| 發刊日期 |
2026年9月
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| 標題 | 線性變換及不動點視角下的《易經》之「像」與「理」 |
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摘要: 受現代西方學者運用現代數學知識對《易經》進行數理研究的啟發, 本文試圖從現代數學線性變換與不動點視角討論八卦、 六十四卦相應線性變換的不動點問題以及六十四卦分宮卦象次序圖、 京房十六卦變相應的線性變換矩陣。 研究發現 : 八卦中乾、 坤、 離、 坎四卦及六十四卦中乾、 坤、 離、 坎、 大過、 小過、 中孚、 頤八卦分別為其綜卦對應的線性變換的不動點; 除此, 乾、 坤兩卦還是交互卦對應的線性變換的不動點。 由此可詮釋「天」與「地」在中國文化中的重要意義。 再者本文運用初等矩陣及其乘積刻畫了六十四卦分宮卦象次序圖、 京房十六卦變的「卦變」過程。 最末, 本文從科學道理的角度解釋了源於易經的多個辭彙, 如「八卦」、 「變卦」、 「交互」、 「錯綜複雜」、 「象 (卦)限」、 「不三不四」、 「亂七八糟」、 「否極泰來」、 「無妄之災」、 「九五之尊」等。 關鍵字: 易經、 線性變換、 不動點、 Givens 矩陣。 1.《易經》簡介
「太極為一, 天地為二, 天之陰陽與地之剛柔合而為四; 四分為八則為日月星辰水火土石;
天之日月星辰又生寒暑晝夜, 地之水火土石又生風雨露雷; 寒暑晝夜變化萬物性情形體, 風雨露雷化育走飛草木, 從而生萬物之類。」
這段出自北宋哲學家、 易學大師邵雍 (1011$\sim$1077) 依據《易經》解釋天地萬物的話著實令人歎為觀止 :
天之道、 物之理僅用一段話便道盡, 即使作為現代人的我們都不得不稱奇, 可見《易經》為上古三大奇書之一不假。
《易經》, 簡稱《易》 (英譯名為 Book of Changes 或 I Ching
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此為威妥瑪注音音譯。
) 最初雖以占筮書 (divination) 的身份面世, 但卻是一部凝結中國祖先睿智卓識的哲學著作, 更被譽為
「經典中之經典, 哲學中之哲學, 智慧中之智慧」
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此亦可由清華大學校訓 「自強不息, 厚德載物」(語出《周易 $\cdot$ 象傳》) 窺見一斑。
。 作為中國民族思想與文化的發軔與源頭, 《易經》是道學 (Daoism)的基礎也對儒學 (Confucianism)產生了深刻影響。
如「觀乎天文, 以察時變」、 「天垂象, 見吉凶」均說明「自然 」 (Nature) 與人類生活密切相關, 因此道家崇尚自然、 提倡
「道法自然」的哲學思想。
「 I Ching is both an early expression of such a spiritual mindset where nature is sacred,
and a proto-scientific view based on keen and prolonged observation of nature. It reflects early
human attempts to understand the natural world and predict favorable times to conduct practices
instrumental to human survival.」 易學家通常將「易」字解為「三易」 3 3 「三易」 的另種版本指三種易經, 分別是《周易》、 《連山易》、 《歸藏易》, 其中以司馬遷在《報任安書》 中提及的 「文王拘而演《周易》」 中的《周易》最廣為人知。 : 一曰變易; 二曰簡易; 三曰不易 (指不變化)。 所謂「變易」是指萬事萬物每時每刻都在發生變化 ⸺ 離開變化, 萬物就無法存在, 換言之「變」是事物本質屬性; 「簡易」是指無論事物多複雜深奧, 人類的智慧都可以將其轉換成易於理解與解決的問題, 正所謂「大道至簡」; 「不易」是指在萬物皆變的前提下, 依然存在不變的東西 ⸺ 萬物變化所依據的根本規律是不變的。 內中「變易」為《易經》的本質 ⸺ 「八卦成列, 象在其中矣; 因而重之, 爻在其中矣; 剛柔相推, 變在其中矣; 繫辭焉而命之, 動在其中矣」, 故不難理解其英譯名為 Book of Changes。
《易經》不僅對中國民族文化產生深刻影響, 也對東亞乃至歐美國家、 地區的社會及文化圈產生很大影響。
歷史上, 朝鮮人除將易經視作「神諭」還將其作為自我認知的指導書; 而在近代則直接將太極圖及乾、 坤、 離、 坎四卦畫在國旗 (即韓國國旗)上。
我們將於後文從數學上說明為何朝鮮人只在八卦中取「乾、 坤、 離、 坎」四卦置於國旗上。
此外日韓學者近些年對易經的研究也可見一斑
易經作為「東學」, 在明朝晚期由德國耶穌會傳教士漸入西方並被德國數學家 Leibniz (萊布尼茨 : 1646$\sim$1716)用於二進位 (陰-陽) 編碼
《易經》不僅是秦始皇「焚書」事件的倖存者, 還被尊為五經之首, 歸為「數術」。
所謂數術, 《內經翼注》解為「算氣候之法, 調於四時也」 
通常, 因《易經》廣為人知的占卜或「算命」功能而使多數人將其視作迷信, 然而《易經》作為一部詳細闡述「變化」及其規律的哲學著作卻隱藏科學道理
「...I Ching is a body of intended mathematical ideas and logical integrity.」
受現代西方學者運用現代數學知識對《易經》進行數理研究的啟發 (雖然漢唐以後易經已分化出從數理角度研究易經的象數派, 但尚未形成
「科學數學」
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此處「科學數學」特指現在的數學科學, 為與「易經數學」相區別, 故用「科學數學」之名。
。), 本文試圖從現代數學中線性變換與不動點視角討論八卦、
六十四卦相應線性變換的不動點問題以及六十四卦分宮卦象次序圖 (後文簡稱「分宮卦象次序圖」)、
京房十六卦變的線性變換矩陣。
我們希望藉由此文實現三個目的 : 一是從現代科學數學 (線性變換) 角度闡釋
