摘要: 本文回應國內資優教育重視加廣、 加深與加速, 而小學數學較缺乏加深與加速具體示例的教學需求, 以數學史上的百雞問題設計任務階梯。 教學先以和尚分饅頭淺化問題結構, 再加入限制條件、 五十雞問題與代數表示, 逐步返回原題, 最後延伸至創題活動。 此歷程具體呈現鷹架教學如何引導學生由參照單位、 補償策略與總量守恆概念, 進入整數篩選、 消去思維及代數前思維。 本文主要供小學資優班教師設計課程參考, 亦可作為國、 高中學生發展推理能力及教師教學之素材。

關鍵字: 資優數學、 加深活動、 加速活動、 鷹架教學、 百雞問題。

前言： 從加廣、 加深與加速談小學資優數學教學

國內資優教育的課程設計, 常以加廣、 加深與加速作為重要的調整方向。 相較之下, 加廣可以透過增加題型、 拓展情境、 跨領域連結或開放探究來實施, 教師較容易掌握； 小學數學中的加深與加速, 則較不容易具體化。 加深若只是增加數字或計算的繁複度, 未必能深化概念； 加速若只是提前教授國中公式, 也可能使學生停留在程序模仿。 因此, 如何在不脫離學生理解基礎的前提下, 引導其看見更深的數學結構, 並適度接觸變量、 整數解與代數表示等較高層次思想, 是小學資優數學教學值得探討的課題。

「百雞問題」是中國古代數學史中相當著名的問題, 通常見於《張邱建算經》。 其問題大意是： 公雞一隻值5錢, 母雞一隻值3錢, 小雞三隻值 1 錢； 現在用 100 錢買 100 隻雞, 問公雞、 母雞與小雞各有幾隻。 這個問題表面上是古代買賣情境, 實際上卻蘊含整數解、 多條件限制、 分數單價、 變量關係與系統搜尋等重要數學思想。 它不是單純的計算題, 而是一個需要同時滿足「總隻數」與「總價錢」兩個條件的結構性問題, 因此在數學史與數學教育上都具有代表性。

然而, 若直接將百雞問題放入小學資優生課堂, 仍有相當難度。 小學生尚未系統學習代數, 即使部分資優生已接觸未知數、 規律表、 符號表示或簡單方程式, 百雞問題仍同時包含 「100隻雞、 100錢、 三種價格、 三個變量、 小雞三隻 1 錢」等多重條件。 若一開始就面對原題, 學生容易陷入零散試誤, 未能掌握問題背後的數學結構。 面對這類超出學生目前獨立解題能力的難題, 教學不宜只在「降低要求」與「教師直接講解」之間選擇, 而應採取鷹架 (scaffolding) 教學： 在保留原問題核心結構的前提下, 透過熟悉情境、 較小數據、 表格、 提問與符號表示等暫時性支持, 協助學生逐步發展可以獨立運用的策略。

筆者認為, 較合適的教學設計不是直接講解百雞問題, 而是安排一個由淺入深、 逐步撤除支持的任務階梯。 首先, 以「和尚分饅頭」作為前導, 讓學生理解 「總人數固定、 總饅頭數固定, 但大、 小、 老和尚的食量不同。」的基本結構；其次, 加入額外限制, 使學生看見多解如何縮小為特定解； 再次, 轉入五十雞問題, 讓學生在較小數據中學會由最貴的公雞數著手, 並逐步引入符號表示與消去思維； 最後, 再回到數學史上的百雞問題, 並以創題活動要求學生轉移與重組所學。 此一歷程正是鷹架教學的具體展現： 先讓學生進得去, 再使其看得深, 最後讓其能獨立解題與創題。

一、 任務一： 和尚分饅頭的淺化問題

(一) 問題情境

寺院中共有 60 位和尚, 也共有 60 個饅頭。
大和尚 1 人吃 2 個饅頭,
小和尚 1 人吃 1 個饅頭,
老和尚 2 人吃 1 個饅頭。

每位和尚都要分到饅頭, 請問大和尚、 小和尚與老和尚可以怎麼分配？

(二) 為什麼這是百雞問題的前導？

此題的結構與百雞問題相似, 都是三種角色、 兩個總量限制。

問題	三種角色	第一個總量	第二個總量
和尚分饅頭	大和尚、 小和尚、 老和尚	共60位和尚	共60個饅頭
百雞問題	公雞、 母雞、 小雞	共100隻雞	共100錢

