摘要: 這篇文章討論了和三角形的內心, 中線, 高線, 角平分線, 旁切圓半徑, 外接圓半徑, 內切圓半徑相關的一些不等式, 這些不等式都不同程度的加強了歐拉不等式, 有一定的理論意義。

關鍵詞: 平面歐氏幾何、 三角形的特殊線段、歐拉不等式、幾何不等式。

1. 導言

給定一個三角形 $\triangle ABC$, 如果 $R, r$ 分別表示其外接圓和內切圓的半徑； $O$ 和 $I$ 依次表示這個三角形的外心和內心, 那麽 $OI^2=R^2-2Rr$, 這就是著名的歐拉公式或歐拉定理####。 注意到 $IO^2 \ge 0$ 則 $R \ge 2r$ 。 這便是平面歐拉不等式。

關於歐拉不等式的加強或隔離的結果真可謂數不勝數, 特別是文 #, # 等文獻中, 如

$$36r^2\le a^2+b^2+c^2\le 9R^2.$$

(J. Neuberg. Edu. Times, News Ser., 9(1906), 51-52, 見文 # P194-2)。

$$\frac{\sqrt{3}}R\le\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c\le\frac{\sqrt{3}}{2r}.$$

(F. Leunberger. Elem. Math., 15(1960), 77-79, 見文 # P61-5.22)。

$$1\le \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{(ab+bc+ca)^2}\le \frac R{2r}.$$

(Elem. Math., 1973, 28:102 或 1974, 29: 96-99, 見文 # P199-55)。

$$6\le\csc \frac A2+\csc \frac B2+\csc \frac C2\le 2(\frac Rr+1).$$

(劉保乾等, 見文 # P214-145)。

$$2\le\sum \frac{a^2}{t_b^2+t_c^2}\le\sum \frac{a^2}{h_b^2+h_c^2}\le \frac Rr,$$ $$\Big(\hbox{其中} \sum \,\hbox{表示循環和, 如}\, \sum \frac{a^2}{t_b^2+t_c^2}=\frac{a^2}{t_b^2+t_c^2}+\frac{b^2}{t_c^2+t_a^2}+\frac{c^2}{t_a^2+t_b^2}\ \hbox{等}\Big).$$

(郝迎利, 「中學數學」 (武漢), 2001, 11:20, 見文 # P228-54)。

$$\frac 94\le \sum\frac{m_a^2}{bc}\le \frac{9R}{8r},$$

(其中 $m_a$ 表示 $a$ 邊上的中線長, 見文 # P221-29)。

上面這些結果都是平面歐拉不等式 $R\ge 2r$ 的加強式或隔離式, 且形式優美、簡潔, 給人以賞心悅目之感。 但並非所有平面歐拉不等式的加強式都能如此, 有些加強式形式非常複雜, 給人以「慘不忍睹」, 當然其理論價值就大打折扣了。 本文想再介紹平面歐拉不等式的幾種加強, 以為平面歐拉不等式的加強式隊伍添磚加瓦。

2. 預備知識

取 $\triangle A_1A_2A_3$, 設 $m_k,h_k,t_k,r_k$ ($k =1,2,3$) 順次表示經過頂點 $A_k$ 的中線長, 高線長, 角平分線的長, 以及相應於邊長 $a_k$ 的旁切圓半徑。 $I$、 $s$、 $\triangle$ 分別表示 $\triangle A_1A_2A_3$ 的內心、半周長、面積。 用 $\sum$ 和 $\prod$ 表示循環和與積, 如 $\sum a_1=a_1+a_2+a_3$, $\prod a_1=a_1a_2a_3$ 等。

