rho (\boldsymbol{x})$. George Green (1793$\sim$1841) 在 19 世紀就用到類似概念, 但直到 1927 年 Paul Dirac (1902$\sim$1984) 才正式提出 $\delta$ 函數, 而後 Sobolev 與 Schwartz 在廣義函數理論中建立完整理論。

Green 自學成才, 在 1828 年的論文中提出了格林函數與格林定理, 意圖確定真空中特定電位的導體所包圍的電位； 這是個 Poisson 方程 (非齊次 Laplace 方程) 的 Dirichlet 問題。 Green 從點源 $\delta (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi})$ 出發, 構造滿足 $\Delta G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\boldsymbol{\xi}}) = \delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi})$ 的函數, 並利用格林第二等式推導出格林表示公式。 任何非齊次項都可視為點源的疊加, 可由卷積得解。 Green 將解分解為體積分 (牛頓位) 及邊界積分 (雙層位勢)。 較現代的說法是 ： 格林函數 $G =$ 基本解 $\Gamma+$ 調和修正項 $w$, 其中 $w$ 用來滿足邊界條件, 基本解 $\Gamma$ 是「全空間的點源響應」, 而 $G$ 是「滿足邊界條件的點源響應」。

林琦焜教授強調體積分與曲面積分之間的量綱平衡。 他引介並計算單層位勢(來自 Neumann 邊界條件), 解釋為何雙層位勢是「兩層電荷的差」。 他詳細證明牛頓位是 Poisson 方程的特解。

在金融市場, 如何在不可預測的隨機環境中尋找可利用的結構？ 單一波浪 (或單日股價) 不可預測, 但長期波譜 (或長期波動結構) 是穩定的。 金融策略不預測明日漲跌, 而是利用均值回歸、 區間震盪、 波動反覆性來累積價差。 波動本身就是資源, 但要如何轉化為收益？ 吳南靖教授介紹兩種策略 ： 「網格交易」類似海床固定式點吸收器, 「Shannon 再平衡」則類似隨水位調整的浮式結構。

梁惠禎
2026年6月