本文作者最近創作了一組不等式, 取名「撞球不等式」, 題目如下：

已知 $0\lt x\le 6$, 且 $0\lt y\le 4$, 證明以下五個不等式成立：

\begin{align} {\root 3\of {-x^3+18x^2-108x+217}}+&{\root 3\of {x^3+y^3}}+{\root 3\of {-y^3+12y^2-48y+128}}\ge 5{\root 3\of {9}},\label{1}\\ \sqrt{x^2-12x+37}+&\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-8y+32}\ge 5\sqrt 5,\label{2}\\ (\sqrt{6-x}+1)^2+(\sqrt x&+\sqrt y)^2+(2+\sqrt{4-y})^2\le 15+10\sqrt 2,\label{3}\\ &\hskip -30pt \sqrt{6-x}+\sqrt{xy}+2\cdot \sqrt{4-y} \le 5\sqrt 2,\label{4}\\ &\hskip -15pt \frac{6-x}{7-x}+\frac{xy}{x+y}+\frac{16-4y}{8-y}\le\frac{10}{3}.\label{5} \end{align}

當 $(x,y)=(4,2)$ 時五個不等式的等式成立。

說明這組不等式之前, 我們先一步步循序漸進, 希望高中生與高中老師可以看懂。先介紹冪平均 (power mean) 的觀念, 定義 $p$ 次冪平均如下:

\begin{align} M_p(a_1,\ldots,a_n)=M_p(\{a_i\}_{i=1}^n)=\Big(\frac 1n\sum_{i=1}^na_i^p\Big)^{\frac 1p}.\label{6} \end{align}

本文中限制 $a_1,\ldots,a_n$ 皆為正實數, 因此 $p$ 次冪平均的 $p$ 值可以是任意非零實數。 當 $p=1$, $M_1(a_1,\ldots,a_n)=\dfrac 1n\sum_{i=1}^na_i$ 稱為算術平均數； 當 $p=0$, 透過極限的概念可以推得幾何平均數 $M_0(a_1,\ldots,a_n)={\root n\of{\prod\limits_{i=1}^n a_i}}$； 當 $p=-1$, $M_{-1}(a_1,\ldots,a_n)=\dfrac n{\sum\limits_{i=1}^n\dfrac 1{a_i}}$ 稱為調和平均數。 從向量著手, 設向量 $\vec V=[a_1\ a_2\ \cdots\ a_n]$, 一般人都知道下面的結果：

\begin{align} M_p(a_1,\ldots,a_n)\ge M_q(a_1,\ldots,a_n)\quad \hbox{若且唯若}\ p\geq q. \label{7} \end{align}

接著介紹範數 (norm), 它具有「長度」的概念, 由於本文限制 $a_1,\ldots,a_n$ 皆為正實數, 因此本文提到的範數亦稱為「廣義範數」, 如 \eqref{8} 式, 其中 $p$ 值亦可以是任意實數。

\begin{align} L_p(a_1,\ldots,a_n)=L_p(\{a_i\}_{i=1}^n)=\Big(\sum_{i=1}^na_i^p\Big)^{\frac 1p}. \label{8} \end{align}

當 $p=2$, 就是高中生熟悉的歐幾里得範數, 也是一般大眾熟知的「長度」觀念。 例如向量 $\vec V=[3 \ 4]$, 它在笛卡兒座標系統被畫成從原點出發的一個箭號, 箭號的長度是 $L_2(\overline{V})=\sqrt{3^2+4^2}=5$, 口訣就是「平方相加再開根號」。 當 $p=-1$, 也是高中生熟悉的範數, 只是大家會使用卻不自知。 舉個三個電阻並聯的例子, 設電阻值分別是 2, 3 及 6 歐姆, 就像 $\vec U=[2\ 3\ 6]$, $L_{-1}(\overline{U})=\dfrac 1{\dfrac 12+\dfrac 13+\dfrac 16}=1$, 也就是說, 三個電阻並聯的等效電阻值等同於範數 $-1$ 的運算, 口訣就是「倒數相加再倒數」。

本文關心的範數是任意實數, 當 $p\gt 1$, 三角形的兩個短邊和大於最長邊, 就是大家熟悉的三角不等式； 當 $p\lt 1$, 三角形的兩個短邊和會小於最長邊, 暫時稱作「逆三角不等式」, 由於逆三角不等式違反一般人的認知, 因此底下稍作解釋。

