1. 費爾茲獎

費爾茲獎 (Fields Medal) 是國際數學聯盟 (International Mathematical Union ⸺ IMU) 在國際數學家大會 (International Congress of Mathematicians ⸺ ICM) 上, 對數學有卓越貢獻的青年學者, 所頒發的獎章。 這獎章的得獎者, 需在得獎那年的元旦時還沒有滿 40 歲。 這獎章在 1936 頒發過一次。 後因第二次世界大戰, 獎章頒發中斷。 在 1950 年又重行恢復。 並從該年起, 每四年頒發一次, 每次得獎人不超過四人。 這獎被認為是數學界最高榮耀之一。 今年四位獲獎者之中, 有兩位是中國公民, 他們是鄧煜和王虹。 以往雖有兩位華裔獲得此項獎章： 丘成桐 (1982 年得獎) 和陶哲軒 (2006 年得獎), 但是他們兩位並非中國公民。 並且他們兩人的大學教育, 也都在國外完成。 但是鄧煜和王虹, 不但大學前的教育都在中國完成, 並且都在 2007 年, 同年進入了北京大學。

鄧煜的煜字音ㄩˋ和大詞人李後主, 李煜, 的名字相同。 他進入北京大學, 唸了兩年之後於 2009 年轉入麻省理工學院。 在麻省理工學院於 2011 年數學系畢業後, 又轉入普林斯頓大學攻讀研究所, 於 2015 年獲得博士學位。

王虹雖和鄧煜同年進入北大。 不過王虹當年進入的是北大的地球與空間科學學院。 她於次年方轉入北大的數學科學學院。 三年後王虹於 2011 年在北大, 以數學學士學位畢業。 然後又花了三年時間, 在 2014 年獲巴黎綜合理工學院工程師學位, 及巴黎第十一大學碩士學位。 嗣後王虹亦回到麻省理工學院學習數學, 並於 2019 年在麻省理工學院獲得數學博士學位。

鄧煜和王虹在獲得博士學位後, 兩人在數學研究上都大放異彩, 屢屢獲獎, 今年兩人更同時獲得費爾茲獎章。 鄧煜現在是美國芝加哥大學 (University of Chicago) 的正教授。 王虹則同時是美國紐約大學柯朗研究所 (Courant Institute of the New York University) 銀講座教授 (Silver Professor of Mathematics), 以及法國高等科學研究所 (Institut des Hautes Études Scientifiques) 的終身教授。下文將依次介紹二人得獎之工作。

2. 鄧煜得獎工作簡介

國際數學聯盟, 在鄧煜費爾茲獎章引言 (Citation) 說, 鄧煜的獎是鑒於他在偏微分方程領域, 所作出的開創性貢獻, 包括嚴格地由稀薄氣體的硬球動力學 (hard-sphere dynamics) 導出 Boltzmann 方程, 由非線性色散 (dispersive) 系統導出波動動理學方程, 以及以機率方法研究非線性薛丁格方程的動力學。 這引言裡提出了鄧煜好幾項在數學裡的傑出貢獻。 尤其是「由稀薄氣體的硬球動力學導出 Boltzmann 方程」, 這項成就特別受人關注, 因為這一項與希爾伯特第六問題 (Hilbert 6^th Problem) 有密切的關聯。

2.1. 希爾伯特第六問題

德國數學家大衛希爾伯特於 1900 年, 在巴黎舉行的第二屆世界數學家大會上, 提出了 23 個數學問題 #。 這 23 個問題對於 20 世紀的數學發展, 起了非常積極的推動作用。 美國數學學會在 1974 年舉行了一個研討會, 討論希爾伯特問題所激發的新數學； 這研討會並不是關注這些問題已知的解, 而是這些問題所引發的新觀念、 理論、 方法及問題。 會議記錄包括了六百多頁的兩巨冊 #。

希爾伯特第六問題是, 把物理理論 ⸺ 尤其是與數學相關的物理理論 ⸺ 公理化的問題。 如果一個物理理論, 能像歐氏幾何一樣的公理化, 那我們就知道這理論裡, 什麼是基本假設, 又如何從這些基本假設中, 推導出這理論中每一項結論。 這樣整個理論裡就有一個很嚴密的邏輯結構, 我們對於這理論, 也有了一個較完整的了解。

但是這問題包圍的範圍太廣, 希爾伯特又提出了幾個特別的理論, 認為我們不妨由這幾個理論先著手。 這幾個理論裡包括氣體動力學。

基於不同的觀測尺度, 物理對於氣體性質, 有三套不同的理論； 從微觀的立場來看, 一組氣體每一分子都可以看做一個硬球, 在空間裡做永無休止的隨機運動, 這些分子的運動方式, 以及分子相互之間的碰撞, 均遵守牛頓力學定律： 例如在無外力影響下, 每一硬球均作直線等速運動, 兩球相撞必須遵守動量與動能之守恆定律。 以宏觀立場來看, 一組氣體的運動, 可以看做一股氣流。 這氣流必須遵守 Navier-Stokes 方程。 這是一組偏微分方程式, 是牛頓第二定律應用在流體力學的結果。 在宏觀與微觀之間還有一種觀測尺度叫介觀 (Mesoscopic view)。 在這尺度的物理理論是 Boltzmann 方程。 這是一個偏微分方程式, 描述一組氣體如何由這氣體的微觀性質, 導至這氣體的宏觀性質。

對氣體動力學而言, 希爾伯特第六問題, 就是確定這三套物理理論之關聯： 我們是否能從微觀的碰撞硬球和牛頓力學, 導出介觀的 Boltzmann 方程式； 再從 Boltzmann 方程式導出宏觀的 Navier-Stokes 方程式? 經過許多學者多年的努力 (見例如 #, #, #), 從 Boltzmann 方程式導出宏觀的 Navier-Stokes 方程式, 基本上已無問題。 但從互相碰撞硬球和牛頓力學, 導出介觀的 Boltzmann 方程式, 一百二十多年以來, 一直是件不可逾越的困難。 鄧煜和兩位合作者的工作, 之所以如此引人注目, 正是他們闖過了這重難關。

2.2. 從微觀理論到介觀理論, Lanford 定理

Boltzmann 自己也曾嘗試從微觀的硬球碰撞, 以牛頓力學來推導他的 Boltzmann 方程式 #。 但是他在推導的過程中做了一項假設： 每一對將要碰撞的粒子, 在他們互撞之前, 他們的速度基本上都是各自獨立的。 此處「獨立的」是說這些顆粒的速度, 沒有統計的關連 (Statistical correlation), 而「基本上」是說例外的情形在統計的計算來說, 是可忽略的。