八卦、 六十四卦卦象「變卦」的科學道理;
二是改觀國內外普通民眾對易經的刻板印象, 多數人將《易經》視作算命、 占卜之類的實用工具而忽略了其文化及哲學價值。
事實上, 如Paracka 所言 「The I Ching (易經), or Book of change(s)... provides an important access point
and interpretive guide for developing deep appreciation of enduring cultural values amidst ongoing change, and
thus may serve as a key factor in responding to an uncertain future in more peaceful and sustainable way.」 本文具體結構如下 : 第二節將介紹爻、 卦、 伏羲八卦、 文王八卦方位圖等基礎知識。 第三節將討論八卦、 六十四卦卦象綜卦相應的線性變換與不動點問題。 第四、 五節將分別討論分宮卦象次序圖與京房十六卦卦變的線性變換矩陣 (即「卦變」原理)。 第六節將解釋部分源自易經的日常用語。 第七部分總結本文內容。 2. 易經之基礎知識本節我們主要介紹爻、 卦等易經之基礎知識。 基於對自然的長期觀察, 古人採用一套符號系統表徵天 (Heaven)、 地 (Earth)、 日/火 (Fire)、 月/水 (Water)、 山 (Mountain)、 澤 (Lake)、 風 (Wind)、雷 (Thunder) 八種自然事物及其變化規律並將該符號系統延伸至人事推測上, 這種特殊的符號稱為「卦」。 所謂「卦者掛也」, 此表明宇宙的現象全掛在那裡了。 例如天、 地、 日/火、 月/水、 山、 澤、 風、 雷八種自然現象均掛在自然界了。 「卦」以「爻」為基本組成單位, 而「爻」又分「陰、 陽」兩類 7 7 陰、陽二爻體現了現實世界中二元論的哲學思想。 中國陰陽家將自然界人與物以陰陽分類 : 人中男為陽、 女為陰; 數字中奇數為陽、 偶數為陰; 食材中熱性為陽、 寒性為陰; 自然中天為陽、 地為陰、 火為陽、 水為陰等; 地理上「山南水北為陽, 山北水南為陰」, 如瀋陽、 漢陽、 洛陽、 汝陽、 貴陽、 南陽、 衡陽、 咸陽、 綿陽、 襄陽等城市或北依河流或南枕山; 江陰、 淮陰、 山陰、 華陰等城市或在水南或居山北, 並以此指導人類生活及活動。 ,分別用符號 「⚊」及「⚋」表徵。 每一卦由三爻組成, 如此產生 $2^3=8$ 種卦 : ☰、☷、☲、☵、☳、☴、☶、☱, 分別命名為「乾、 坤、 離、 坎、 震、 巽 (xùn)、 艮 (gèn)、 兌」以象徵八種自然事物, 其中乾卦表徵天, 坤卦表徵地, 離卦表徵太陽也指火, 坎卦表徵月亮也指水, 震卦表徵雷, 巽卦表徵風, 艮卦表徵高山、 陸地, 兌卦表徵海洋、 河流。 八卦又分先天八卦 (亦稱伏羲八卦) 與後天八卦 (即文王八卦), 見下圖 2 及圖 3。   由此可見, 八卦中蘊含一種重要的數學思想 ⸺ 歸納法、 一種重要的數學思維 ⸺ 抽象思維以及一種重要的方法 ⸺ 以簡馭繁 : 宇宙的自然現象如此紛繁複雜, 卻被中國先民最終歸結為天、 地、 日/火、 月/水、 雷、 風、 山、 澤八種並抽象、 簡化為八種符號。 事實上, 依據這套易學象徵體系, 宇宙現象萬千卻無出於此八種之外者。 這樣的智慧, 今日的我們也拍手稱奇。 八卦中的三爻 (自下而上讀取)分別稱為「初爻、 爻二、 爻三」。 將八卦以上、 下位次兩兩相互組合而生$8^2=64$ 卦, 用以表徵各種自然現象與人事現象, 其中上卦又稱外卦、 下卦又稱內卦。 六十四卦中每卦均由六爻組成, 分別稱為「初爻、 爻二、 爻三、 爻四、 爻五、 上爻」, 用於表徵事物發展的六個階段。 六爻又兩兩一組, 初爻、 爻二指代地, 爻三、 爻四指代人, 爻五、 上爻指代天, 表徵天、 地、 人三才。 而乾卦的六爻均為陽爻分別稱為「初九、 九二、 九三、 九四、 九五、 上九」, 坤卦的六爻均為陰爻分別稱為「初六、 六二、 六三、 六四、 六五、 上六」。 每卦 (稱本卦)又可依據一定規律生「錯、 綜、 交、 互、 交互」五卦 (詳見後文), 而衍生的錯、 綜、 交、 互、 交互卦又有各自的錯卦、 綜卦、 交卦、 互卦、 交互卦, 從而六十四卦可用於描述大千世界錯綜複雜的人與事。 3. 八卦及六十四卦的線性變換與不動點問題
線性變換是線性代數的核心概念之一, 蘊含豐富內容。
例如平面圖形的平移、 坐標軸的旋轉等均為線性變換。
刻畫「線性變換」的數學工具是「矩陣」, 二者一一對應。
而所謂的不動點是指給定集合 $C$ 及定義在其上的映射稱滿足 $f (\rm x^*)=\rm x^*$ 的點 $\rm x^*$ 為映射 $f$ 的不動點。
不動點問題在實際中有廣泛應用, 例如實數域上方程求根問題可轉化為不動點問題; 微分方程的初值問題也可以轉化為積分方程的不動點問題 3.1. 八卦的線性變換與不動點問題若記八卦為一集合$C=\{$乾、 坤、 離、 坎、 震、 巽、 艮、 兌$\}$, 為簡潔起見, 我們用 $0$ 表示陰爻「⚋」; $1$ 表示陽爻「⚊」。 記本卦為三維列向量 $\rm x= (x_3,x_2,x_1)^{\top}$ (即原像), 其中符號 $\top$ 意為向量轉置, $x_1,x_2,x_3$ 分別對應初爻、 爻二、 爻三。 於是 $x_{i}\in \{0,1\}\; (i=1,2,3),$ 且經 $0,1$ 「編碼」後, $$C\!=\!\{ (1,1,1)^{\top}, (0,0,0)^{\top}, (1,0,1)^{\top}, (0,1,0)^{\top}, (0,0,1)^{\top}, (1,1,0)^{\top}, (1,0,0)^{\top}, (0,1,1)^{\top}\}\hbox{。}$$記線性變換後得到的卦為列向量 $\rm y$ (即像), 並記欲施行的線性變換所對應的矩陣為 $T_1=\begin{pmatrix}~0~&~0~&~1~\\[-2pt] ~0~&~1~&~0~\\[-2pt] ~1~&~0~&~0~\end{pmatrix}\hbox{。}$ 於是 $T_1:C\rightarrow C$ 表示離散集合 $C$ 上自身到自身的映射。 