由三角形的面積公式 $\triangle=\dfrac 12a_1a_2\sin A_3=\dfrac 12a_2a_3\sin A_1=\dfrac 12a_3a_1\sin A_2$ 和正弦定理 $\dfrac {a_1}{\sin A_1}=\dfrac {a_2}{\sin A_2}=\dfrac {a_3}{\sin A_3}=2R$ 可得 $\prod a_1=4R\triangle $。 而 $\triangle =\dfrac 12 r(a_1+a_2+a_3)=rs$, 所以, 我們有

\begin{align} \prod a_1=4R\triangle=4Rrs. \end{align}

由三角形面積的海倫 (Heron) 公式 $\triangle=\sqrt{s(s-a_1)(s-a_2)(s-a_3)}$ (見文 #, #) 和 $\prod a_1=4R\triangle=4Rrs$ 容易得到

\begin{align} \sum a_1a_2=s^2+4Rr+r^2.\label{2} \end{align}

由 $\sum a_1a_2=s^2+4Rr+r^2$ 和 $\Big(\sum a_1\Big)^2=\sum a_1^2+2\sum a_1a_2$ 可得

\begin{align} \sum a_1^2=2(s^2-4Rr-r^2).\label{3} \end{align}

由三角形的內切圓和中線長定義也很快能得到

\begin{align} IA_1=\frac{r}{\sin \dfrac{A_1}{2}}\ \hbox{等},\ \sum m_1^2=\frac 34\sum a_1^2.\label{4} \end{align}

最後我們來介紹三角形中一個重要不等式 --- Gerretsen 不等式。

引理 (Gerretsen 不等式)： 在 $\triangle A_1A_2A_3$ 中, 有

\begin{align} 16Rr-5r^2\le s^2\le 4R^2+4Rr+3r^2.\label{5} \end{align}

證明：

\begin{align*} a_1^2+a_2^2+a_3^2=\,&4R^2(\sin^2A_1+\sin^2A_2+\sin^2A_3)\\ =\,&4R^2[\sin^2 A_1+\sin^2A_2+\sin^2(A_1+A_2)]\\ =\,&4R^2(\sin^2 A_1+\sin^2A_2+\sin^2A_1\cos^2A_2+\cos^2A_1\sin^2A_2\\ &+2\sin A_1\cos A_2\times \cos A_1\sin A_2\cos A_2)\\ =\,&4R^2(1-\cos^2 A_1+1-\cos^2A_2+\sin^2A_1\cos^2A_2+\cos^2A_1\sin^2A_2\\ &+2\sin A_1\cos A_1\sin A_2\cos A_2)\\ =\,&8R^2(1-\cos^2 A_1\cos^2A_2+\sin A_1\cos A_1\sin A_2\cos A_2)\\ =\,&8R^2[1-\cos A_1\cos A_2(\cos A_1\cos A_2-\sin A_1\sin A_2)]\\ =\,&8R^2(1+\cos A_1\cos A_2\cos A_3), \end{align*}

所以 $\cos A_1\cos A_2\cos A_3=\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2-8R^2}{8R^2}.$

因為 $\sum a_1^2=2(s^2-4Rr-r^2)$,

所以 $\cos A_1\cos A_2\cos A_3=\dfrac{2(s^2-4Rr-r^2)-8R^2}{8R^2}=\dfrac{s^2-4Rr-r^2-4R^2}{4R^2}.$

由文 # (見文 # P208-53) 得

$$\frac{3r}{R}-1-\frac 32\Big(\frac rR\Big)^2\le\cos A_1\cos A_2\cos A_3\le \frac 12\Big(\frac rR\Big)^2.$$

當 $\dfrac{3r}{R}-1-\dfrac 32\Big(\dfrac rR\Big)^2\le \dfrac{s^2-4Rr-r^2-4R^2}{4R^2}$ 時,

$12Rr-4R^2-6r^2\le s^2-4Rr-r^2-4R^2,$

所以 $s^2\ge 16Rr-5r^2$.

當 $\dfrac{s^2-4Rr-r^2-4R^2}{4R^2}\le \dfrac 12\Big(\dfrac rR\Big)^2$ 時,

$s^2-4Rr-r^2-4R^2\le 2r^2,$

即 $s^2\le 4R^2+4Rr+3r^2$.

這樣, 我們就完成了 Gerretsen 不等式的證明。

3. 主要結果

定理1： $\Big(\dfrac {2r}R\Big)^2\le \dfrac 34 \Big(\dfrac{IA_1^2}{m_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{m_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{m_3^2}\Big)\le 1$.