許多學者都覺得這項假設很難接受。 這有兩個主要原因： 第一個原因我們無法確定, 那些相撞前速度有關連的粒子, 是否在統計上少得可以忽略。 因為即使在一團氣體中, 每一對顆粒的速度都是彼此獨立, 但在對撞之後, 由於動量和動能守恒, 彼此間的速度就不再是互相獨立。 以氣體動力學的眼光來看, 氣體中顆粒相撞不但不能避免, 並有時相當密集。 有多少相撞過的顆粒會再度相撞? 這些顆粒再度相撞前, 可能又和其他顆粒撞多次, 這是否可以導致彼此間「遺忘」速度上之關連, 這些都是不易回答的問題。

第二個使人不易接受粒子在互撞前速度獨立的假設, 是時間可逆與不可逆的問題。 一團氣體, 在微觀硬球各別相撞的情勢下, 所有物理描述, 在時間上都是可以逆轉的。 但到了介觀考慮一團氣體的整體性質時, 物理的描述, 就變成時間上不可以逆轉。 例如在一團氧氣中加入一小團氮氣, 經過分子互撞, 兩種氣體一定均勻分佈在一起。 我們無法使時間逆轉, 使兩團氣體再分開。 這就好像在一杯咖啡裡, 加了一匙牛奶, 經過攪動之後, 牛奶和咖啡均勻地混在一起, 這時我們無法逆轉攪動, 使得牛奶在咖啡杯中又回復成一小團。 在粒子互撞前速度獨立的假設之下, Boltzmann 從氣體的微觀性質, 推導出描述這氣體介觀的 Boltzmann 方程式。 在這推導過程中, 我們無法看到描述這氣體的物理理論, 如何從時間可逆轉變成時間不可逆轉。

這些困擾一百多年來, 始終無法解決。 在這段期間內, 較為引人注目的是 Oscar Lanford 在 1975 年的工作 #。 Oscar Lanford 用樹的圖形來代表每一粒子與其他粒子相碰撞的經過； 樹的每一枝枒代表每一次的粒子碰撞。 如果兩顆粒子有一次以上的碰撞, 這兩顆粒的樹, 就有至少兩處的枝枒連接, 而形成一個碰撞環 (Collision Loop)。 在短時間内, 碰撞環的形成, 在統計計算裡出現得很少, 因而可以忽略。 但是 Oscar Lanford %藍佛 所設立的「短時間」非常短。 只有在粒子兩次碰撞之間的, 平均自由運動時間 (Mean Free Time) 的五分之一。 遠不足於推導 Boltzmann 方程式之所需。

2.3. 鄧煜、 Zaher Hani 和馬驍的工作

自 Oscar Lanford 在 1975 年發表他的論文之後, 半個世紀以來不少研究者, 試圖深化或推廣 Lanford 所建立的結果。 例如有人討論 Lanford 方法和時間逆轉之關係, 也有人建立在短時間或氣體受到干擾的情形下, 可以用級數展開的方式處理。 但這些結果都受時間限制； 無法延伸到長時間尺度。 這種長時間尺度所造成的困難, 直到 2025 年, 方被鄧煜、 Zaher Hani、 和馬驍所克服。 Zaher Hani 是密西根大學 (University of Michigan) 數學系的教授、馬驍 (Xiao Ma) 則是普林斯頓大學數學系的研究生。 他們三人最後被接受的論文, 非常艱深複雜, 有兩百頁之長。 以下只是一個很粗淺的介紹。

鄧煜在 2021 年以前, 還在南加州大學時, 就已和 Hani 合作, 兩人很成功地推導了波動動力學方程 (wave kinetic equation) #, #。 由於波動動力學方程式和 Boltzmann 方程式在物理理論上互相對應： 一個研究波的相互作用, 一個研究粒子的相互作用。 並且他們推導出的波動動力學方程式, 對於長時間尺度是有效的。 他們兩人從2022年底開始, 深入了解 Boltzmann 方程式的長時間推導問題。 希望他們推導波動動力學方程式的方法, 也能用在 Boltzmann 方程式上。

他們把一長時間段, 分成很多短時間層。 試圖逐層控制統計訊息的傳播。 在這控制分層展開中, 出現了大量複雜的圖表。 這些圖表是他們用來記錄粒子不同的碰撞歷史。 這時他們發現, 波動動力學和粒子系統中的圖表, 在具體結構上很不相同, 粒子碰撞出現很多新的奇異性。 原有的約化算法不能直接使用。 必須重新發展一套適合在 Boltzmann 問題中, 組合切割與約化的方法。

在這段時間前後, 鄧煜在一次數學會議裡, 碰見一位普林斯頓的研究生馬驍。 發現馬驍的論文指導教授, 正是當年在普林斯頓指導自己的論文指導教授, Alexandru Ionescu 博士。 兩人於是談起彼此的工作, 鄧煜發現馬驍不但很快地掌握自己和 Hani 的工作, 並且還能表示一些具體的意見, 於是就邀請馬驍參加自己和 Hani 的研究團隊。

在這三人努力之下, 情勢逐漸明朗。 他們先把題目簡化。 希爾伯特第六問題原考慮一團在盒子裡的氣體, 每當一氣體顆粒撞向盒子的一個面, 就會從盒子的相對面出現。 因此這些顆粒就永無休止地碰撞。 他們先考慮這團氣體不侷限在一盒子裡, 而在一個沒有邊界的空間。 這團氣體裡的顆粒, 雖然能以種種不同的方式碰撞, 但每次碰撞都促使這團氣體擴張。 但在無邊界的空間裡, 不斷擴張的氣體會變得愈來愈稀薄, 粒子碰撞也因而減少。 最終可以忽略那些再度碰撞的粒子。 他們也很快地看到, 為什麼個體的碰撞, 時間可以逆轉, 但對氣團整體的性質而言, 時間不可逆轉： 因為在氣體分子不斷地碰撞下, 氣體只能擴張, 而不能收縮； 時間只能單方向行駛。

但是要證明 Lanford 的結果可以推廣到長時間尺度, 他們還需要證明氣體在充分稀釋之前, 也需要保證粒子之再碰撞也不會造成問題。 他們很小心地檢查每種可能的碰撞歷史圖表, 先消除一些較簡單的情形, 例如兩顆粒子在短時間內, 有多次再碰撞的情形很少發生, 因而可以不計。 他們然後再處理一些更困難的情形, 這時鄧煜在芝加哥, Hani 在密西根, 馬驍在普林斯頓, 三人每一兩日就用 Zoom 作視訊會議。 鄧馬兩人未婚, Hani 有個小女兒。 他們三人經常在 Hani 女兒上床後, 開始視訊討論。 一討論就兩三小時。 Hani 說這常使他的太太發火。