參考圖1, 考慮範數 $p=2\gt 1$, $L_2(\overline{AB})=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $L_2(\overline{BC})=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt 5$, $L_2(\overline{CA})=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt {10}$, 可以看到 $L_2(\overline{BC})+L_2(\overline{CA})=\sqrt 5+\sqrt{10}\approx 5.3983\gt 5=L_2(\overline{AB})$, 也就是說三角不等式成立。 如果考慮範數 $p=-1\lt 1$,

$$L_{-1}(\overline{AB})=\dfrac{1}{\dfrac 13+\dfrac 14}=\dfrac{12}{7},\ L_{-1}(\overline{BC})=\dfrac{1}{\dfrac 12+\dfrac 11}=\dfrac{2}{3},\ L_{-1}(\overline{CA})=\dfrac{1}{\dfrac 11+\dfrac 13}=\dfrac{3}{4},$$

可以看到 $L_{-1}(\overline{BC})+L_{-1}(\overline{CA})=\dfrac 23+\dfrac 34 =\dfrac{17}{12}\lt \dfrac {12}7=L_{-1}(\overline{AB})$, 也就是說三角形的兩個短邊和會小於最長邊, 即逆三角不等式成立。 有興趣的讀者也可以試試, 當點 $C$ 落在 $\overline{AB}$ 上, 此時對任意非零實數 $p$, $L_{p}(\overline{BC})+L_{p}(\overline{CA})=L_{p}(\overline{AB})$ 皆成立。

最後要介紹的是「蕎麥不等式」, 英文名稱稱作"Lin-Phoong inequality"#, 中文戲稱為蕎麥不等式。 此不等式的敘述如下:

考慮任意正實數矩陣 $A=\left[ \begin{array}{ccccc} a_{11}&&\cdots&&a_{1N}\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ a_{M1}&&\cdots&&a_{MN} \end{array} \right]$, $p,q$ 為任意實數, 定義 $p$ 次冪平均： $$M_p(a_1,\ldots,a_n)=M_p(\{a_i\}_{i=1}^n)=\Big(\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^na_i^p\Big)^{\frac 1p},$$ 如果 $p\geq q$, 則下列不等式成立 \begin{align} M_q\Big(\big\{M_p(\{a_{ij}\}_{j=1}^N)\big\}_{i=1}^M\Big)\ge M_p\Big(\big\{M_q(\{a_{ij}\}_{i=1}^M)\big\}_{j=1}^N\Big); \label{9} \end{align} 等式成立的條件是矩陣 $A$ 的秩 rank$(A)=1$。

注意到蕎麥不等式兩邊同時做縮放的運算不會影響不等式的結果, 因此實際使用時我們是以廣義範數運算取代冪平均運算。

由於前面五個題目的第二題是屬於高中數學課綱的內容, 對高中生而言會解第二題的同學不少, 一般的解法會利用幾何繪圖結合三角不等式, 即可求證。 由於第二題是大家熟悉的, 所以我們從第二題開始詳細說明。

已知 $0\lt x\le 6$ 及, $0\lt y\le 4$, 證明下列不等式成立：

$$\sqrt{x^2-12x+37}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-8y+32}\ge 5\sqrt 5$$

(2)

\eqref{2} 式可以配方整理得到

\begin{align} \sqrt{(6-x)^2+1}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{4^2+(4-y)^2}\ge 5\sqrt 5.\label{10} \end{align}

參考圖 2, 第二題等同於在問已知點 $A(6,1)$ 及點 $D(4,4)$, 在 $x$ 軸找一點 $B$, 在 $y$ 軸找一點 $C$, 求證歐幾里得長度和 $S_2=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}\ge 5\sqrt 5$。 一般的做法是製造 $A(6,1)$ 對 $x$ 軸的對稱點 $A'(6,-1)$ 及製造 $D(4,4)$ 對 $y$ 軸的對稱點 $D'(-4,4)$, 連接 $\overline{A'D'}$ 交 $x$軸於 $B'$, 交 $y$ 軸於 $C'$, 知

\begin{align} \overline{A'D'}=\,&\overline{A'B'}+\overline{B'C'}+\overline{C'D'}=\overline{AB'}+\overline{B'C'}+\overline{C'D} = \sqrt 5+\sqrt{20}+\sqrt{20}=5\sqrt 5.\label{11} \end{align}