證明： 由預備知識和柯西不等式得

\begin{align*} \frac{IA_1^2}{m_1^2}+\frac{IA_2^2}{m_2^2}+\frac{IA_3^2}{m_3^2}\ge\,&\frac{\Big(\sum IA_1\Big)^2}{\sum m_1^2} =\frac{\Big(\sum\dfrac{r}{\sin \frac{A_1}2}\Big)^2}{\dfrac 34\sum a_1^2} =\frac{4r^2}{3\sum a_1^2}{\Big(\sum \dfrac 1{\sin \dfrac{A_1}{2}}\Big)^2}\\ \ge\,& \frac{4r^2}{3\sum a_1^2}{\Big(\frac{9}{\sum\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^2} =\frac{4\times 3^3r^2}{\sum a_1^2}\times\frac{1}{\Big(\sum\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^2}\\ =\,&\frac{4\times 3^3r^2}{2(s^2-4Rr-r^2)}\times\frac{1}{\Big(\sum\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^2}\\ \ge\,&\frac{2\times 3^3r^2}{4R^2+4Rr+3r^2-4Rr-r^2}\times\frac{1}{\Big(\sum\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^2}\\ =\,&\frac{27r^2}{2R^2+r^2}\times\frac{1}{\Big(\sum\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^2}\\ \ge\,&\frac{27r^2}{2R^2+\Big(\dfrac 12 R\Big)^2}\times\frac{1}{\Big(\sum\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^2} =3\Big(\frac{2r}{R}\Big)^2\frac{1}{\Big(\sum\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^2}. \end{align*}

注意到 $y = \sin x$ 在 $\Big(0,\dfrac\pi 2\Big)$ 內是上凸函數, 那麽

$$\sum\sin\frac{A_1}{2}\le 3\sin\dfrac{\sum \dfrac{A_1}2}{3}=\dfrac 32.$$

所以 $3\Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^2\dfrac{1}{\Big(\sum\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^2}\ge 3\Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^2\times \dfrac{1}{\Big(\dfrac 32\Big)^2} =\dfrac 43\Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^2$,

所以 $\dfrac 34\Big(\dfrac{IA_1^2}{m_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{m_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{m_3^2}\Big)\ge \Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^2$.

另一方面

\begin{align*} &m_1=\frac{\sqrt{2a_2^2+2a_3^2-a_1^2}}{2}\ge \sqrt{s(s-a_1)},\\ &\sin^2\frac{A_1}{2}=\frac{1-\cos A_1}{2}=\frac{(s-a_2)(s-a_3)}{a_2a_3}=\frac{ra_1}{4R(s-a_1)}\ \hbox{等,} \end{align*}

所以

\begin{align*} \dfrac{IA_1^2}{m_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{m_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{m_3^2}\le\,&\sum\frac 1{s(s-a_1)}\times \dfrac{r^2}{\sin^2\dfrac{A_1}{2}} =\sum\frac{r^2}{s(s-a_1)}\times\frac{4R(s-a_1)}{ra_1}\\ =\,&\frac{4Rr}{s}\sum \frac 1{a_1}=\frac 1{s^2}\sum a_1a_2=\frac{s^2+4Rr+r^2}{s^2}. \end{align*}

而 $\dfrac{s^2+4Rr+r^2}{s^2}\le\dfrac 43\Leftrightarrow s^2\ge 12Rr+3r^2$,

\begin{align*} &s^2\ge 16Rr-5r^2,\\ &16Rr-5r^2\ge 12Rr+3r^2\Leftrightarrow R\ge 2r. \end{align*}

所以 $\dfrac{s^2+4Rr+r^2}{s^2}\le \dfrac 43$,

即 $\dfrac 34\Big(\dfrac{IA_1^2}{m_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{m_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{m_3^2}\Big)\le 1$.

這樣我們就證明了定理1。

顯然, 定理 1 強於歐拉不等式 $R\ge 2r$。

定理2： $\Big(\dfrac {2r}R\Big)^{\frac 23}\le \dfrac 34 \Big(\dfrac{IA_1^2}{h_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{h_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{h_3^2}\Big)\le \Big(\dfrac R{2r}\Big)^2$.