這段時間他們工作得很辛苦, 有些碰撞情形只有在長時間思考下, 方能逐漸看到應付的方法。 他們的方法是, 把一長時段分割成很多短時段 (Time Layering)。 在每一短時段裡如果一粒子與其他粒子相撞, 他們就檢驗相碰撞粒子以前的歷史圖表。 希望這些粒子中, 以前曾經和這粒子相撞過的, 比起以前沒有和這粒子撞過的, 要少得多。 換句話說, 他們希望證明至少在這短時段內, 粒子的運動基本上是獨立的, 因為只有以前碰撞過粒子的速度, 才有統計關聯 (Statistical Correlation)。 但是有一次以上相撞歷史的粒子數量太多, 他們就依統計關聯不同的深度, 分為許多組別, 每一組別叫做一個累積量 (Cumulant), 然後再檢查這些累積量之間的關係。 他們發現有一次以上相撞的顆粒雖然很多, 但是從統計眼光來看, 統計關聯愈深, 粒子的數量愈可忽略。 這項結論基本是從幾何的考量而來。 簡單來說, 比起自由活動的粒子, 相撞的粒子必須遵守相撞的條件。 這些條件迫使這些粒子, 在他們的相空間 (Phase space) 裡, 處於空間裡的一些曲面或曲線上, 而一個曲面或曲線在空間裡所佔的體積完全可以忽略。

處理好一個個短時段之後, 他們接下來把這些時段聯結起來。 這又是項艱巨的工作。 因為他們必須確定在聯結時, 統計上的度量還在他們控制之下。 像這樣一步步地把 Lanford 的結論延伸到長時間的尺度上。 這時他們再回到盒子裡的氣團。 他們發現他們在無邊界空間氣團裡的工作, 百分之八十可以直接移植過來。 另外的百分之廿, 經過修正後也還可以使用。 這包括時間不可逆的問題； 盒子裡的氣體雖然不能擴展, 但每次顆粒碰撞, 都使氣體的壓力和溫度做單方向的變化。 這樣他們終於成功地把氣體動力學, 從微觀的硬球相撞, 嚴密地推導到介觀的 Boltzmann 方程。

他們三人把寫好的論文 # 寄到數學年刊 (Annals of Mathematics), 數學年刊的審稿者仔細研讀之後, 做了很多建議。 有些地方要他們解釋得更清楚, 有些地方要他們處理得更嚴密。 這樣經過一年多的時間, 他們的論文也從150頁增長到200頁。 數學年刊終於接受了他們的論文。 在這段期間裡, 他們也寫了他們工作較簡單的介紹。 並且把氣體動力學, 從微觀的硬球相撞理論, 經過介觀的 Boltzmann 方程, 一直到宏觀的 Navier-Stokes 方程式做了一個完整的推導 #, 使得希爾伯特第六問題, 在氣體動力學的形式上, 有一完整的解答。 這雖是希爾伯特第六問題裡的一個特例, 但正是希爾伯特討論第六問題時, 自己舉出的特例。 而且也是他自己也曾作過努力的一個特例 #。

氣體動力學推導的工作, 是鄧煜、 Hani 和馬驍三個人在合作之下完成的。 但是只有鄧煜一人獲費爾茲獎。 這是因為費爾茲獎要考慮一個人對數學全面性的貢獻, 而鄧煜在數學裡的貢獻要比其他兩人更為廣泛。

2.4. 鄧煜的詩詞

鄧煜有多方面的才能, 他不但自少年起就在數學方面嶄露頭角, 他並且有很深的圍棋功力； 少年時幾乎被選為職業棋士。 他在文學上也有很深的造詣。 網站上可以很容易找到他寫的古體詩詞。 下面抄錄他的詩詞各一首, 以供大家欣賞。

新年有感
俯仰天涯歲易過。三千世界一長歌。
繁花歷歷綴芳樹,蜃景茫茫浮海波。
欲出真珠尋混沌,曾於微粟見星河。
華燈落盡塵聲遠,只有清江月色多。

臨江仙
零落天涯長自伴, 當時别去匆匆。 聊將醉眼望蒼穹。
銀河明滅處, 黑洞有無中。
迭代千年渾沌後, 尚期何日相逢？愁心覆疊許多重。
思君多少意, 趨向正無窮。

第一首七律, 詩人先用蘊藉的筆, 以當哭的長歌, 寫出天涯游子, 面對匆匆歲月所引起的飄零寂寞感。 但是和傳統詩人不同的是, 作者並不把自己困頓在這飄零寂寞之中, 去繼續嘆息。 因為作者有意在混沌中尋找真珠, 並且曾經在微小的顆粒中, 覷見到絢麗多姿的星河。 因此雖然處身在華燈盡落, 遠離塵市的孤寂中, 不但不為寂寞所苦, 反而能享受這寂靜的月光。

第二首「臨江仙」寫得很是有趣。 他用了不少數學物理名詞, 卻用得很自然, 並無突兀之感。 並且對仗工整, 如以「銀河」對「黑洞」。 這詞的上下兩闋收尾的兩句, 又都寫得特別有趣。 有關上闋末句的「黑洞有無中」, 人們原懷疑黑洞是否真正存在。 我們雖不能直接觀測黑洞, 但種種間接的證據, 似乎證明它們的存在是無可置疑的。 所以黑洞大概是有的。 但是任何物質能量到了黑洞, 就再也不會出來了。 所以黑洞又可以看作是「無」的極致。 故「黑洞有無」似乎值得玩味。

下闋末句的「趨向正無窮」裡的「正」字, 在字面上的意思是「正是」、「正好」； 可是在數學裡又有正負中的正的意思。 作者似乎覺此處必須分辨； 如果思念是趨向負無窮大, 就大大地不妥了。 有趣。

3. 王虹得獎工作簡介

國際數學聯盟, 在王虹費爾茲獎章引言 (Citation) 提及王虹得獎, 是由於她在調和分析 (harmonic analysis) 及幾何測度論 (geometric measure theory) 兩方面的工作； 這包括在不同合作者協助之下解決了三維的掛谷猜想 (Kakeya Conjecture) 及 Furstenberg 集合猜想； 並在她協助之下使得傅立葉限制 (Fourier Restriction)、 Falconer 距離、 以及以二維波的局部平滑性猜想等幾個問題上取得重大突破。

王虹, 一如鄧煜, 在數學裡有多方面的貢獻。 一篇短文無法顧及全面。 下面就介紹在得獎引文中提到的三維掛谷猜想, 因為這是一個多年來未解決的難題, 她在這問題的工作特別引人注目。 並且她這方面的工作, 也直接關聯到引文中所提到她在其他幾個問題上的工作。 下面就從掛谷問題開始, 介紹這問題的解, 及如何從這問題的解, 發展成掛谷猜想, 然後介紹王虹和她的團隊, 如何證明掛谷的三維猜想。

3.1. 什麼是掛谷問題?