依據線性代數知識知 $\rm y=T_1 (\rm x)$ 表示在卦 $\rm x$ 中交換初爻與爻三位置而換得到與卦 $\rm x$ 呈現「鏡像」(mirror image) 對稱的卦 $\rm y$ $= (x_1,x_2,x_3)^{\top}$。 我們的問題是 : I. 求解滿足 $T_{1} (\rm x)=\rm x$ 的卦 解 : 求解 $T_{1} (\rm x)=\rm x$ 等價於求解線性方程組 $ (T_{1}-I)\rm x=0,$ 此處 $I$ 為三階單位陣, 即有 \begin{align*} &\begin{pmatrix}~-1~&~0~&~1~\\[-2pt] 0&0&0\\[-2pt] 1&0&~-1~\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_3\\[-2pt] x_2\\[-2pt] x_1\end{pmatrix} =0\hbox{。}\\ {\hbox{從而有}} &\begin{cases} x_1=x_3,\\[-4pt] x_2\;\mbox{為自由未知量。} \end{cases} \end{align*}於是我們得到四個解 : $\rm x_{1}= (1,1,1)^{\top},\rm x_{2}= (0,0,0)^{\top},\rm x_{3}= (1,0,1)^{\top},\rm x_{4}= (0,1,0)^{\top},$ 亦即 ☰、☷、☲、☵, 分別對應乾、 坤、 離、 坎四卦。 另外在 $T_1$ 下, $T_1 ( (0,0,1)^{\top})= (1,0,0)^{\top},$ $T_1 ( (1,1,0)^{\top})= (0,1,1)^{\top},$ $T_1 ( (1,0,0)^{\top})= (0,0,1)^{\top},$ $T_1 ( (0,1,1)^{\top})= (1,1,0)^{\top}$。 為更清晰地看到像與原像的關係, 我們給出如下對應關係表 1。  我們看到在線性變換 $T_1$ 下存在「乾 ⸺ 乾、 坤 ⸺ 坤、 離 ⸺ 離、 坎 ⸺ 坎、 震 ⸺ 艮、 巽 ⸺ 兌」的對應關係, 其中乾、 坤、 離、 坎四卦在線性變換 $T_1$ 下保持不變。 結合這四卦的卦象及其對應的自然事物可知無論時空如何變換, 天、 地、 日、 月四者絕對不變 : 天依然是天、 地依然是地、 日月依舊。 這也從側面部分解釋了為何韓國只取八卦中的「乾、 坤、 離、 坎」四卦畫在國旗上。 另一方面, $T_1 (\mbox{震})\!=\!\mbox{艮}$, $T_1 (\mbox{兌})\!=\!\mbox{巽}$ 說明震與艮、 巽與兌四卦可以相互轉化, 即雷與山、 風與澤可以相互轉化, 如詩句「山雨欲來風滿樓」 8 8 語出 《咸陽城東樓》 (唐$\cdot$許渾) : 「一上高城萬裡愁, 蒹葭楊柳似汀洲。 溪雲初起日沉閣, 山雨欲來風滿樓。 鳥下綠蕪秦苑夕, 蟬鳴黃葉漢宮秋。 行人莫問當年事, 故國東來渭水流」。 所示, 故此四卦是相對的。因此八卦體現了絕對與相對的對立統一。 3.2. 六十四卦的線性變換與不動點問題類似地, 若記六十四卦為一集合$\tilde{C}=\{$乾、 坤、 屯、 蒙、 需、 訟、 師、 比、 小畜、 履、 泰、 否、 同人、 大有、 謙、 豫、 隨、 蠱、 臨、 觀、 噬嗑、 賁、 剝、 復、 無妄、 大畜、 頤、 大過、 坎、 離、 咸、 恒、 遁、 大壯、 晉、 明夷、 家人、 睽、 蹇、 解、 損、 益、 夬、 姤、 萃、 升、 困、 井、 革、 鼎、 震、 艮、 漸、 歸妹、 豐、 旅、 巽、 兌、 渙、 節、 中孚、 小過、 既濟、 未濟$\}$。 記每卦為向量 $\rm x$ $= (x_6,x_5,x_4,x_3,x_2,x_1)^{\top}$, 其中 $x_1,x_2,x_3$ 為內卦, 分別對應初爻、 爻二、 爻三; $x_4,x_5,x_6$為外卦, 分別對應爻四、 爻五、 上爻, 施行線性變換後得到的卦為 $\rm y$, 並記此時線性變換所對應的矩陣為 $$T_2=\begin{pmatrix}~0~&~0~&~0~&~0~&~0~&~1~\\0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0&0 \\0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\hbox{。}$$我們的問題是 : II. 在映射 $T_2:\tilde{C}\rightarrow \tilde{C}$ 下求解滿足 $T_{2} (\rm x)=\rm x$ 的卦 解 : 求解 $T_{2} (\rm x)=\rm x$ 等價於求解線性方程組 $ (T_{2}-I)\rm x=0,$ 此處 $I$ 為六階單位陣, 即有 $$\begin{pmatrix} ~-1~&0&0&0&0&1\\ 0&~-1~&0&0&1&0\\ 0&0&~-1~&1&0&0\\ 0&0&1&~-1~&0&0\\ 0&1&0&0&~-1~&0\\ 1&0&0&0&0&~-1~ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_6\\x_5\\x_4\\x_3\\x_2\\x_1\end{pmatrix} =0\hbox{。}$$從而有 \begin{gather*} \begin{cases} x_1=x_6,\\[-5pt] x_2=x_5,\\[-5pt] x_3=x_4, \end{cases} \mbox{其中}\;x_4,x_5,x_6\;\mbox{為自由未知量。} \end{gather*}於是我們得到八個解 : $$\rm x_{1}\!=\!\!\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}\!\!, \rm x_{2}\!=\!\!\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!\!, \rm x_{3}\!=\!\!\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\!\!, \rm x_{4}\!=\!\!\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}\!