證明：

\begin{align*} \frac{IA_1^2}{h_1^2}+\frac{IA_2^2}{h_2^2}+\frac{IA_3^2}{h_3^2}\ge\,&3\Big(\prod \frac{IA_1}{h_1}\Big)^{\frac 23} =\frac{3r^2}{\Big(\prod\sin \dfrac{A_1}{2}\Big)^{\frac 23}}\times\dfrac{1}{\Big(\prod \dfrac{2rs}{a_1}\Big)^{\frac 23}}\\ =\,&\dfrac{3R^{\frac 23}r^{\frac 23}}{2^{\frac 23}s^{\frac 43}} \Big(\dfrac{1}{\prod \sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{\frac 23} \ge \dfrac{3R^{\frac 23}r^{\frac 23}}{2^{\frac 23}\Big(\dfrac{27R^2}{4}\Big)^{\frac 23}} \Big(\dfrac{1}{\prod \sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{\frac 23}\\ =\,&\frac 13\Big(\frac{2r}{R}\Big)^{\frac 23}\Big(\dfrac{1}{\prod \sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{\frac 23}. \end{align*}

由定理 1 的證明知 $\sum\sin\dfrac{A_1}{2}\le \dfrac 32.$

那麽 $\dfrac 32\ge 3\Big(\prod \sin\dfrac{A_1}{2}\Big)^{\frac 13}\Rightarrow\Big(\prod \sin\dfrac{A_1}{2}\Big)^{\frac 13}\le \dfrac 12\Rightarrow \Big(\prod \sin\dfrac{A_1}{2}\Big)^{\frac 23}\le \dfrac 14.$

所以 $\dfrac 13\Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^{\frac 23}\Big(\dfrac 1{\prod \sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{\frac 23}\ge \dfrac 13\Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^{\frac 23}\times 4=\dfrac 43\Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^{\frac 23}.$

即 $\dfrac 34\Big(\dfrac{IA_1^2}{h_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{h_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{h_3^2}\Big)\ge \Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^{\frac 23}.$

注意到

\begin{align*} &\hskip -20pt \dfrac 34\Big(\frac{IA_1^2}{h_1^2}+\frac{IA_2^2}{h_2^2}+\frac{IA_3^2}{h_3^2}\Big)\\[7pt] =\,&\dfrac 34 \sum\Big(\dfrac{r}{\sin\dfrac{A_1}2}\Big)^2\times\Big(\frac{a_1}{2rs}\Big)^2 =\dfrac 3{16s^2}\sum\frac{a_1^2}{\sin^2\dfrac{A_1}2} =\dfrac 3{16s^2}\sum a_1^2\times \frac{4R(s-a_1)}{ra_1} \\[7pt] =\,&\frac{3R}{4rs^2}\sum a_1(s-a_1)=\frac{3R}{4rs^2}\Big(s\sum a_1-\sum a_1^2\Big)=\frac{3R}{4rs^2}\Big[2s^2-2(s^2-4Rr-r^2)\Big]\\[7pt] =\,&\frac{3R}{4rs^2}(8Rr+2r^2)\!=\!\frac{3R}{2s^2}(4R\!+\!r)\le\frac{3R}{2\times 27r^2}(4R\!+\!r)\le \frac{R}{18r^2}(4R\!+\!\frac R2)=\Big(\frac{R}{2r}\Big)^2. \end{align*}

所以定理 2 獲證。

$$\Big(\frac{R}{2r}\Big)^2\ge \Big(\frac{2r}{R}\Big)^{\frac 23}\Leftrightarrow \frac R{2r}\ge 1\Leftrightarrow R\ge 2r.$$

說明定理 2 隔離了歐拉不等式 $R\ge 2r$。

定理3： $\Big(\dfrac {2r}R\Big)^{\frac 43}\le \dfrac 34 \Big(\dfrac{IA_1^2}{t_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{t_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{t_3^2}\Big)\le \Big(\dfrac R{2r}\Big)^2$.