要了解掛谷猜想, 我們需要知道什麼是掛谷問題, 因為掛谷猜想與一個解答掛谷問題而產生的集合有關。 要知道什麼是掛谷問題, 我們需要從 1917 年日本數學家掛谷宗一 (Sōichi Kakeya) 在 Tôhoku Mathematical Journal # 和 Tôhoku Science Report # 提出的一個數學問題開始說起： 我們如果把一根長度是 1 而寬度是零的針, 在一個平面上轉動 $360^\circ $, 這根針所掃過的面積, 最小是多少 ?

我們不妨自己先試試看, 如果以針的中點為圓心, 針的半長為半徑, 畫一個圓, 這針自然可以在裡面轉 $360^\circ $。 這樣掃出的面積是 \(\pi\left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{\pi}{4}\)。 但是這並不是面積最小的圖形。 讀者不妨試試看, 在一個高為 1 的等邊三角形裡, 這根針也可以轉 $360^\circ$； 我們只需把針以三角形的一個頂點為圓心, 從這三角形的一邊轉到另一邊, 然後沿著這一邊滑向下一頂點, 繼續旋轉。 而這三 角形的面積只有\(\frac 1{\sqrt{3}}\), 小於 \(\frac{\pi}{4}\)。 掛谷自己找到一個面積更小的圖形。 這圖形是三尖圓內旋輪線 (hypocycloid of three cusps) (見附圖)。 我們知道這曲線在每點長度為 1 的切線中, 都有一根正好在這圖形裡面； 例如在附圖中 $M$ 這點的切線 $AB$。 如果 $M$ 在這曲線上移動, 相應這點的切線也隨著做平滑的轉動。 我們可以看到如果切線 $AB$ 代表這根針, 當 $M$ 在曲線上滑動一周, 這根針也隨之轉動了 $360^\circ $。 但是掛谷不知道, 還有沒有面積更小的圖形。

這問題在兩年之後, 被一位蘇聯數學教授 Abram S. Besicovitch 解決了 (原論文為 #, 他後來又用英文寫了一篇簡單易懂的論文 #)。 Besicovitch的解, 很出乎大家的意料之外。 他證明能讓這根針旋轉 $360^\circ$ 最小面積的圖形不可能存在, 因為給了任何一個小的正數 $\varepsilon$, 他可以找到一個圖形的面積小於 $\varepsilon$, 而這種圖形的面積又不可能是零, 因為這針任何的旋轉就已掃出大於零的面積。 故此面積要多小就多小, 而又不能是零。 所以沒有最小的面積。

Besicovitch 找到的這種圖形很令人驚異。 使人很自然想到在三維或更高維的空間裡是否有類似情形。 因為在三維或更高維的空間, 在每一點都有無窮多個方向去旋轉一根針, 為了避免這種麻煩, 我們把這問題稍做簡化。 在 $n$-維空間 \(\mathbb{R}^{n}\) 裡的一個集合 $S$, 被稱為一個 Besicovitch 集合, 或是掛谷集合, 假如 $S$ 包含 \(\mathbb{R}^{n}\) 中任何方向的單位長的線段。 顯然在一平面上, 能讓一根針在裡面轉 $360^\circ$ 的圖形。 都是平面裡的掛谷集合。 Besicovitch 在平面裡的證明也可以推廣到 $n$-維的空間 \(\mathbb{R}^{n}\)。 因為現在不需要旋轉, 我們可以更進一步證明: 在 \(\mathbb{R}^{n}\) 裡, 一定可以找出一個掛谷集合, 他的 $n$-維體積要多小就多小, 甚至於可以等於零 (見 #)。

3.2. 二維的掛谷集合

在這一小節裡, 我們先描述二維的掛谷集合是個什麼樣的集合, 這些二維集合基本上是 Besicovitch 當年為了解決掛谷宗一提出的問題, 所創造的集合, 然後經德國數學家 Oskar Perron 稍微簡化而成 (見 # 及 #)。

順便說一下 Besicovitch 的一位朋友, 在威斯康辛大學教書多年的 Issac Schoenberg 回憶說, Besicovitch 曾告訴他, 當他在解掛谷問題時, 正逢蘇聯大革命的內戰。 那時他在烏拉山腳下一小學校教書, 生活非常困苦, 冬日天冷, 他把兩腳踩在一個盒子裡, 裡面塞滿稻草, 藉以取暖。 但也憑藉他這一年的工作, 得以取得列寧格勒大學 (聖彼得堡國立大學) 教授資格 (見 #[p.170])。

在平面裡要找一個包含指向每一方向線段的集合很容易。 例如以原點為中心的一個圓、 或正方形均可。 但是我們需要找一個面積可以任意小的集合。 Besicovitch 就從以原點為中心, 邊長為 2 的正方形開始。 這個集合自然包含了指向平面上每一方向的單位長線段。 他把這正方形, 分成許多以原點為頂點的三角形。 他想我只要保留每一三角形的方向不變, 而把他們做水平或垂直移動, 或許能縮小整個集合的面積。

他想我們若把這正方形裡兩個相鄰的小三角形部份重疊 (如右圖第一行), 這兩小三角形所包含的線段仍在, 但是由於重疊, 總面積較前為小。 他如果把兩個 重疊的圖形再度重疊, 這樣面積可以更小, 而仍保持原有不同方向的線段。 如附圖第二、 三兩行。

他於是以這正方形的中心為頂點, 正方形的每一邊為底, 把這正方形分為四個 $45^\circ -90^\circ -45^\circ$ 的大三角形。 把每個大三角形又再分為 \(2^{m}\) 個小的三角形。 他然後把每邊相鄰的小三角形部份重疊。 這樣每大三角形裡的小三角形少了一半。 他把相鄰重疊過的圖形再度重疊, 每個大三角形裡面的圖形又少了一半。 像這樣經過 $m$ 次重疊之後, 每個大三角形裡面只剩下一個圖形, 這個圖形被稱為一棵 Perron Tree。 現在正方形內有四棵 Perron Tree： 兩棵垂直而相對, 兩棵水平相對。 這四棵樹, 還是包含了在平面上指向每一方向的線段。

現在我們用 Oskar Perron 的方法來計算 Perron Tree 所佔的面積。 他不去移動圖形來計算面積, 而是用樹「長芽」的方式來看重疊後的面積。 並且每次長芽他也同時把圖形放大。 使得我們可以看清圖形的面積如何變化。 他開始考慮一個高為 2 的等腰直角三角形 (附圖中的 $ABC$ 三角形)。 這三角形是零階段的樹 \(T_{0}\)。 這樹的底邊為 4 高為 2, 因此面積為 4。

我們現在讓 \(T_{0}\) 開始「長芽」： 先讓這三角形在頂點的兩邊 $DC$ 和 ${EC}$ 向上延長到 \(y = 3\) 的高度, 得到 ${G,F}$ 兩點。 然後把 ${F}$ 和對應邊在 \(y = 1\) 的那點 ${D}$ 相連； 把 ${G}$ 和 ${E}$ 相連。 這樣 ${FCD}$ 和 ${GCE}$ 就是長出來的兩株新芽。 這兩株新芽, 和原三角形 ${ABC}$ 形成第一階段的樹 \(T_{1}\)。 我們可以看到 \(T_{1}\), 正是把一個高度為 3 的等腰直角三角形 (附圖中之 \(\mathrm{\Delta}_{1}\)), 切成兩半之後, 再橫向移動, 使他們在彼此底邊的 2/3 處重疊的結果。