這即是長度和 $S_2=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$ 的最小值, 根據三角不等式, 當點 $B$ 不在 $(4,0)$ 或點 $C$ 不在 $(0,2)$, $S_2=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$ 一定大於 $\overline{A'D'}$, 因此不等式得證。

由圖 2 也可以理解為什麼我們把這一類的題目稱作「撞球不等式」了, 當白球從點 $A(6,1)$ 出發, 撞擊點 $B(4,0)$ 反彈至點 $C(0,2)$ 再反彈, 正好擊中位於點 $D(4,4)$ 的紅球, 此時恰為最小路徑長。 底下我們以蕎麥不等式的標準解法再重作一次, 問題 (2) 解法如下：

問題(2)解法： 構造一個 $3\times 2$ 的矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc} 6-x&1\\ x&y\\ 4&4-y\end{array} \right]$, 設定 $p=2\gt 1=q$, 根據蕎麥不等式 (或閔可夫斯基不等式) # 知

\begin{align} \sqrt{(6\!-\!x)^2\!+\!1}\!+\!\sqrt{x^2\!+\!y^2}\!+\!\sqrt{4^2\!+\!(4\!-\!y)^2}\ge \sqrt{(6\!-\!x\!+\!x\!+\!4)^2\!+\!(1\!+\!y\!+\!4\!-\!y)^2}= 5\sqrt 5.\label{12} \end{align}

重新整理得

$$\sqrt{x^2-12x+37}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-8y+32}\ge 5\sqrt 5$$

(2)

等式成立時

$$\dfrac{6-x}{1}=\dfrac xy=\dfrac 4{4-y},$$

因此

$$\dfrac 6{1+y}=\dfrac 4{4-y},$$

交叉相乘知 $24-6y=4+4y$, 解得 $y=2$, 再代回得到 $x=4$。 問題 (2) 不等式對應的等高線圖如圖 3, 從圖中可以清楚看到當 $(x,y)=(4,2)$ 時不等式的等式成立。 問題 (2) 不等式對應的曲面圖如圖 4, 由於 $p=2\gt 1$, 因此這一類的不等式會有最小值, 這題的最小值是 $5\sqrt 5\approx 11.1803$。

《論語・述而》篇提到「舉一隅不以三隅反, 則不復也」。 本文則藉由蕎麥不等式來舉一反四, 所以在文章開頭提出了五個不等式, 第二題一般高中生皆可解, 接著我們來看第一題：

已知 $0\lt x\le 6$ 及, $0\lt y\le 4$, 證明下列不等式成立：

$${\root 3\of {-x^3+18x^2-108x+217}}+{\root 3\of {x^3+y^3}}+{\root 3\of {-y^3+12y^2-48y+128}}\ge 5{\root 3\of {9}}.$$

(1)

\eqref{1} 式可以配方整理得到

\begin{align} {\root 3\of {(6-x)^3+1}}+{\root 3\of {x^3\!+\!y^3}}+{\root 3\of {4^3+(4-y)^3}}\ge 5{\root 3\of {9}}. \label{13} \end{align}

第一題明顯是 $p=3\gt 1$ 的題型, 等同於在問已知點 $A(6,1)$ 及點 $D(4,4)$, 在 $x$ 軸找一點 $B$, 在 $y$ 軸找一點 $C$, 求證三段 $L_3$ 長度總和 $S_3=L_3(\overline{AB})+L_3(\overline{BC})+L_3(\overline{CD})\ge 5{\root 3\of {9}}$。

問題(1)解法： 構造一個 $3\times 2$ 的矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc} 6-x&1\\ x&y\\ 4&4-y\end{array} \right]$, 設定 $p=3\gt q=1$, 根據蕎麥不等式 (或廣義閔可夫斯基不等式) # 知

\begin{align} {\root 3\of {(6\!-\!x)^3\!+\!1}}\!+\!{\root 3\of {x^3\!+\!y^3}}\!+\!{\root 3\of {4^3\!+\!(4\!-\!y)^3}} \ge {\root 3\of {(6\!-\!x\!+\!x\!+\!4)^3\!+\!(1\!+\!y\!+\!4\!-\!y)^3}} = 5{\root 3\of {9}}.\label{14} \end{align}