\!, \rm x_{5}\!=\!\!\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\!\!, \rm x_{6}\!=\!\!\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}\!\!, \rm x_{7}\!=\!\!\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}\!\!, \rm x_{8}\!=\!\!\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\1\\1 \end{pmatrix}\!\!, $$亦即 ䷀、䷁、䷝、䷜、䷛、䷽、䷚、䷼, 分別對應乾、 坤、 離、 坎、 大過、 小過、 頤、 中孚八卦。 換言之, 在線性變換 $T_2$ 下, 乾、 坤、 離、 坎、 大過、 小過、 頤、 中孚八卦保持絕對不變, 剩餘五十六卦則是相對的, 讀者可仿照八卦情形驗證, 因數量過大, 我們在此略過。 3.3. 再回顧我們留意到線性變換 $T_{1}^2=I_{3},T_{2}^2=I_{6}$, 亦即 $T_{i}^{-1}=T_i\; (i=1,2)$, 又因為 $T_{i}^{\top}= T_{i}\; (i=1,2),$ 所以 $T_{i}\; (i = 1, 2)$ 為正交矩陣。 因 Givens 旋轉變換能得到正交矩陣, 故我們接著採用 空間繞坐標軸旋轉矩陣繼續討論八卦、 六十四卦的線性變換問題。 我們留意到八卦卦象中, 若將每卦以爻一為軸順時針旋轉$180$度, 也能得到上文的結果。 為此不妨記三維空間 $\mathbb{R}^3$ 中列向量繞爻一 (即分量 $x_1$) 順時針旋轉 $180$ 度的線性變換為 $$R_{1}=\begin{pmatrix}\cos\pi&\sin\pi&~0~\\ -\sin\pi&\cos\pi&0\\0&0&1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&~0~\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\hbox{。}$$記卦 $\rm x$ $= (x_3,x_2,x_1)^{\top}$ 為原像, $\rm y$ 為像, 則 $$\rm y=R_{1}\rm x=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&~1~\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_3\\x_2\\x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_3\\-x_2\\x_1\end{pmatrix},$$其中 $-$ 號表示該座標位於旋轉軸下方, 故在以爻一為軸順時針旋轉 $180$ 度的前提下, 卦 $(-x_3$, $-x_2,x_1)^{\top}$ 應理解為卦$ (x_1,x_2,x_3)^{\top}$。 顯然, 乾、 坤、 離、 坎四卦以第一爻為軸順時針旋轉 $180$ 度仍是自身; 震卦「☳」以第一爻為軸順時針旋轉 $180$ 度得到艮卦「☶」; 巽卦 「☴」 以第一爻為軸順時針旋轉 $180$ 度得到兌卦「☱」。 以不動點觀之, 則有 $R_1 (\mbox{乾})\!=\!\mbox{乾}$, $R_1 (\mbox{坤})\!=\!\mbox{坤}$, $R_1 (\mbox{離})\!=\!\mbox{離}$, $R_1 (\mbox{坎})\!=\!\mbox{坎}$。 而對於六十四卦而言, 因其由八卦交疊而成, 故此時六維列向量在三維空間繞軸旋轉可以由內卦、 外卦先後旋轉「複合」而成。 具體而言, 令 $R_{21}=\begin{pmatrix}R_1&0\\ 0&I_3\end{pmatrix}$、 $R_{22}=\begin{pmatrix} 0&R_1\\ I_3&0 \end{pmatrix}$ 分別表示內卦繞爻一、 外卦繞爻四順時針旋轉 $180$ 度的線性變換所對應的矩陣, 其中 $I_3$ 表示 $3$ 階單位陣, 則在六十四卦情形下欲施行的線性變換對應的矩陣為 \begin{align*} R_2\!=\!\!R_{22}R_{21}\!\!=\!\!\begin{pmatrix}0&R_1\\ R_1 & 0\end{pmatrix} \!\!\!=\!\!\!\begin{pmatrix}0&0&~0~&\cos\pi&\sin\pi&~0~\\0&0&0&-\!\sin\pi&\cos\pi&0 \\0&0&0&0&0&1\\ \cos\pi&\sin\pi&0&0&0&0\\-\!\sin\pi&\cos\pi&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\end{pmatrix} \!\!\!=\!\!\!\begin{pmatrix}0&0&~0~&-1&0&~0~\\ 0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\\ -1&0&0&0&0&0\\0&-1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\end{pmatrix}\!\!\hbox{。} \end{align*}若設本卦為 $\rm x$ $= (x_6,x_5,x_4,x_3,x_2,x_1)^{\top}$, 變化之後的卦為 $\rm y$, 則有 $\rm y=R_2\rm x$ $= (-x_3,-x_2, x_1,-x_6,-x_5,x_4 )^\top$。 依據$-$號表示內、 外卦相應座標位於旋轉軸 $x_1$ 與 $x_4$ 下方, 我們將 $\rm y$ $= \left (-x_3,-x_2,x_1,-x_6,-x_5,x_4\right)^{\top}$ 理解為 $\rm y$ $= \left (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\right)^\top$。 