\(T_{1}\) 的兩株新芽, 可以分成四個面積相等的三角形； 兩個在 \(y\) 等於 2 和 3 之間； 兩個在 \(y\) 等於 1 和 2 之間。 這四個三角形中的上面的兩個； \({s_{2}}^{1}\) 與 \({s_{1}}^{1}\) 的面積之和等於三角形 \({s_{1}}^{0}\) 之面積, 因為這三個三角形之高都是 1, 而 \({s_{2}}^{1}\) 與 \({s_{1}}^{1}\) 底之和與 \({s_{1}}^{0}\) 之底相等。 因為 \({s_{1}}^{0}\) 之面積為 1, 而 \(T_{1}\) 兩株新芽的四個的三角形面積相等, 故從 \(T_{0}\) 到 \(T_{1}\) 面積增加了 2 個單位。

我們從 \(T_{k}\) 可以以同樣方式開展到 \(T_{k + 1}\)。 例如 \(T_{1}\) 有兩個頂點 (${F}$ 和 ${G}$)。 在每個頂點可以長出一對新芽, 所以 \(T_{2}\) 就有四個頂點： ${H, J, K, L}$。 一般來說 \(T_{k}\) 有 \(2^{k}\) 個頂點。 這 \(2^{k}\) 個頂點是 \(T_{k}\) 中 \(2^{k}\) 個高為 \(k + 2\) 的小三角形的頂點。 當我們把一個高為 \(k + 2\) 的 $45^\circ -90^\circ -45^\circ$ 的大三角形, 分割成 \(2^{k}\) 個小三角形, 然後經過重複的重疊, 就成了 \(T_{k}\)。 這些在 \(T_{k}\) 中的小三角形, 正來自 $45^\circ -90^\circ -45^\circ$ 的大三角形中的小三角形。

\(T_{k}\) 的面積是多少? 就像從 \(T_{0}\) 到 \(T_{1}\), 每次 \(k\) 增加了 1, \(T_{k}\) 的面積就會增加 2 個單位。 這是因為從 \(T_{k}\) 到 \(T_{k + 1}\), 每一對新芽上半部的面積, 永遠等於上次老芽的上半部 (見圖中有陰影的三角形), 因為這些三角形的高都是 1, 而每對新三角形的底, 加起來與老三角形的底同寬。 因為在 \(\ T_{1}\) 時兩個樹芽的上半部, 即 \({s_{2}}^{1}\) 與 \({s_{1}}^{1}\), 面積為 1, 故此每次長芽, 這些芽上半部面積之和永遠為 1。 但每一樹芽還有等面積的下半部, 故從 \(T_{k}\) 到 \(T_{k + 1}\), 每次面積增加兩個單位。 因為 \(T_{0}\) 的面積是 4, \(T_{k}\) 的面積是 \(4 + 2k\)。 因為在掛谷問題裡我們把每一個大的 $45^\circ -90^\circ -45^\circ$ 三角形分為 \(2^{m}\) 個小三角形, 我們需要作 \(m\) 次橫移和重疊, 而得到高度為 \(m + 2\) 面積為 \(4 + 2m\) 的 Perron Tree \(T_{m}\)。

在上面的計算中, 我們為了看清楚長芽的程序, 每次長芽都把圖形放大。 在原掛谷問題裡, 我們把一個以原點為中心, 邊長為二的正方形, 分為四個以高為 1 的 $45^\circ -90^\circ -45^\circ$ 三角形。 然後再把每一 $45^\circ -90^\circ -45^\circ$ 三角形又分為 \(2^{m}\) 個小三角形, 加以重複的橫移重疊以成 Perron Tree。 而這些樹裡的三角形之高應該都是 1。 這些樹的高度也都應該是 1。 但是經過我們每次放大後, 得到高度為 \(m + 2\) 的 \(T_{m}\)。 因為每次都是以同比例放大, 所以我們必須把 \(T_{m}\) 的高度和寬度都除以 \(m + 2\), 以回歸他們的真正度量。 因之 \(T_{m}\) 的真正的面積應該是 \(\frac{\ 4 + 2m}{{\ (m + 2)}^{2}} = \frac{2}{m + 2}\)。

在掛谷問題中我們有四棵 Perron Tree, 故此二維掛谷集合的面積是 \(\frac{8}{m + 2}\)。 由此式我們可以看到只需增加小三角形的數目 \(m\), 這集合的面積可以要多小就多小。 根據上面建築 Perron Tree 的方法, 集合裡的四株 \(T_{m}\) 在放大後底邊都是 4, 但是去掉放大的因素之後這四株樹的底邊都縮小到 \(\frac{4}{m + 2}\)。 並且根據我們建築這些樹的程序, 這四株樹都面對原點開放, 但是在掛谷問題裡, 我們可以把集合裡的一部分平移, 而不影響結論。 所以我們可以把上下兩樹垂直互移, 左右兩樹水平互移, 而得到四株底邊在原點附近, 向四面開放的小樹。

3.3. 二維掛谷問題的解

在前一小節中, 我們描述的掛谷集合, 只是包含平面中指向每一方向的線段, 並沒有考慮如何旋轉一根針。 在這小節中我們描述 Besicovitch 如何把這些掛谷集合面積略為加大, 就可以把一根單位長的線段, 在裡面旋轉 $360^\circ $。 因為掛谷猜想不需要旋轉針, 只想知道有關掛谷猜想的讀者, 可以略過此節。 下一小節中我們再回到掛谷猜想以及 Roy Davies、 王虹、 Joshua Zahl 等人的工作。

討論Besicovitch旋轉針的證明之前, 我們先需要一條引定理： 我們只需要任意小的面積, 就可以把一根線段平移到平面上任一平行位置。 例如在附圖中我們想把線段 $HG$ 移到和他平行的 $FD$ 的位置。 我們只需把 $HG$ 稍微轉動一個小角度到 $KG$ 的位置。 現在 $KG$ 和 $FD$ 不再平行。 這兩線段的延長線必然相交。 現在我們可以先把 $KG$ 沿著它的延長線滑動到 $LN$ 的位置, 再把 $LN$ 轉一同樣角度到 $LM$, 然後沿著 $LD$ 線就可以滑動到 $FD$ 的位置了。 因為把一個線段作直線滑動不需要面積, 所以這項運動所需的面積, 只是兩個小三角形的面積, 而這兩個小三角形要多小就可以多小。