但是, 和尚分饅頭比百雞問題容易, 原因在於小和尚 1 人剛好吃 1 個饅頭。 這使「小和尚」成為很好的基準。 學生可以先想：

如果 60 位和尚全部都是小和尚, 剛好吃 60 個饅頭。

因此, 可以將每位小和尚所吃的 1 個饅頭, 作為比較不同和尚食量的「參照單位 (reference unit)」。
大和尚比小和尚多吃 1 個饅頭；
老和尚 1 人吃 1/2 個饅頭, 比小和尚少吃 1/2 個饅頭。

所以, 每增加 1 位大和尚, 就多吃 1 個饅頭；
每增加 2 位老和尚, 就少吃 1 個饅頭。

於是, 1 位大和尚可以配 2 位老和尚, 剛好保持總饅頭數不變。

(三) 解法說明

從「全部都是小和尚」開始：
60 位小和尚, 剛好吃 60 個饅頭。
現在把其中 3 位小和尚改成：
1 位大和尚與 2 位老和尚。
原來 3 位小和尚吃： 3 個饅頭。
改成 1 位大和尚與 2 位老和尚後：
1 位大和尚吃 2 個饅頭,
2 位老和尚吃 1 個饅頭,
合計仍然吃 3 個饅頭。

所以, 「1 位大和尚 $+$ 2 位老和尚」可以替代「3 位小和尚」, 而總人數與總饅頭數都不改變。

因此, 可以得到下列規律：

大和尚	老和尚	小和尚	總人數	總饅頭數
1	2	57	60	2 + 1 + 57 = 60
2	4	54	60	4 + 2 + 54 = 60
3	6	51	60	6 + 3 + 51 = 60
4	8	48	60	8 + 4 + 48 = 60
5	10	45	60	10 + 5 + 45 = 60

由表格可看出：
大和尚若有 1 人, 老和尚就有 2 人；
大和尚若有 2 人, 老和尚就有 4 人；
大和尚若有 3 人, 老和尚就有 6 人。

也就是說：
老和尚人數 $=$ 大和尚人數的 2 倍。

若大和尚有 $k$ 人,
老和尚有 $2k$ 人,
小和尚有 $60 - 3k$ 人。

若三種和尚都至少有 1 人, 則 $k$ 可以是 1、 2、 3、 $\ldots$、 19。

例如：

大和尚	老和尚	小和尚
1	2	57
5	10	45
10	20	30
15	30	15
19	38	3

這個任務的重點不是列出所有答案, 而是讓學生看見一個關鍵結構：

1 位大和尚配 2 位老和尚, 可以保持「人數」與「饅頭數」同時平衡。

(四) 本任務的加深與加速成分

此任務的「加深」成分, 在於學生深化了對單位量與補償關係的理解。 大和尚多吃, 老和尚少吃, 兩者可以互相抵消； 小和尚則作為基準角色, 使學生看見「多的量」與「少的量」如何維持總量平衡。 這種補償關係, 是後續理解百雞問題的重要基礎。

此任務的「加速」成分, 在於學生開始接觸代數前思維：用一個變動量決定另外兩個量。 學生雖然不必正式寫出方程式, 但已經在思考「若大和尚人數改變, 老和尚與小和尚人數如何跟著改變」。 這正是變量關係的初步經驗。

二、 任務二： 加入限制, 從多解走向特定解

(一) 問題情境

仍然是 60 位和尚、 60 個饅頭。
大和尚 1 人吃 2 個饅頭,
小和尚 1 人吃 1 個饅頭,
老和尚 2 人吃 1 個饅頭。

如果小和尚比老和尚多 10 人, 請問大和尚、 小和尚與老和尚各有幾人？

(二) 解法說明

根據任務一的結果：
若大和尚有 $k$ 人,
老和尚有 $2k$ 人,
小和尚有 $60 - 3k$ 人。

題目又說：
小和尚比老和尚多 10 人。
所以： 小和尚人數 $=$ 老和尚人數 $+ 10$。
代入前面的規律： $60 - 3k = 2k + 10$。
小學生若尚未學代數, 也可以用表格來找：

大和尚 $k$	老和尚 $2k$	小和尚 $60 - 3k$	小和尚比老和尚多幾人
5	10	45	35
8	16	36	20
10	20	30	10
12	24	24	0

從表格可知, 當大和尚有 10 人時：
老和尚有20人,
小和尚有30人。

檢查：
總人數： $10 + 20 + 30 = 60$。
總饅頭數： $10\times 2 + 20\div 2 + 30\times 1 = 20 + 10 + 30 = 60$。
小和尚比老和尚多： $30 - 20 = 10$。