重新整理得

$${\root 3\of {-x^3+18x^2-108x+217}}+{\root 3\of {x^3+y^3}}+{\root 3\of {-y^3+12y^2-48y+128}}\ge 5{\root 3\of {9}}.$$

(1)

由於矩陣與問題 (2) 的型態相同, 因此等式成立時 $(x,y)=(4,2)$。

問題 (1) 與問題 (2) 的 $p$ 值都大於 1, 符合三角不等式, 所以會有最小值。 問題 (3) 至問題 (5) 的 $p$ 值都小於 1, 符合逆三角不等式, 所以會有最大值。

第三題是 $p=\dfrac 12\lt 1$ 的題型, 等同於在問已知點 $A(6,1)$ 及點 $D(4,4)$, 在 $x$ 軸找一點 $B$, 在 $y$ 軸找一點 $C$, 求證三段 $L_{1/2}$ 長度總和 $S_{1/2}=L_{1/2}(\overline{AB})+L_{1/2}(\overline{BC})+L_{1/2}(\overline{CD})\le 15+10\sqrt{2}$。 問題 (3) 敘述如下：

已知 $0\lt x\le 6$ 及, $0\lt y\le 4$, 證明下列不等式成立：

$$(\sqrt{6-x}+1)^2+(\sqrt x+\sqrt y)^2+(2+\sqrt{4-y})^2\le 15+10\sqrt 2.$$

(3)

問題 (3) 解法： 構造一個 $3\times 2$ 的矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc} 6-x&1\\ x&y\\ 4&4-y\end{array} \right]$, 設定 $p=\dfrac 12\lt q=1$ , 根據蕎麥不等式 (或廣義閔可夫斯基不等式) # 知

\begin{align} (\sqrt{6\!-\!x}\!+\!1)^2\!+\!(\sqrt x\!+\!\sqrt y)^2\!+\!(\sqrt 4\!+\!\sqrt{4\!-\!y})^2\le\,& (\sqrt{6\!-\!x\!+\!x\!+\!4}\!+\!\sqrt{1\!+\!y\!+\!4\!-\!y})^2 =(\sqrt{10}+\sqrt 5)^2= 15+10\sqrt 2.\label{15} \end{align}

重新整理得

$$(\sqrt{6-x}+1)^2+(\sqrt x+\sqrt y)^2+(2+\sqrt{4-y})^2\le 15+10\sqrt 2.$$

(3)

由於矩陣與問題 (2) 的型態相同, 因此等式成立時 $(x,y)=(4,2)$。

問題 (3) 不等式對應的等高線圖如圖 5, 從圖中可以清楚看到當 $(x,y)=(4,2)$ 時不等式的等式成立。 問題 (3) 不等式對應的曲面圖如圖 6, 由於 $p=\dfrac 12\lt 1$, 因此這一類的不等式會有最大值, 這題的最大值是 $15+10\sqrt 2=29.1421$。

第四題是 $p=0\lt 1$ 的題型, 等同於在問已知點 $A(6,1)$ 及點 $D(4,4)$, 在 $x$ 軸找一點 $B$, 在 $y$ 軸找一點 $C$, 求證三段 $L_0$ 長度總和 $S_0=L_0(\overline{AB})+L_0(\overline{BC})+L_0(\overline{CD})\leq 5\sqrt 2$。 問題 (4) 敘述如下：

已知 $0\lt x\le 6$ 及, $0\lt y\le 4$, 證明下列不等式成立：

$$\sqrt{6-x}+\sqrt{xy}+2\cdot \sqrt{4-y} \le 5\sqrt 2.$$

(4)

問題(4)解法： 構造一個 $3\times 2$ 的矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc} 6-x&1\\ x&y\\ 4&4-y\end{array} \right]$, 設定 $p=0\lt q=1$, 根據蕎麥不等式 (或柯西不等式) # 知

\begin{align} \sqrt{(6\!-\!x)\times 1}\!+\!\sqrt{xy}\!+\!\sqrt{4(4\!-\!y)}\le \sqrt{(6\!-\!x\!+\!x\!+\!4)\!\times\!(1\!+\!y\!+\!4\!-\!y)}=5\sqrt 2.\label{16} \end{align}