現在再回到掛谷問題。 Besicovitch 指出, 在一以原點為中心, 邊長為 2 的正方形中, 一個單位長的線段可以旋轉 $360^\circ $。 如果我們把這正方形分成許多三角形, 如上小節中第一附圖所示, 這線段就可以照順序在一個個三角形中轉； 在一個三角形中轉完後, 再接著到下一個三角形內旋轉。 當我們把這些三角形不斷重疊成四株 Perron Tree \(T_{m}\) 後, 這些三角形只是互相重疊, 並未消失。 故此當一線段在四株 Perron Tree 中每一三角形轉動後, 原相鄰的三角形也在這四株 Perron Tree 中。 並且這兩相鄰的三角形的共同邊, 在重疊移動之下, 仍互相平行。 所以我們可用前引理方法, 以很小的面積, 把這線段移向下一三角形繼續轉動。 現在我們把這程序小心地處理一遍： 如果 \(\varepsilon\ \gt 0\) 是一正數, 我們先選取一掛谷集合, 使得其總面積 \(\ \frac{8}{m + 2} \lt \frac{\varepsilon\ }{2}\)。 現在四株 Perron Tree 中共有 \({4 \times 2}^{m}\) 個三角形, 我們需要做 \({4 \times 2}^{m}\) 次平行移動。 如果我們要求每次平行移動所要求的兩個小三角形面積之和小於 \(\frac{\varepsilon\ }{{8 \times 2}^{m}}\), 那麼在這掛谷集合, 加上每次平行移動所需的線段和小三角形之後, 一個單位長的線段可以旋轉 $360^\circ $, 而這擴大集合的總面積仍小於 \(\varepsilon\)。 掛谷宗一原提出的問題也由此而解。

3.4. 從掛谷問題到掛谷猜想

在 $n$-維的空間裡, 一個掛谷集合究竟是個什麼樣的集合? 他的 $n$-維體積要多小就可以多小, 甚至於可以等於零。 但是這種集合必定還包含著相當份量的「實質」, 因為他們包含了空間裡指向每一個方向的線段。 平常我們常用一個集合的體積來量這集合的大小。 但是對於掛谷集合來說, 體積並不適用。 因為掛谷集合的體積可以要多小就可以多小。 到了上個世紀七十年代, 分形理論 (Fractal Theory) 風行一時。 大家暸解一個集合的維數 (Dimension) 不一定是整數。 並且在一個 $n$-維的空間裡, 體積為零的一個集合的維數, 可能大於 \(\ n - 1\)。 這使大家感覺維數, 也許比體積更能度量一個集合裡所包含的「實質」。 於是有人就開始探討, 在 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的一個掛谷集合能有多少維數。

在分形理論中, 有兩種不同的常用方法來計算一個集合的維數： \(\dim_{H}\) (Hausdorff Dimension) 和 \(\dim_{M}\) (Minkowski Dimension)。 現在先簡單地看一下, 這兩種維數的方法如何計算。

\(\dim_{H}(S)\) 是基於一個圖形 $S$ 放大或縮小的「比例因素」$p$ ： 如果我們把一個圖形以比例因素$p$放大, 而放大後的圖形是原圖形的 \(p^{n}\)倍, 則 \(\dim_{H}(S) = n\)。 例如 $S$ 是個正方形, 如果我們用比例因素 \(p = 2\) 來放大, 即\(\ S\) 的每邊長都變成原長的 2 倍, 則放大後的圖形, 需要 4 個\(\ S\) 方能填滿。 而 \(4 = 2^{2}\), 所以正方形是個2維的圖形。 如果 $S$ 是一個正立方體, 用 \(p = 2\) 來放大, 則放大後的圖形, 有上下兩層, 每層需要 4 個 \(S\) 方能填滿。 故放大的圖形, 是 $S$ 的八倍, 而 \(8 = 2^{3}\) 所以正立方體是個3維的圖形。 又例如 \(S\) 是謝賓斯基 (Sierpinski) 三角形 (見附圖)。 我們也用 \(p = 2\) 來放大, 我們可以把原圖形看做現在三個三角形中之一。 故放大後的圖形是現圖形的三倍。 我們需要把 3 寫成 \(3 = 2^{n}\)(因為放大因素是 \(p = 2\))。 在這個例子裡

$$\dim_{H}(S) = n = \frac{\log3}{\log2} \approx 1.58.$$

故此謝賓斯基三角形的 Hausdorff 維數是 \(1.58\)。

Minkowski \(\dim_{M}(S)\) 的定義稍微複雜, 但是他的算法, 對於某些集合來說反而更便利。 如果 $\varepsilon$ 是一正數, 我們用 \(\mathbb{R}^{n}\) 中一個 「$\varepsilon$ 盒子」, 代表 \(\mathbb{R}^{n}\) 中邊長為 $\varepsilon$ 的正立方體。 假如 \(S\subset {\mathbb{R}}^{n}\) 是一個圖形, 我們先用最小數量的 $\varepsilon$ 盒子把 \(S\) 覆蓋, 然後使 $\varepsilon$ 一步一步地趨向於零, 同時計算所需盒子的數量如何增加, 這樣也可以看出 \(S\) 的維數。 例如 \(S\) 是平面中的一個邊長為 1 的正方形, 我們讓 \(\varepsilon = 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\), 每一 $\varepsilon$ 所需盒子的數量為 \(N(\varepsilon) = 1,2^{2},3^{2},\ldots\)。 但如果 \(S\) 是三維空間裡的一個單位正立方體, 那麼當 \(\varepsilon = 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\), 覆蓋 \(S\) 所需最少數量的盒子數就變成 \(N(\varepsilon) = 1,2^{3},3^{3},\ldots\), 我們很容易看出, 以正方形而言, 所需盒子的數量以平方增加； 以正立方體而言, 盒子數量以立方數量增加。 這是因為正方形是 2 維圖形, 我們需要向兩個座標軸的方向增加盒子, 而正立方體需要在三個座標軸方向增加盒子數目, 如此看來 \(N(\varepsilon)\) 應當是 \(1/\varepsilon\) 的冪數。 因此 Minkowski 維數就定義為

$$\dim_{M}(S) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\left( \frac{\log N(\varepsilon)}{\log(\frac{1}{\varepsilon})} \right).$$

此處用上極限的符號, 是因為我們可以把正方形的盒子改為球形, 甚至長方形等等。 當取極限時, 所有不規則盒子所引起的麻煩, 都可以消除。 例如當我們考慮三維掛谷集合的維數時, 我們所用的盒子, 常是包含每一線段的管子。

當\(S\)為謝賓斯基三角形時, 我們可以看到當 \(\frac{1}{\varepsilon}\) 以 \(2^{n}\) 的方式增加時, \(N(\varepsilon)\) 以 \(3^{n}\) 的方式增加。 故此 \(\dim_{M}(S) = \dim_{H}(S)\)。 但一般而言這兩種算法, 不一定相同, 但是我們知道 \(\dim_{H}(S) \leq \dim_{M}(S)\) 一定成立。