證明： 考慮到 $\triangle A_1A_2A_3$ 的角平分線公式和定理 1, 定理 2 的證明, 我們有

\begin{align*} &t_1=\frac{2\sqrt{a_2a_3s(s-a_1)}}{a_2+a_3}\le\frac{(a_2+a_3)\sqrt{s(s-a_1)}}{a_2+a_3}=\sqrt{s(s-a_1)},\\ &\frac 34\Big(\dfrac{IA_1^2}{t_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{t_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{t_3^2}\Big)\ge \frac 34\times 3\Big(\prod\dfrac{IA_1^2}{t_1^2}\Big)^{\frac 13} =\frac 94\Big(\frac{r^3}{\prod\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{\frac 23} \times\Big(\dfrac{1}{\prod t_1}\Big)^{\frac 23}\\ &\ge \frac{9r^2}{4}\times 4\Big(\dfrac{1}{\prod t_1}\Big)^{\frac 23}\ge 9r^2\Big[\frac{1}{\sqrt{s^3(s-a_1)(s-a_2)(s-a_3)}}\Big]^{\frac 23} =9r^2\Big(\dfrac{1}r\Big)^{\frac 23}\Big(\dfrac{1}{s^2}\Big)^{\frac 23}\\ &\ge 9r^{\frac 43}\Big(\dfrac{1}{\dfrac{27R^2}{4}}\Big)^{\frac 23}=\Big(\dfrac{2r}R\Big)^{\frac 43}. \end{align*}

另一方面

\begin{align*} &\frac 34\Big(\dfrac{IA_1^2}{t_1^2}+\dfrac{IA_2^2}{t_2^2}+\dfrac{IA_3^2}{t_3^2}\Big)= \frac 34\times \frac 1{4s\prod a_1} \Big[\sum \Big(\frac{r}{\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{2} \times\frac{a_1(2s-a_1)^2}{s-a_1}\Big]\\ &=\frac 34 r^2\times\frac 1{4s\times 4Rrs}\times \sum\dfrac 1{\sin^2\dfrac{A_1}{2}}\times \frac{a_1(2s-a_1)^2}{s-a_1} =\frac 3{16s^2}\times \sum(2s-a_1)^2\\ &=\frac 3{8s^2}\Big(\sum a_1^2+\sum a_1a_2\Big)=\frac 3{8s^2}[2(s^2-4Rr-r^2)+s^2+4Rr+r^2]\\ &=\frac 3{8s^2}(3s^2-4Rr-r^2)\le \frac 3{8s^2}[3(4R^2+4Rr+3r^2)-4Rr-r^2]\\ &=\frac 3{2s^2}(3R^2+2Rr+2r^2)\le \frac 3{2s^2}(3R^2+R\times R+2\times \frac{R^2}4)\\ &\le\frac 3{2\times 27r^2}\times \frac{9R^2}{2}=\Big(\frac R{2r}\Big)^2. \end{align*}

這樣我們就完成了定理 3 的證明。

注意到 $\Big(\dfrac R{2r}\Big)^2\ge \Big(\dfrac {2r}R\Big)^{\frac 43}\Leftrightarrow \Big(\dfrac R{2r}\Big)^{\frac{10}{3}}\ge 1\Leftrightarrow R\ge 2r$。

說明定理 3 將歐拉不等式 $R\ge 2r$ 隔離了。

定理4： $9\Big(\dfrac {2r}R\Big)^{\frac 43}\le \dfrac{27}{4}\sum \dfrac{IA_1^2}{r_1^2}\le 140\Big(\dfrac R{2r}\Big)^2-131$.

證明： 因為 $r_k=\dfrac{rs}{s-a_k}$ $(k=1,2,3)$, $\prod r_1=rs^2$,

\begin{align*} \hbox{所以}\quad &\sum\dfrac{IA_1^2}{r_1^2}=\sum\Big(\frac{r}{\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{2}\times \Big(\frac{s-a_1}{rs}\Big)^{2}=\frac 1{s^2} \sum\Big(\frac{s-a_1}{\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^{2}\\ &\ge \frac{3}{s^2}\Big[\frac{\prod (s-a_1)}{\prod\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big]^{\frac 23} \ge \frac{3}{s^2}\times 4\times\Big[{\prod (s-a_1)}\Big]^{\frac 23}=\frac{12}{s^2}\Big[{\prod (s-a_1)}\Big]^{\frac 23}\\ &=12\Big(\frac rs\Big)^{\frac 43}\ge 12\Big(r\times \dfrac{1}{\dfrac{3\sqrt{3} R}{2}}\Big)^{\frac 43}=\frac 43\Big(\frac{2r}{R}\Big)^{\frac 43}, \end{align*}

所以 $\dfrac{27}{4}\sum \dfrac{IA_1^2}{r_1^2}\ge 9\Big(\dfrac{2r}{R}\Big)^{\frac 43}$.