於是在線性變換 $R_2$ 下, 有$R_2 (\mbox{乾})\!=\!\mbox{乾}$, $R_2 (\mbox{坤})\!=\!\mbox{坤}$, $R_2 (\mbox{離})\!=\!\mbox{離}$, $R_2 (\mbox{坎})\!=\!\mbox{坎}$, $R_2 (\mbox{大過})\!=\!\mbox{大過}$, $R_2 (\mbox{小過})\!=\!\mbox{小過}$, $R_2 (\mbox{中孚})\!=\!\mbox{中孚}$, $R_2 (\mbox{頤})\!=\!\mbox{頤。}$ 註 : 為了從內外卦「重疊」的角度討論六十四卦的不動點問題, 我們採用了旋轉變換「複合」的方法。 事實上, 這裡還可以採用線性變換 $$R_{3}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0&~0~\\ 0&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\ \hbox{達到同樣目的。}$$本小節分別從軸對稱、 空間繞軸旋轉兩種線性變換角度討論了八卦及六十四卦在相應變換下的不動點問題。 事實上, 以易經觀之, 本節所討論的線性變換實為「綜卦」對應的線性變換, 所謂「綜卦」是指與本卦卦象呈鏡像映射關係的卦。 而不動點說明乾、 坤、 離、 坎、 大過、 小過、 中孚、 頤八卦的綜卦仍為自身, 其「易理」在於時空變換下的「絕對性」。 而其他卦的綜卦均不是自身, 其「易理」在於時空變換下的「相對性」 ⸺ 宇宙間的事物多是相對的, 故看待人與事猶如照鏡子, 既要從外面看, 還要從裡面看。 因此, 以線性變換觀之, 綜卦體現了時空變換下的「絕對性」與「相對性」對立統一。 4. 分宮卦象次序圖中六十四卦卦序變換
本節我們將從線性變換視角解讀分宮卦象次序圖 (即圖 4)。
具體而言, 我們將分別從橫向與縱向兩個維度分析分宮卦象次序圖中六十四卦卦序變換矩陣。
分宮卦象次序圖中橫向「卦變」總結為 「八純卦各主一宮, 自每宮初爻依次變至第五爻為一世至五世, 卦四反為遊魂,
卦三複為歸魂, 上爻宗廟不變」  現在我們從橫、 縱兩個維度深入探討圖 4 的「卦變」過程。 我們先從橫向看。 不同於第 3 節, 因此處涉及陰爻與陽爻本質改變, 故此節用 $-1$ 表示陰爻, $1$ 表示陽爻。 我們記分宮卦象次序圖中任一卦象為一六維列向量 $\rm x$$_{j,i}\!=\!(x_{j,i,6}$, $x_{j,i,5}$, $x_{j,i,4}$, $x_{j,i,3}$, $x_{j,i,2}$, $x_{j,i,1})^{\top}$ 於是 $x_{j,i,k}\in \{-1,1\}\; (j=1,\ldots,8\;,\;\;i=0,\ldots,7\;,\;\;k=1,\ldots,6)$。 再記六維列向量 $e_{i}$ 表示第 $i$ 個分量為 $1$、 其他分量全為 $0$, 並記 $$A_{0}= (e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6)= \begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&~0~\\ 0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix},$$為六階單位陣, 表示恒等變換, 即所有位置上的爻保持不變。 記 $\tilde{e}_{i}\; (i=1,2,\ldots,6)$ 為第 $i$ 個分量為$-1$、 其他分量全為 $0$ 的六維列向量。 此處 $-1$ 意為「卦變」過程中相應位置的爻變為相對的爻 : 如陰爻變陽爻、 陽爻變陰爻。記 \begin{align*} A_{1}=& (e_{1},e_2,e_3,e_4,e_5,\tilde{e}_{6})= \begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&~0~\\ 0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1 \end{pmatrix},\\ A_{2}=&(e_{1},e_2,e_3,e_4,\tilde{e}_{5},e_6)=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&~0~\\ 0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix},\\ %表示將初爻變為與其相反的爻。 A_{3}=&(e_{1},e_2,e_3,\tilde{e}_{4},e_5,e_6)=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&~0~\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix},\\ A_{4}=&(e_{1},e_2,\tilde{e}_{3},e_4,e_5,e_6)=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&~0~\\0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix},\\ A_{5}=&(e_{1},\tilde{e}_{2},e_3,e_4,e_5,e_6)=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&~0~\\ 0&-1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix}, \end{align*}分別表示分宮卦象次序圖中一、 二、 三、 四、 五世卦的變化矩陣, 即將初爻至爻五分別變為與之相反的爻。 再記 $$A_6= (e _1,e_2,e_3,\tilde{e}_{4},\tilde{e}_{5},\tilde{e}_{6}) =\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1 \end{pmatrix},$$表示將初爻至爻三在遊魂卦的基礎上變為本體爻。 