我們現在再回到本小節開始提到的問題： 在 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的一個掛谷集合, 能有多大的維數? 1971 年英國數學家 Roy O. Davies 證明了, 當 \(S\) 為平面上的掛谷集合 \(\dim_{H}(S) = \dim_{M}(S) = 2\) (見 #)。 這是說雖然這些集合所包含的面積要多小就可以多小, 但是他們所包含的「實質」不容忽視, 因為他們是平面裡 2 維的集合, 從2維的掛谷問題到3維, 一下子變得極端困難。 當\(\ S\) 為3維空間裡的掛谷集合, Thomas Wolff 在1995 年證明 \(2.5 \leq \ \dim_{H}(S) = \dim_{M}(S) \leq 3\) (見 #)。 在 Minkowski 方面的結果在 2000 年, 被三位世界頂尖的數學家, 包括 2006 年費爾茲奬得主陶哲軒, 往前推進了一步； 他們證明

$$2.5000000001 \leq \dim_{M}(S) \leq 3.$$

三位數學家、 五年功夫、只把小數點第十位的數字提高了一位。 他們三位寫的這篇 63 頁的論文被認為是一項重要貢獻, 刊登在最權威性之一的數學刊物, Annals of Mathematics之上(見 #)。 當然這篇文章也為後來的學者掃除了不少障礙, 提供了有用的工具。 以下即是所謂的 $n$-維的掛谷猜想：

$n$-維的掛谷猜想： 如果 \(S\) 為 $n$ 維空間裡的一個掛谷集合, 則 \(\dim_{H}(S) = \dim_{M}(S) = n\)。

從 2000 年到 2025 年, 雖然有些零星的發現, 但基本上, 尤其關於三維的猜想, 並沒有重大的突破。 這情形一直到 2025 年 2 月, 王虹和 Joshua Zahl 發表了他們的工作 (見 #, #)。 他們把 \(2.5000000001\) 一下提到了 3。 換句話說他們完全證明了三維的掛谷猜想： 當 \(S\) 為3維空間裡的一個掛谷集合, 則 \(\dim_{H}(S) = \dim_{M}(S) = 3\)。 這是個了不起的成就。

為什麼數學家們如此關注掛谷猜想? 表面上看起來, 掛谷集合似乎是一種很孤立而奇特的集合。 這些集合的維數, 似乎並不值得這麼多人去關注。 但是近半世紀以來, 人們發現愈來愈多的數學問題, 都和掛谷問題的維數有關。 例如 #, # 討論掛谷問題, 如何出現在數論和組合理論中。 資料 # 討論掛谷猜想之成立與否直接關連一些在傅立葉變換、 偏微方程、 波動積分等等問題。

其實掛谷猜想, 出現在一些應用問題的情形不難了解。 我們現在用直觀方式, 做一簡單介紹。 我們知道現在常用電波傳送資料, 為了傳遞和積存方便, 我們常把資料壓縮在一小空間。 一個很實際的問題就是, 有多少資料可以壓縮在一個空間裡? 由於這些波可以指向空間裡任何的方向, 我們會很自然地想到掛谷集合, 因為這些集合, 包含指向空間每一方向的線段, 而這些線段又可以安排得極為緊湊, 使得整個集合體積可小到為零。 但是波需要振動, 我們很難用線段來代替波。 故此我們需要把每一線段裝在一個管子裡, 讓波在管子裡振動。 回顧前面 \(\dim_{M}(S)\) 計算方法, 我們可看到, 隨著管子口徑變化, 管子的數目, 正是用來計算這集合維數的依據。 故此掛谷猜想, 出現在一些應用問題裡, 是件很自然的事。

國際數學聯盟, 在王虹費爾茲獎章引文中, 談到王虹對數學的貢獻, 除了掛谷猜想外, 還提及了四項其他方面的貢獻。 他們列舉了王虹和吳澍坤, 如何大幅改進了傅立葉限制 (Fourier Restriction)； 如何與任開元, 解決了二維 Furstenberg 集合猜想, 又如何成功地得到這猜想在三維空間中限制性估計, 這是一項自 1960 年代 Elias Stein 提出著名的限制性猜想以來, 很重大的貢獻。 獎章引文中也提到王虹與 Larry Guth 及張瑞祥如何解決了二維和三維波動方程的局部光滑性猜想； 以及她和 Larry Guth、 Alex Iosevich、 歐雨濛合作之下, 如何在 Falconer 距離集猜想問題中取得重大的突破。

這幾個數學問題, 分屬於調和分析、度量幾何、偏微分方程、 和組合數學。 但是他們都與掛谷猜想有直接的關連 (見 #, #, #)。 王虹在這些不同領域中的工作, 固然會加深她對掛谷猜想不同角度的了解, 同時她在掛谷猜想的工作, 也必然會幫助她在這些不同領域中取得重大的突破。 以王虹為例。 我們也可以看出為什麼許多人都關注掛谷猜想的進展。

3.5. 王虹、 Zahl 與掛谷猜想

我們現在終於討論王虹和 Zahl 在三維掛谷猜想之工作。 但在討論王虹和 Zahl 在三維掛谷猜想之前, 我們需要先簡介 Roy Davies 如何證明二維的掛谷猜想。 這樣能夠較易了解為何在 1971 年解決了二維的問題之後, 要等到 2025 年, 超過了半個世紀之後, 才能解三維的猜想。 二維和三維的情形究竟有什麼樣不同之處? 王虹和 Zahl 又如何克服這些困難。

如上小節所示, $n$-維的掛谷猜想, 是猜想在 $n$-維空間裡的掛谷集合的維數為 $n$。 在同小節裡。 我們也論了兩種不同的維數計算方法： Hausdorff Dimension 和 Minkowski Dimension。 王虹、 Zahl 和 Roy Davies 三人都同時考慮到兩種不同的維數計算法。 因為以下只是介紹這三人證明的主要思想, 我們只討論他們的 Minkowski Dimension計算。

現在考慮平面上一個掛谷集合 $K$。 這個集合 $K$ 包含平面上指向每一方向的單位長的線段。 回顧上小節所說, 計算 $K$ 的維數時, 我們把 $K$ 用一些邊長為 \(\delta\) 的正方形所覆蓋, 並讓 \(N(\delta)\) 等於覆蓋 $K$ 所需最小數目的 \(\delta\) 正方形。 然後讓 \(\delta\) 縮小, 我們可以從 \(N(\delta)\) 增加的方式, 看出 $K$ 的維數。 現在把 $K$ 的每一線段都用一排邊長為 \(\delta\) 的正方形所覆蓋, 因為每一線段長度都為 1, 每條線段都需要 1/\(\delta\) 個正方形。 如果這些線段彼此獨立； 例如這些線段均勻分佈為一正方形中的垂直線, 則 \(N(\delta) = \left( \frac{1}{\delta} \right)\left( \frac{1}{\delta} \right) = \delta^{- 2}\) (故此正方形是 2 維)。 但是這些線段並非彼此獨立, 而是可能互相重疊。 Davies 開始估計這些重疊如何減少覆蓋的正方形數目。