考慮到

\begin{align*} \sum\dfrac{IA_1^2}{r_1^2}=\,&\sum\Big(\dfrac{r}{\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^2\Big(\dfrac{s-a_1}{rs}\Big)^2 =\frac 1{s^2}\sum\Big(\dfrac{s-a_1}{\sin\dfrac{A_1}{2}}\Big)^2\\ =\,&\frac{1}{s^2}\sum(s-a_1)^2\times \frac{4R(s-a_1)}{ra_1}=\frac{4R}{rs^2}\sum\frac{(s-a_1)^3}{a_1}\\ =\,&\frac{4R}{rs^2}\sum\Big(\frac{s^3}{a_1}-3s^2+3sa_1-a_1^2\Big)\\ =\,&\frac{4Rs}{r}\sum \frac{1}{a_1}-\frac{36R}{r}+\frac{12R}{rs}\sum a_1-\frac{4R}{rs^2}\sum a_1^2\\ =\,&\frac{4Rs}{r}\times\frac{\sum a_1a_2}{\prod a_1}-\frac{36R}{r}+\frac{12R}{rs}\times 2s-\frac{4R}{rs^2}\sum a_1^2\\ =\,&\frac{4Rs}{r}\times\frac{s^2+4Rr+r^2}{4Rr s}-\frac{36R}{r}+\frac{24R}{r}-\frac{4R}{rs^2}[2(s^2-4Rr-r^2)]\\ =\,&\frac{s^2+4Rr+r^2}{r^2}-\frac{12R}{r}-\frac{8R}{rs^2}(s^2-4Rr-r^2)\\ \le\,&\frac{4R^2+4Rr+3r^2+4Rr+r^2}{r^2}-\frac{12R}{r}-\frac{8R}{r}+\frac{32R^2}{s^2}+\frac{8Rr}{s^2}\\ =\,&\frac{4(R^2+2Rr+r^2)}{r^2}-\frac{20R}{r}+\frac{8R(4R+r)}{s^2}\\ =\,&\frac{4(R^2+2Rr+r^2)}{r^2}-\frac{20R}{r}+\frac{8R(4R+r)}{27r^2}\\ =\,&\frac{140R^2}{27r^2}-\frac{316Rr}{27r^2}+4\le \frac{4\times 140}{27}\Big(\frac{R}{2r}\Big)^2-\frac{316}{27r}\times 2r+4\\ =\,&\frac{4\times 140}{27}\Big(\frac{R}{2r}\Big)^2-\frac{524}{27}, \end{align*}

所以 $\dfrac{27}{4}\sum \dfrac{IA_1^2}{r_1^2}\le 140\Big(\dfrac R{2r}\Big)^2-131$.

所以定理 4 獲證。

記 $\Big(\dfrac R{2r}\Big)^{\frac 43}=x$, 則 $x\gt0$, 那麼

\begin{align*} &9\Big(\dfrac {2r}R\Big)^{\frac 43}\le 140\Big(\dfrac R{2r}\Big)^2-131\Leftrightarrow 140x^3-131\ge 9x^{-2}\Leftrightarrow 140x^5-131x^2-9\ge 0\\ &\Leftrightarrow 131x^2(x^3-1)+9(x^5-1)\ge 0\\ &\Leftrightarrow (x-1)[131x^2(x^2+x+1)+9(x^4+x^3+x^2+x+1)]\ge 0\\ &\Leftrightarrow x\ge 1\Leftrightarrow\Big(\dfrac R{2r}\Big)^{\frac 23}\ge 1\Leftrightarrow R\ge 2r. \end{align*}

說明定理 4 隔離了歐拉不等式 。

4. 結語

本文在已知的一些平面歐拉不等式加強式的基礎上, 得到了幾個新的有關三角形歐拉不等式的加強式, 有一定的理論價值。 探討和平面歐拉不等式有關的幾何問題是一件很有意義的事情, 親愛的朋友, 您願意加入我們的探討隊伍嗎？！

參考文獻

本文作者為退休高中數學教師