若記每宮本體卦 (即八純卦)為向量 $\rm x_{j,0}$ $(j=1,2,\ldots,8)$, 向量 $\rm x$$_{j,i}\; (j=1,2,\ldots,8;i=1,\ldots,7)$ 表示第 $j$ 宮第 $i$ 世卦 (這裡視遊魂卦、 歸魂卦分別為第 $6$、 $7$ 世卦), 則分宮卦象次序圖中本體卦、 一、 二、 三、 四、 五世卦、 遊魂卦、 歸魂卦的「卦變」過程對應的矩陣順序為 \begin{equation}\label{tran-order1} A_0, A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_4,A_6\hbox{。} \end{equation}具體變換如下： 對於 $j=1,\ldots,8$, 我們有 \begin{equation}\label{tran-bagong} \begin{cases} \rm x_{j,0}=A_{0}\rm x_{j,0}\; (\mbox{本體卦});\\ \rm x_{j,i}=A_{i}\rm x_{j,i-1},\;i=1,\ldots,5\ (\mbox{一至五世卦});\\ \rm x_{j,6}=A_{4}\rm x_{j,5}\; (\mbox{遊魂卦});\\ \rm x_{j,7}=A_{6}\rm x_{j,6}\; (\mbox{歸魂卦})\hbox{。}\\ \end{cases} \end{equation}於是可以依據 \eqref{tran-bagong} 設計演算法並能利用電腦推演六十四卦分宮「卦變」的卦象次序圖。 為更清晰看清運用線性變換刻畫六十四卦分宮「卦變」的卦象次序圖, 我們以乾、 坤兩宮卦為例。 乾、 坤兩宮本體卦對應的向量分別為 $$\rm x_{1,0}%=(1,1,1,1,1,1)^{\top} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\; \rm x_{7,0}%= (-1,-1,-1,-1,-1,-1)^{\top} =\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\\-1\\-1\\-1\end{pmatrix}\hbox{。}$$依據 \eqref{tran-bagong}, 有 \begin{align*} \rm x_{1,1}=\,&A_{1}\rm x_{1,0}=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\-1\end{pmatrix},\\ %=\rm x_{12}.\\ \rm x_{7,1}=\,&A_{1}\rm x_{7,0}=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&~0~&~0~&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\\-1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}\hbox{。} \end{align*}解碼為陰爻、 陽爻後則為 : ䷀ ➔ ䷫，䷁ ➔ ䷗，分別表示乾、 坤兩宮一世卦： 天風姤與地雷復。 再如乾宮、 坤宮遊魂卦對應的向量分别為 $$\rm x_{1,6} %= (1,-1,1,-1,-1,-1)^{\top} =\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\\-1\\-1\end{pmatrix},\; \rm x_{7,6}%= (-1,1,-1,1,1,1)^{\top} =\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\\1\\1\end{pmatrix},$$則兩宮歸魂卦對應的向量分別為 $$\rm x_{1,7}=A_{6}\rm x_{1,6}=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix},$$ $$\rm x_{7,7}=A_{6}\rm x_{7,6}=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\-1\\-1\\-1\end{pmatrix}\hbox{。}$$解碼後則為 : ䷢ ➔ ䷍，䷄ ➔ ䷇，分別表示乾、 坤兩宮歸魂卦： 火天大有、 水地比。。 其他卦變類似, 我們在此不再贅述。 接著我們從縱向看六十四卦分宮「卦變」的卦象次序圖 4: 八宮呈兩兩「相錯」發展變化。 具體而言, 乾宮、 坤宮; 坎宮、 離宮; 艮宮、 兌宮; 震宮、 巽宮的卦變互為「錯卦」。 所謂「錯卦」, 又稱「對錯卦」, 指與本卦陰陽爻相對錯的卦。 例如乾宮遊魂卦為 ䷢, 其錯卦 ䷄ 是為坤宮遊魂卦, 二者卦象呈反向 (互逆)關係。 記「錯」卦的變換矩陣為 $$\tilde{A_0}= (\tilde{e}_{1},\tilde{e}_{2},\tilde{e}_{3},\tilde{e}_{4},\tilde{e}_{5},\tilde{e}_{6})= \begin{pmatrix}-1&0&0&0&0&0\\ 0&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1 \end{pmatrix},$$給定一卦所表示的向量 $\rm x$ $= (x_6,x_5,x_4,x_3,x_2,x_1)^{\top},$ 則 $\rm y$ $=\tilde{A_0}\rm x$ $= (-x_6,-x_5,-x_4,-x_3, -x_2,-x_1)^{\top}$ 表示該卦的錯卦, 這說明錯卦的「理」在於「完全否定」。 留意到 $\tilde{A_0}^{-1}=\tilde{A_0},$ 說明本卦與錯卦兩者可以相互轉化, 即矛盾雙方是對立統一的, 如「樂極生悲、 否極泰來、 物極必反、 喜極而泣、 福禍相依 9 9 《道德經》： 「禍兮福之所倚, 福兮禍之所伏」。 」等詞語均說明此意。 5. 京房十六卦變變換矩陣本節我們致力於探究京房十六卦變變換矩陣。 不同於圖 4 將事物的發展過程歸結分為 $8$ 個階段, 京房派則將事物的發展過程細分為 $16$ 個階段並運用對應的十六卦刻畫。 