所以答案是：
大和尚 10 人, 老和尚 20 人, 小和尚 30 人。

(三) 本任務的加深與加速成分

此任務的「加深」成分, 是讓學生理解： 一個問題可以有多個合理答案, 但加入新的條件後, 答案範圍會被縮小, 甚至可能變成唯一解。 這能幫助學生理解數學條件的作用, 也為百雞問題中的「整數限制」與「條件共存」鋪路。

此任務的「加速」成分, 是學生開始從「列出多組可能」進入「用新限制篩選答案」。 這已接近方程式的思想, 但仍可以用小學生能理解的列表方式完成。 學生在此階段不一定要熟練代數操作, 但已經接觸到「條件可以篩選未知量」的觀念。

三、 任務三： 從和尚問題轉向小型買雞問題

(一) 問題情境

現在改成買雞問題, 但先不直接進入100隻雞。
公雞 1 隻 5 錢, 母雞 1 隻 3 錢, 小雞 3 隻 1 錢。

現在用 50 錢買 50 隻雞, 且三種雞都要買到, 請問公雞、 母雞、 小雞各有幾隻？

(二) 為什麼先做五十雞問題？

百雞問題的困難在於數字較大, 而且三種雞的價格差異較複雜。 若先改成 50 雞 50 錢, 學生可以在相同結構下處理較小的數字。 這是一種「淺化後再深化」的安排。

更重要的是, 學生在和尚問題中已經學過「用一個角色作為基準」的想法。 到了買雞問題, 也可以用類似的策略：不要同時亂猜公雞、 母雞與小雞, 而是先想辦法減少變動的範圍。 由於公雞最貴, 牽動總價最多, 因此可以先從公雞數下手。

(三) 從最貴的公雞數下手

若直接列表, 公雞、 母雞、 小雞三個變量同時變動, 學生不容易找到答案。 因此, 教師可以引導學生從「最貴的公雞數」下手。

設：
公雞有 $x$ 隻,
母雞有 $y$ 隻,
小雞有 $z$ 隻。

因為共有 50 隻雞：
$x + y + z = 50$。

又因為小雞 3 隻 1 錢, 所以若要避免分數, 可以把價錢全部乘以 3 來看：
公雞 1 隻 5 錢, 相當於 15 份；
母雞 1 隻 3 錢, 相當於 9 份；
小雞 1 隻 1/3 錢, 相當於 1 份。

50 錢相當於 150 份。
所以： $15x + 9y + z = 150$。

現在把兩個條件相減：
$15x + 9y + z = 150$
$x + y + z = 50$
相減後得到： $14x + 8y = 100$。
再同除以 2： $7x + 4y = 50$。

這一步很重要, 因為原來有公雞、 母雞、 小雞三個變量, 現在先變成只看公雞與母雞兩個變量。 小雞數不必一開始猜, 等公雞與母雞確定後, 再用總隻數補出來。
接著從公雞數 $x$ 下手： $7x + 4y = 50$。
因為 $4y$ 一定是 4 的倍數, 所以 $50 - 7x$ 也必須是 4 的倍數。

試公雞數為 $x$：

公雞 $x$	$7x$	$50 - 7x$	是否為4的倍數	母雞 $y$	小雞 $z$
2	14	36	是	9	39
6	42	8	是	2	42

所以 50 雞問題有兩組答案：
第一組：公雞2隻, 母雞9隻, 小雞39隻。
第二組：公雞6隻, 母雞2隻, 小雞42隻。

檢查第一組：
總隻數： $2 + 9 + 39 = 50$。
總價錢： $2\times 5 + 9\times 3 + 39\div 3 = 10 + 27 + 13 = 50$。

檢查第二組：
總隻數： $6 + 2 + 42 = 50$。
總價錢： $6\times 5 + 2\times 3 + 42\div 3 = 30 + 6 + 14 = 50$。

(四) 本任務的加深與加速成分

此任務的「加深」成分, 是讓學生理解表格不是隨便列, 而是有策略地列。 與其同時猜公雞、 母雞、 小雞, 不如先從最貴的公雞數下手, 再求母雞, 最後補出小雞。 這樣的表格是有結構的表格, 不是盲目的試誤。

此任務的「加速」成分, 是學生開始接觸方程式消去的思想。 雖然教師不必正式使用「消去法」這個名詞, 但學生已經經驗到： 把兩個條件相減, 可以把三個變量先化成兩個變量。 這種經驗可以為日後正式學習代數奠定基礎。