重新整理得

$$\sqrt{6-x}+\sqrt{xy}+2\cdot \sqrt{4-y} \le 5\sqrt 2.$$

(4)

由於矩陣與問題 (2) 的型態相同, 因此等式成立時 $(x,y)=(4,2)$。

第五題是 $p=-1\lt 1$ 的題型, 等同於在問已知點 $A(6,1)$ 及點 $D(4,4)$, 在 $x$ 軸找一點 $B$, 在 $y$ 軸找一點 $C$, 求證三段 $L_{-1}$ 長度總和 $S_{-1}=L_{-1}(\overline{AB})+L_{-1}(\overline{BC})+L_{-1}(\overline{CD})\le \dfrac{10}3$。 問題 (5) 敘述如下：

已知 $0\lt x\le 6$ 及, $0\lt y\le 4$, 證明下列不等式成立：

$$\frac{6-x}{7-x}+\frac{xy}{x+y}+\frac{16-4y}{8-y}\le\frac{10}{3}.$$

(5)

問題(5)解法： 構造一個 $3\times 2$ 的矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc} 6-x&1\\ x&y\\ 4&4-y\end{array} \right]$, 設定 $p=-1\lt q=1$, 根據蕎麥不等式 (或電阻不等式) ## 知

\begin{align} \dfrac 1{\dfrac 1{6-x}+1}+\dfrac 1{\dfrac 1{x}+\dfrac 1{y}}+\dfrac 1{\dfrac 14+\dfrac 1{4-y}}\le\dfrac{1}{\dfrac 1{6-x+x+4}+\dfrac 1{1+y+4-y}}=\dfrac{10}3. \label{17} \end{align}

重新整理得

$$\frac{6-x}{7-x}+\frac{xy}{x+y}+\frac{16-4y}{8-y}\le\frac{10}{3}.$$

(5)

由於矩陣與問題 (2) 的型態相同, 因此等式成立時 $(x,y)=(4,2)$。

兩年前為了推廣蕎麥不等式, 接受臉書(Facebook)朋友的建議, 加入兩個國外的臉書群組, 其中一個是 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE RMM, 一年下來張貼了超過 100 個全新的不等式題目及解答。 延續前文提到的五個題目, 底下再列出三道題目給有興趣的讀者挑戰, 解答可以參考臉書群組 RMM 中林峰海的貼文, 「林峰海」是作者在臉書採用的別名。 題目敘述如下：

已知 $0\lt x\le 6$ 及, $0\lt y\le 4$, 證明以下三個不等式成立：

\begin{align} \sqrt{6-x}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{8-2y}\le\,& 4+3\sqrt 2,\label{18}\\ {\root 3\of{6-x}}+{\root 3\of{2xy}}+2\cdot{\root 3\of{4-y}} \le\,& 5\cdot {\root 3\of{2}},\label{19}\\ \sqrt{\dfrac{6-x}{7-x}}+\sqrt{\dfrac{2xy}{x+y}}+2\sqrt{\dfrac{8-2y}{8-y}}\le\,& 5\cdot \ \sqrt {\dfrac 23}.\label{20} \end{align}

當 $(x,y)=(4,2)$ 時三個不等式的等式成立。

這三個題目都是延續「撞球不等式」的做法加以延伸, 困難度也提高了一些。 為了檢查不等式的正確性, 每一題都會套入寫好的程式做驗證, 圖 7$\sim$9 分別是上面三題的等高線圖, 最大值皆驗證無誤。

最後做個結論, 本文試著介紹「撞球不等式」給更多人知道, 透過蕎麥不等式的一些參數設定可以得到各種變形的不等式。 若讀者們想要創造新的題目, 只要設定點 $A$ 與點 $D$ 的座標, 結合蕎麥不等式之參數設定, 例如 $p=-1$, $q=1$, 再加上一些變數的限制, 例如 $0\lt x\le 6$ 及, $0\lt y\le 4$, 就可以產生一個屬於你的不等式題目, 因此希望藉著這篇文章來推廣「撞球不等式」。

參考資料

本文作者任教南台科技大學電子工程學系