在涵蓋八宮的八卦卦變的基礎上, 京房派再添入八卦更細緻刻畫歸魂卦返回本體卦的過程。 具體的卦變原理歸為 : 「自初至五上翩飛, 上爻不動是宗廟, 下飛四往變遊魂, 下飛三爻成外卦。 下飛二爻是內卦, 飛落初爻變歸魂 , 上下飛複成一過, 再飛一過即復原。 內卦二爻變絕命, 上飛三爻變血脈, 再飛四爻變肌肉, 飛升五爻是骸骨。 轉下飛四變棺槨, 下飛三爻變墓庫 , 飛落二爻複歸原, 十六卦變玄又玄。 自初至五不動複, 下飛四往復用飛, 上飛下飛還本體, 便是十六變卦例」。 相似於分宮卦象次序圖中六十四卦卦序線性變換討論方法, 京房十六卦變線性變換對應的矩陣順序為 \begin{equation}\label{tran-order2} A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_4,A_3,A_2,A_1, A_2,A_3,A_4,A_5,A_4,A_3, A_2\hbox{。} \end{equation}基於線性變換矩陣順序 \eqref{tran-order2}, 對於 $j=1,\ldots,8$, 我們有如下具體「卦變」規律 : \begin{equation}\label{tran-jf} \begin{cases} \rm x_{j,0}=A_{0}\rm x_{j,0}\; (\mbox{本體卦});\\ \rm x_{j,i}=A_{i}\rm x_{j,i-1},\;i=1,\ldots,5\ (\mbox{一至五世卦});\\ \rm x_{j,6}=A_{4}\rm x_{j,5}\; (\mbox{遊魂卦});\\ \rm x_{j,7}=A_{3}\rm x_{j,6}\; (\mbox{外卦});\\ \rm x_{j,8}=A_{2}\rm x_{j,7}\; (\mbox{內卦});\\ \rm x_{j,9}=A_{1}\rm x_{j,8}\; (\mbox{歸魂卦});\\ \rm x_{j,10}=A_{2}\rm x_{j,9}\; (\mbox{絕命卦});\\ \rm x_{j,11}=A_{3}\rm x_{j,10}\; (\mbox{血脈卦});\\ \rm x_{j,12}=A_{4}\rm x_{j,11}\; (\mbox{肌肉卦});\\ \rm x_{j,13}=A_{5}\rm x_{j,12}\; (\mbox{骸骨卦});\\ \rm x_{j,14}=A_{4}\rm x_{j,13}\; (\mbox{棺槨卦});\\ \rm x_{j,15}=A_{3}\rm x_{j,14}\; (\mbox{墓庫卦});\\ \rm x_{j,16}=A_{2}\rm x_{j,15}=\rm x_{j,0}\; (\mbox{本體卦)。}\ \end{cases} \end{equation}我們以乾宮十六卦卦變為例結合京房十六卦卦變原理、 卦象解釋京房十六卦變。 乾宮十六卦卦變名稱為 : 1. 乾, 2. 姤, 3. 遁, 4. 否, 5. 觀, 6. 剝, 7. 晉 (遊魂卦), 8. 旅 (外卦), 9. 鼎 (內卦), 10. 大有 (歸魂卦), 11. 離 (絕命卦), 12. 噬磕 (血脈卦), 13. 頤 (肌肉卦), 14. 益 (骸骨卦), 15. 無妄 (棺槨卦), 16. 同人 (墓庫卦), 17. 乾 (還原)。 為方便起見, 我們列出上述諸卦的卦象 : 乾卦 : ䷀; 姤卦 : ䷫; 遁卦 : ䷠; 否卦 : ䷋; 觀卦 : ䷓; 剝卦 : ䷖, 此六卦與圖 4 前五世卦變相同, 此即為「自初至五上翩飛, 上爻不動是宗廟」。 再變則是上飛下飛往復直至回原。 下飛四爻則為 晉卦 (遊魂卦) : ䷢; 之後依次為 旅卦 (外卦) : ䷷; 鼎卦 (內卦) : ䷱; 大有卦 (歸魂卦) : ䷍; 離卦 (絕命卦) : ䷝; 噬嗑卦 (血脈卦) : ䷔; 頤卦 (肌肉卦) : ䷚; 益卦 (骸骨卦) : ䷩; 無妄卦 (棺槨卦) : ䷘; 同人卦 (墓庫卦) : ䷌; 乾卦 (還原本卦) : ䷀。 接著我們採用卦變所對應的線性變換解釋 : 因前六卦與圖 4 前五世卦變相同, 故此不再贅述。 我們以遊魂卦對應的「晉卦」為例, 運用線性變換刻畫其下一階段變化「旅卦」。 「晉卦」對應的向量為$\rm x_{1,6}= (1,-1,1,-1,-1,-1)^{\top},$ 依據 \eqref{tran-jf}, 則有 $$\rm x_{1,7}=A_{3}\rm x_{1,6}=\begin{pmatrix}~1~&~0~&~0~&0&~0~&~0~\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$$是為「旅卦」。 其他卦變只需依據 \eqref{tran-jf} 逐一變化即可, 我們在此略過。 相較於圖 4 卦變, 京房十六卦變「易理」更深刻。 首先依據京房十六卦變矩陣順序 \eqref{tran-order2}, 我們發現京房十六卦變呈「鐘擺」 (震盪)方式。 從本體卦開始, 依次經過 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ 逐步變至「五世卦」, 繼而又以 $A_4,A_3,A_2,A_1$ 的順序 (即下飛) 從「遊魂卦」依次變回「歸魂卦」, 其中經歷了從「外卦」到「內卦」的變化。 之後再以 $A_2,A_3,A_4,A_5$ 的順序 (即上飛)從「絕命卦」逐步變至「骸骨卦」, 最後依 $A_4,A_3,A_2$ 的順序 (即下飛)從「棺槨卦」逐漸還原至「本體卦」, 形成閉環。 這個過程闡釋了事物發展的過程也是在「吉凶」間震盪、 徘徊。 此外, 它刻畫了事物的發展是逐步變化的而非跳躍前行 (圖 4 中從遊魂卦至歸魂卦的發展存在跳躍), 發展結果呈「累計效應」, 這符合常理, 猶如「冰凍三尺非一日之寒」 10 10 語出王充《論衡》 : 「故夫河冰結合, 非一日之寒; 積土成山, 非斯須之作」。 所示。 其次, 十六卦變也說明了內因與外因的辯證關係 ⸺ 「吉凶從外來, 福禍從內起」 11 11 「一世之卦名外戒, 一切吉凶從外來, 二世卦者名內戒, 一切內亂細推排」。 , 即事物變壞首先從內部發生, 成語「禍起蕭牆」 「同室操戈」、 「兄弟鬩牆」便是明證, 故卦變也是從內卦開始變繼而延伸至外卦。 6. 部分日常用語與易經生活裡常見「八卦」「變卦」「交互」「錯綜複雜」「不三不四」「亂七八糟」「否極泰來」「無妄之災」之類的日常用語; 數學領域中則有「象限」 (quadrant) 「卦限」 (octant 12 12 英語詞根「octo-」 本意為「八」, 不然章魚為何以是 octopus (章魚有八隻觸手)? 而「十月」 (October) 本為「八月」, 因「八月」被「August」 佔用了, 故只好將錯就錯把「October」 當「十月」。 ) 的專業術語; 宮廷題材影視劇常稱古代帝王為「九五之尊」。 這些詞語從何而來？ 所謂何意？ 為此需先瞭解何為「卦」, 且為何是「八卦」而不是「九卦」、 「十卦」或其他？ 何為「變卦」？ 何為「交互」？ 何為「錯綜複雜」？ 為何是「否極泰來」？ 為何是「不三不四」而不是「不五不六」？ 為何是「亂七八糟」而不是「亂一二糟」？ 為何是「九五之尊」而不是「九六之尊」？