他先把這些線段延長。 如果兩條線在相交處的角度 \(\geq\delta\), 在離交點 \(r\) 處兩線的距離已是 \(\geq r\delta\)。 故當 \(r\gt1\) 以後就再不易用同一 \(\delta\) 正方形來覆蓋這兩條線了。 基於這種考量, Davies 把一條線從一個可能的交點起, 用距離這點的距離 \(r\) 來估計有多少能和這線相交方向的線, 以及能和這線用共同多少 \(\delta\) 正方形來覆蓋。 因為兩線相交後, 往不同的方向延長。 彼此間距離很快拉開, 故此的重疊數可以用一對數增加量 (increase in the logarithmic scale) 修正即可： 覆蓋一個掛谷集合 $K$ 所需的 \(\delta\)-正方形數 \(N(\delta)\) 應為

$$N(\delta)\geq\frac{\delta^{- 2}}{\log(\frac{1}{\delta})}.$$

這個結論很漂亮。 因為一方面我們如計算覆蓋 $K$ 所需的總面積, 則我們有

$$N(\delta)\delta^{2}\geq \frac{1}{\log(\frac{1}{\delta})}\ \rightarrow\ 0\ \hbox{當}\ \delta\to 0.$$

這與 Besicovitch 所得的結論一致。 另一方面如 $K$ 的維數 $s$ 小於 2, 那麼覆蓋所需的面積為

$$N(\delta)\delta^{s}\geq \frac{\delta^{s - 2}}{\log(\frac{1}{\delta})}\ \rightarrow \ \infty\ \hbox{當}\ \delta\to 0.$$

這不可能, 故 $K$ 的維數必定是 2。

從直觀的角度來看, 二維的情形要比三維的情形簡單得多。 一個掛谷集合 $K$ 包含了指向不同方向的線。 在平面上不平行的線必定相交, 而相交後由於往不同方向延長, 彼此間距離很快拉開, 基本上每條線最終都需要有自己的覆蓋盒子, 與平面中的獨立平行的線段相似, 因此維數是 2。

要證明三維的掛谷猜想, 我們需要證明覆蓋一個掛谷集合中, 所有線段所需要的盒子, 基本上的數量, 要和覆蓋一個立方體的數量相當。 這就是說我們不能有太多捆綁在一起的線段, 讓它們使用共同的覆蓋盒子, 因為如此盒子的數目就不夠維持三維的數量了。 一個掛谷集合 $K$ 裡的線段, 雖然指向空間裡每一不同方向。 但在三維的空間裡, 有太多情形, 可以讓無窮多條不平行的線, 綁紮在一起享用同一排盒子。 這些困難使得二維裡所用的工具, 無法再用到三維的問題。

例如在一個厚度為 $\delta$ 的平板中, 我們可以很容易找到一組在平面上的方向相同, 而只是在厚度方向稍有上下不同的線段, 而這組線段都可放在同一排的盒子裡。 王虹和 Zahl 必須證明, 這樣的情形雖然減少覆蓋整個集合所需的盒子數量, 但還不致少到影響集合的維數。 王虹和 Zahl 解決三維掛谷猜想的論文 #, 有 127 頁之長, 寫得真可謂詞嚴義密很是艱深, 並且不斷引用其他作者的工作, 包括 #, # 等等本身即已艱深的文章。 故此下面只能簡單地舉幾個例子, 來說明他們面對的困難, 讓我們略知梗概而已。

The Heisenberg Group Model. 為了引入更多數學工具 N. H. Katz, I. Laba, 及 T. Tao 把掛谷問題引入三維複數空間 \(\mathbb{C}^{3}\) #。 發現掛谷猜想在 \(\mathbb{C}^{n}\) 中有個反例。 因為在這空間裡有個二維曲面 (這曲面在 $U(2,1)$ 這群之變換下不變, 因之叫 Heisenberg Group Model), 在這曲面上的每一點都可有一簇複數線, 把這些線變粗成管後, 所重複覆蓋體積之數量, 超過掛谷猜想所允許。 有很長一段時間, 大家認為這反例會在實數空間裡, 推翻三維掛谷猜想。 這也成為王虹和 Zahl %札爾 要突破的一道關口, 他們也成功地解決了這困難： 他們證明在實數空間裡這反例不能成立。

The Sticky Sets. 假如有一個管子裡面裝了無窮多根掛谷集合的線段, 這些線段又可分裝在原管子裡一群密集排列, 更小口徑的管子裡。 而每一小管子裡的線段, 又可以相似的方法分裝在更小口徑的管子裡, 如果可以這樣一層層地推下去, 每層管子裡的小管子都密集排列, 而排列方法又都相似, 這組線段就稱為黏性集合 (A Sticky Set)。 這也是 N. H. Katz, I. Laba, 及 T. Tao 的論文 # 裡引入的一個觀念, 並認為是解決三維猜想, 需要解決的最壞的情形之一。 由於這種線段有類似分形幾何一般的自我相似的構造, Jean Bourgain 在這集合中引入了加與乘的運算, 並猜想基於這運算, 真正具有分形構造的黏性集合, 在掛谷猜想中不會出現 #。 而王虹與 Zahl 證明了這項 Bourgain 的猜想, 因而避免了解決掛谷猜想需要面對最困難的問題之一。 並證明其他較簡單的黏性集合, 即使出現, 也不會造成麻煩。

The Non-Sticky Case. 黏性集合情形解除之後, 王虹和 Zahl 就關注非黏性情形。 有一陣子他們感覺, 黏性集合也許並非是證明掛谷猜想, 所需面對的壞情形, 這情形直到王虹與任開元, 解決了二維 Furstenberg 集合猜想後, 王虹發現她可用傅立葉的方法, 把一般情形分拆開成兩種集合： 一種是黏性集合, 還有一種與黏性幾完全相反的集合, 然後可以分別處理。

以上只是列舉了幾項王虹和 Zahl 需要解決的問題。 他們的工作遠不止此。 有興趣的讀者可以看看Larry Guth 寫的介紹王虹和 Zahl 工作的文章 #。 Guth 是王虹在 MIT 的論文指導教授。 這文章寫得詳實可靠且較為易懂。 Davies, 王虹和 Zahl 解決的是二維和三維的掛谷猜想。 在其他高維的空間裡我們所知甚少, 幾乎是一片空白。 故此在這方面未來尚還有許多工作可做。

參考文獻

本文作者為美國南伊利諾大學愛德華校區數學系退休教授