1900 年國際數學家大會 (ICM)上, 希爾伯特提出了十個數學問題, 之後將問題數量增加到23個。第六個問題的核心想法, 是確保物理學建立在若干清晰定義的公理之上； 任何物理理論都應該能夠從這些基本前提出發, 透過邏輯推導出來。 希爾伯特後來對此進行了更精確的闡述。 他特別指出的一個問題是如何從描述微觀世界 (無數原子和分子高速運動、 相互碰撞) 過渡到描述宏觀世界。

本期專訪金石教授。他的研究跨越了多個領域, 但有一個統一的主題, 即「多尺度計算」。 他研究薛丁格、 牛頓、 Boltzmann 及流體 (歐拉與 Navier-Stokes) 方程的關聯； 這四個方程分別代表量子尺度、 經典尺度 (微觀)、 動力學 (中觀) 及流體動力學 (宏觀) 尺度。

他的博士論文, 在簡化模型上, 由動力方程推導流體力學方程。 之後他提出漸進保守算法, 研究 Boltzmann 方程的流體及氣體動力學模擬, 是希爾伯特第六綱領的離散類比。 其後他發展不確定性量化, 研究數學模型中隨機不確定性的傳播與計算。 近年來他將理論擴展至量子動力學及量子計算領域。 他如何開拓出如此寬闊的研究領域？就讀大學時, 他多方探索, 浸淫於文學, 甚而寫詩。 博士指導教授博學多聞, 文化素養豐厚, 對他影響深遠。 他涵養出高維度的視野, 使他能將看似毫無關聯的領域, 安放在多層次的架構。 正如他在量子計算領域, 一反傳統, 倡導「維度提升」, 解決了諸多先前無解的問題。

再來看希爾伯特第六問題。微觀尺度到中觀尺度的推導的第一個突破, 由 Oscar Lanford 在 1975 年提出。 他成功地從微觀尺度的物理定律推導出 Boltzmann 方程。 但他的結果只適用於「足夠短的時間」； 這意味著粒子之間還沒有太多時間發生碰撞。 甫獲頒費爾茲獎的鄧煜在 2010 年代末加入研究。 他和 Zaher Hani 之前一直在研究波湍流, 也就是波之間的相互作用, 但他們意識到他們的方法可以應用於粒子之間的相互作用。 他們邀請馬驍加入, 合力將一個較長的時間間隔分割成許多較短的時間間隔。粒子碰撞可以用一些簡單的圖表來表示 (類似於費曼圖)。 分割較長的時間間隔會導致圖表變得極其複雜, 因此他們需要一個新的框架和新的工具來分析這些圖表。 鄧煜、 Hani 和馬驍在 2025 年解決了這個問題： 從所謂的硬球動力學中推導出了 Boltzmann 方程式。

王虹教授同時獲頒費爾茲獎。 何崇武教授介紹了鄧煜及王虹的工作。

一個本質上尺寸為零, 卻仍能讓你向各個方向旋轉一根針的空間, 看似不可能, 但幾何測度論提出了一個解釋： 這些掛谷 (Kakeya) 集的 Hausdorff 維數必須盡可能大。 這被稱為掛谷猜想, 並於 1971 年由 Roy Davies 證明了二維情況的正確性。 但在更高維度上, 這個問題一直懸而未決, 直到 2025 年王虹與 Joshua Zahl 證明了三維情況成立。

梁惠禎
2026年9月