我們已在前文第 2
節中介紹了「八卦」, 因「八卦」互相組合又成六十四卦可描狀紛繁複雜的自然與人事現象, 看似荒謬, 於是現代漢語將「八卦」引申為「沒有根據的;
荒誕低俗的」, 故生活中常指非正式的小道消息或者流言蜚語。
數學中的「象限」「卦限」則源自「易有太極, 是生兩儀, 兩儀生四象, 四象生八卦」
(《易傳·系辭上傳》)。
而平面直角坐標系由橫縱兩軸平分而成四塊區域, 故稱每一區域為一「象限」; 空間直角坐標系被三條坐標軸平分而為八塊區域, 故稱每一區域為一「卦限」。
我們也在第 4
、 第 5
節中介紹了「卦變」過程, 「變卦」則是將「卦變」顛倒所成, 當「卦」變了, 其象徵的事物發展趨勢也變了, 故不難理解「變卦」之意了。
我們接著進一步逐一解釋「不三不四」「亂七八糟」「否極泰來」「無妄之災」 「九五之尊」「交互」「錯綜複雜」等詞語與易經的關係。
依據南懷瑾先生 最後我們解釋「錯綜複雜」四字及其內中蘊含的五卦 ⸺ 錯卦、 綜卦、 交卦、 互卦及交互卦。 「錯綜複雜」中「錯」指「錯卦」、 「綜」指「綜卦」、 「複」意為「重複」、 「雜」意指彼此間「相互」的關係。 此處「互」%同「䇘」, 本意為絞繩的器具, 引申為「交錯」 13 13 「互」段玉裁注為 : 「謂其物象工字; 中象人手推握也」。 。因此「複雜」實為卦中卦的「交互卦」, 本質上是將「交卦」與「互卦」重疊而成。 「互卦」是指取本卦中第二、 三、 四爻而成的卦, 即第二爻上連至第四爻, 從下面掛到上面是為「互」; 「交卦」是指取本卦中第五、 四、 三爻而成的卦, 即第五爻下連至第三爻, 從上面連至下面是為「交」; 「交互卦」是以交卦為外 (上)卦、 互卦為內 (下)卦重疊而成。 我們以分宮卦象次序圖 4 中部分卦解釋上述五卦 (見圖5)。  此外, 我們於此列出交卦、 互卦、 交互卦的變換矩陣。 交卦的矩陣為 $A_{in}=\begin{pmatrix} 0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\\end{pmatrix}$, 意指提取本卦中第三、 四、 五爻; 互卦的矩陣為$A_{mu}=\begin{pmatrix} 0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}$, 意指提取本卦中第二、 三、 四爻。 從而交互卦的變換矩陣為$A_{tw}=\begin{pmatrix}A_{in}\\ A_{mu}\end{pmatrix}$。 我們也注意到六十四卦中只有乾、 坤兩卦的交互卦依然為自身, 即當 $\rm x\in\{$乾、 坤$\}$ 時, $A_{tw}\rm x=\rm x$, 亦即乾卦與坤卦是交互卦變換 $A_{tw}$ 的不動點, 不然紫禁城何來「乾清宮」與「坤寧宮」？ 此外, 交互卦的不動點說明天與地是亙古不變的。 從而不難理解華人的民族文化為何特別重視「天」與「地」, 留下許多與之相關的成語 : 「頂天立地、 驚天動地、 鋪天蓋地、 謝天謝地、 開天闢地、 經天緯地、 花天酒地、 冰天雪地、 改天換地、 歡天喜地、 震天動地、 上天入地、 哀天叫地、 天昏地暗、 天經地義、 天羅地網、 天長地久、 天寒地凍、 天旋地轉、 天誅地滅、 天搖地動、 天造地設、 天高地厚、 地老天荒」等。 而這五卦中, 每卦的錯卦、 綜卦、 交互卦又能衍生各自的錯卦、 綜卦及交互卦, 如姤卦的錯卦為復卦, 而復卦的綜卦為剝卦, 因而演繹了「錯綜複雜」。 此外「錯綜複雜」說明人需從多個角度分析現象。 7. 結論本文從現代數學視角討論八卦、 六十四卦相應線性變換的不動點問題以及分宮卦象次序圖、 京房十六卦變的線性變換矩陣。 本文的探索與研究發現了存在有限離散集合上線性變換的不動點實例 : 八卦中乾、 坤、 離、 坎四卦、 六十四卦中乾、 坤、 離、 坎、 大過、 小過、 中孚、 頤八卦分別為其綜卦相應的線性變換的不動點。 具體而言, 乾、 坤、 離、 坎是八卦在平面上關於爻二對稱的對稱變換或繞爻一順時針旋轉 180 度的旋轉變換的不動點; 乾、 坤、 離、 坎、 大過、 小過、 中孚、 頤八卦是六十四卦在平面上關於爻二、 爻四對稱的對稱變換或分別繞爻一、 爻三順時針旋轉 180 度的旋轉變換的不動點, 且進一步證實乾、 坤兩卦不僅是綜卦還是交互卦對應的線性變換的不動點, 由此詮釋了「天」與「地」在中國文化中的重要意義。 另外, 本文運用基本初等矩陣刻畫了分宮卦象次序圖、 京房十六卦變的「變卦」過程。 最後, 本文解釋了源於易經的多個辭彙, 如「八卦」、 「變卦」、 「交互」、 「錯綜複雜」、 「象 (卦)限」、 「不三不四」、 「亂七八糟」、 「否極泰來」、 「無妄之災」、 「九五之尊」等。 致謝 : 本文作者感謝浙江理工大學本科生陳卓爾為本文繪製伏羲八卦圖 (即圖 2) 與文王八卦圖 (即圖 3), 同時也感謝浙江理工大學國際學生國情教育「名師工作室」(專案號： gqjy202301)、 浙江理工大學 2023 年度課程建設專案線性代數及應用* (專案號：QYWKC2301)、 2024年度課程建設專案跨學科交叉課程 (專案號： JX202401) 的經濟支持。 參考文獻本文作者陳琦瓊任教中國浙江理工大學數學科學系, 王曉亮任教中國浙江理工大學數學科學系, 何洪津任教中國寧波大學數學與統計學院 |
| 頁碼 | 130-149 |
2026年9月 50卷3期
線性變換及不動點視角下的《易經》之「像」與「理」