四、 任務四： 回到數學史上的百雞問題

(一) 問題情境

公雞 1 隻值 5 錢,
母雞 1 隻值 3 錢,
小雞 3 隻值 1 錢。

現在用 100 錢買 100 隻雞, 且三種雞都要買到。 請問公雞、 母雞、 小雞各有幾隻？

這就是數學史上著名的百雞問題。 學生經過前面的和尚分饅頭、 加入限制、 小型買雞問題後, 再回到百雞問題, 便不會只靠猜測, 而能帶著策略進入解題。

(二) 為什麼不先猜小雞數？

小雞數當然必須是 3 的倍數, 因為 3 隻小雞才值 1 錢。 但是, 若一開始就從小雞數開始猜, 可能要嘗試：
3、 6、 9、 12、 $\ldots$、 99。
範圍太大, 而且猜出小雞數後, 公雞與母雞仍然要再配合總價與總數, 學生容易迷失。 因此, 較好的策略不是先猜小雞, 而是先利用兩個條件把小雞暫時消去, 再從最貴的公雞數下手。

(三) 從最貴的公雞數下手

設： 公雞有 $x$ 隻, 母雞有 $y$ 隻, 小雞有 $z$ 隻。 共有 100 隻雞：
$x + y + z = 100$。

為了避免分數, 把價錢全部乘以 3：
公雞 1 隻 5 錢, 相當於 15 份；
母雞 1 隻 3 錢, 相當於 9 份；
小雞 1 隻 1/3 錢, 相當於 1 份。

100 錢相當於 300 份。
所以： $15x + 9y + z = 300$。

將兩個條件相減：
$15x + 9y + z = 300$
$x + y + z = 100$
相減後得到： $14x + 8y = 200$。
同除以 2： $7x + 4y = 100$。

這樣, 原來的三個變量先減少為兩個變量。 現在可以從公雞數 $x$ 下手。
因為： $7x + 4y = 100$。

其中 $4y$ 一定是 4 的倍數, 所以 $100 - 7x$ 也必須是 4 的倍數。
又因為 100 本身是 4 的倍數, 所以 $7x$ 也必須是 4 的倍數。
7 與 4 沒有共同因數(互質), 因此 $x$ 必須是 4 的倍數。
所以公雞數可以先考慮： 4、 8、 12。

為什麼不繼續考慮 16?
因為 $7\times 16 = 112$, 已經超過 100, 不可能。

接著列出簡化表格：

公雞 $x$	$7x$	$100 - 7x$	母雞 $y = (100 - 7x)\div 4$	小雞 $z = 100 - x - y$
4	28	72	18	78
8	56	44	11	81
12	84	16	4	84

所以百雞問題的三組答案是：
第一組： 公雞 4 隻, 母雞 18 隻, 小雞 78 隻。
第二組： 公雞 8 隻, 母雞 11 隻, 小雞 81 隻。
第三組： 公雞 12 隻, 母雞 4 隻, 小雞 84 隻。

檢查：
第一組：
總隻數： $4 + 18 + 78 = 100$。
總價錢： $4\times 5 + 18\times 3 + 78\div 3 = 20 + 54 + 26 = 100$。

第二組：
總隻數： $8 + 11 + 81 = 100$。
總價錢： $8\times 5 + 11\times 3 + 81\div 3 = 40 + 33 + 27 = 100$。

第三組：
總隻數： $12 + 4 + 84 = 100$。
總價錢： $12\times 5 + 4\times 3 + 84\div 3 = 60 + 12 + 28 = 100$。

(四) 本任務的加深與加速成分

此任務的「加深」成分, 在於學生不只是找答案, 而是理解為什麼要從公雞數下手、 為什麼小雞數不宜一開始枚舉、 為什麼公雞數只需要考慮 4、 8、 12, 以及如何確定答案已經找完。 這使學生從「答案導向」進入「結構導向」的解題層次。

此任務的「加速」成分, 在於學生已經接觸代數前思維： 用符號表示未知量, 用兩個條件建立關係, 再透過相減把三個變量化成兩個變量。 這不是要求小學生提前熟練國中代數, 而是讓資優生在有意義的問題中自然看見代數工具的必要性。

五、 百雞問題之後的創題活動

在學生完成百雞問題的解題 (problem solving) 之後, 再安排創題 (problem posing) 活動, 可以提供另一層次的挑戰。 創題並非只更換情境名稱或數字, 而是要求學生在理解原問題結構之後, 重新調整總數、 總價、 單價或限制條件, 並檢驗新問題是否存在整數解、 多解或無解。

教師可以引導學生思考：
原問題(和尚問題)有幾種角色？
原問題有哪兩個總量限制？
哪一種角色最貴？哪一種角色最便宜？
是否有一種價格含有分數或倍數關係？
新問題(百雞問題)是否能找到整數答案？
新問題是否有多組答案？
如何證明自己創作的問題合理？

例如, 學生可以在百雞問題之後創作「百果問題」：
大蘋果 1 個 5 元, 小蘋果 1 個 3 元, 迷你蘋果 3 個 1 元。
現在用 100 元買 100 個蘋果, 請問三種蘋果各買幾個？

上述「百果問題」主要只是改變情境名目, 數學結構並未改變。 更進一步的創題, 應鼓勵學生調整總數、 總價與單價, 並檢查新的條件是否仍能產生整數解。 例如：
用 60 元買 60 個物品, 是否能設計出三種價格, 讓答案不只一組？
用 80 元買 80 個物品, 是否能設計出一題無解的問題？

最具挑戰性的創題, 是先設定想要的答案, 再反過來設計題目。 例如, 學生可以先指定：
甲物品 8 個, 乙物品 10 個, 丙物品 42 個, 總共 60 個。

接著思考： 若希望總價也是 60 元, 三種物品的價格可以怎樣設計？ 是否可以讓甲物品最貴、 乙物品次之、 丙物品最便宜？

透過這樣的創題活動, 學生不只是扮演解題者, 也開始站在問題設計者的角度, 理解數學問題如何被建構、 如何被限制、 如何產生多解或無解。 這正是資優數學教育中非常重要的能力。

六、 教學意義：以鷹架支持淺化、 加深與加速

綜合上述, 筆者認為, 百雞問題很適合作為小學資優數學的加深與加速素材, 但教學上不宜直接從原題開始。 較合理的路徑, 是先以和尚分饅頭問題淺化結構, 再透過新增限制、 五十雞問題、 符號表示與整數篩選, 逐步引導學生回到數學史上的百雞問題。 這種「先淺化、 再返回原問題」的安排, 並非降低問題層次, 而是依據學生現有理解搭設暫時性的學習鷹架。

這樣的設計具有四層意義。

第一, 淺化不是降低水準, 而是建立進入難題的入口。

和尚分饅頭保留了「三種角色、 兩個總量」的核心結構, 卻以較熟悉的分配情境與清楚的基準角色, 降低學生同時處理大數字、 分數單價與三個變量的負荷。 學生先建立參照單位、 補償策略與總量守恆概念, 再回到較抽象的買雞問題, 理解會更穩固。

第二, 加深不是增加繁雜計算, 而是看見並說明數學結構。

從「1 位大和尚搭配 2 位老和尚, 可以維持總人數與總饅頭數不變」, 到百雞問題中「先消去小雞, 再由公雞數篩選可能答案」, 學生逐步由具體的數量平衡, 走向有系統的條件分析。 其學習重點不只是算出答案, %而是解釋為何採取某一策略、 而是理解各項條件如何彼此制約, 說明為何選擇某一變量優先處理, 為何只需檢查特定數值, 以及如何確定所有答案 均已找出。 這種從操作策略進一步走向理由說明與完整性檢驗, 才是加深學習的重要表現。

第三, 加速不是提前教公式, 而是適度接觸較高層次的數學思想。

學生在任務中接觸未知量、 變量關係、 整數解、 多解結構、 條件限制與符號表示, 並經驗將三個變量化為兩個變量的消去思維。 這些觀念不是以抽象公式直接灌輸, 而是從具體問題的需要自然生成, 使學生從算術推理逐步走向代數前思維。

第四, 任務階梯是鷹架教學的具體展現。

鷹架不是代替學生完成難題, 而是在學習初期提供必要且可逐步撤除的支持。 本文由和尚分饅頭、 加入限制、 五十雞問題, 依序走向百雞問題與創題活動, 分別提供情境、 數據、 表格、 提問與符號等鷹架；當學生逐漸掌握基準、 補償、 整數篩選與消去思維後, 教師即可減少提示, 讓學生獨立返回原問題, 並在創題中檢驗是否真正理解其結構。

因此, 以百雞問題為例, 教師的任務是先淺化問題, 讓學生進得去；再逐步加深, 使學生看見結構；最後適度加速, 使其接觸代數與整數解等較高層次思想, 並透過創題促進知識遷移。 本文主要為小學資優班教師提供搭設鷹架的具體參考；同時, 百雞問題對國中、 高中學生仍具有相當的推理挑戰, 也可作為各級教師培養學生結構化解題、 論證與創題能力的教學素材。

本文作者為國立嘉義大學教育系數理教育碩士班名譽教授