摘要: 通過引進參數, 可以實現利用定義來描點繪製橢圓。 將橢圓概念予以推廣, 可以探究得到多種曲線, 其中包括卡西尼卵形線。 數學探究有助於學生把握數學本質, 發展核心素養。

關鍵字: 橢圓、 推廣、 數學軟體、 探究。

我們在利用 GeoGebra、 幾何畫板等數學軟體繪製橢圓 (或雙曲線、 抛物線) 時, 大都採取方程輸入法, 即通過輸入普通方程 $\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1$、 參數方程 $\left\{\begin{array}{l} x=a\cos\theta\\ y=b\sin\theta\end{array}\right.$, 或極座標方程 $\rho =\dfrac{ep}{1-e\sin \theta}$ 來得以實現。 大多數軟體也具有利用焦點、 頂點或軸長、 焦距等條件繪製橢圓的指令。 但是, 在實際教學中, 特別是在橢圓的起始課上, 常常需要借助定義通過描點來繪製橢圓。 這時候, 大多數教師會採用一種實際操作法, 即將一根細繩的兩端固定在板子的兩個定點上, 用鉛筆繃直繩子, 移動一周, 筆芯就繪製出了橢圓。 本文介紹一種利用數學軟體按定義描點繪製橢圓的方法, 並在此基礎上, 給出橢圓概念的推廣性探究, 以供指導學生數學探究參考。

1. 廣中平佑對抽象理論的通俗解釋

日本著名數學家廣中平佑先生是 20 世紀代數幾何的先驅之一, 他最著名的貢獻是解決了代數簇的奇點解消問題, 並因此獲得了費爾茲獎。 法籍俄羅斯數學家米哈伊爾$\cdot$格羅莫夫認為廣中平佑在"奇點解消問題"上的貢獻, 是世界上最難得到的成果之一。 廣中平佑在 # 中, 對研究奇點解消問題的一種切入手段, 給出了下述通俗的解釋。

假設要建設一條連接東京和大阪的高速公路, 路線中間會繞琵琶湖一圈。 然而, 按照這種施工要求去建設會在某地形成一個交叉點, 所以我們無法在平面上建成一條沒有交叉點的高速公路, 這個交叉點就是奇點。 那麼我們要如何消除奇點呢？ 繞湖一周的道路只要採用立體交叉的方式建造就可以了。 也就是說, 只要增加一個高度就能解決問題。 在數學領域中, 這種做法叫增加參數。 在平面戶型圖中, 一樓和二樓的廁所錯綜複雜地重疊在一起, 讓人難以區分清楚, 但若加入高度這個參數, 則變得一目了然。

靈感出現常在一瞬間。 在引導學生學習橢圓的時候, 恰巧讀到上述兩段文字, 於是就聯想到啟發學生通過引進參數來實現橢圓的按定義描點繪製。

2. 橢圓的定義畫法

在平面內, 設 $F_1 (-c,0)$、 $F_2 (c,0)$ 為平面內兩定點, 若 $P_1 (x,y)$ 滿足

\begin{align} |P_1 F_1 |+|P_1 F_2 |=2a\label{1} \end{align}

則 $P_1$ 點的軌跡為橢圓。 其中, $a\gt c\gt 0$.

如圖 1, 引進參數 $t$, 以 $F_1$ 為圓心, $t$ 為半徑作圓, 以 $F_2$ 為圓心, $2a-t$ 為半徑作圓 (也可設兩圓的半徑分別為 $a+t,a-t$), 將兩圓的交點設為跟蹤。 啟動參數 $t$, 就可繪製出橢圓。

仿此方法, 我們也可以得到雙曲線的畫法。 如圖 2, 以 $F_1$ 為圓心, 參數 $|t|$ 為半徑作圓, 以 $F_2$ 為圓心, $|2a+t|$ 為半徑作圓 (也可設兩圓的半徑分別比為 $|t+a|,|t-a|$), 將兩圓的交點設為跟蹤, 啟動參數 $t$, 就可以繪製出雙曲線。

我們知道, 在平面內, 到定點和定點外一定直線的距離之比等於常數 $e$ 的點的軌跡為圓錐曲線。 當 $0\lt e\lt 1$ 時, 軌跡為橢圓； 當 $e=1$ 時, 軌跡為抛物線； 當 $e\gt 1$ 時, 軌跡為雙曲線。 仿照上述方法, 我們可以得到圓錐曲線的統一定義畫法。 引進參數 $p,e,t$, 設準線為 $x=-\frac p2$, 焦點為 $F(\frac p2,0)$, 作直線 $x=-\frac p2+t$, 再以 $F$ 為圓心, $et$ 為半徑作圓。 啟動參數 $t$, 跟蹤直線和圓的交點, 則可得到圓錐曲線的軌跡。 當 $p=2.4$, $e=0.75$ 時, 軌跡如圖 3 所示。

3. 到兩焦點距離之和為常數的類比

四則運算包括加、 減、 乘、 除, 運算結果分別為和、 差、 積、 商。 橢圓是平面內到兩定點距離之和為常數的點的軌跡 (常數超過兩個定點間的距離)； 雙曲線是平面內到兩定點距離之差的絕對值為常數的點的軌跡 (常數小於兩個定點距離)。 教學中, 可引導學生把定義中的和、 差變為積或商後, 探討動點的軌跡。

我們先探討平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡。 依然設兩定點為 $F_1 (-c,0)$、 $F_2 (c,0)$, 動點 $P'(x,y)$ 滿足

\begin{align} |P'F_1 |\cdot |P'F_2 |=a^2\label{2} \end{align}

繼續運用前述作圖方法從形的角度探討。 如圖 4, 以 $F_1$ 為圓心, 正參數 $t$ 為半徑作圓, 再以 $F_2$ 為圓心, $\frac{a^2}t$ 為半徑作圓, 將兩圓的交點設為跟蹤。 啟動參數 $t$, 即得到兩定點距離之商為常數的點的軌跡, 此軌跡就是卡西尼卵形線 (Cassini Oval)。

喬凡尼$\cdot$多美尼科$\cdot$卡西尼 (Giovanni Domenico Cassini) 是一位在義大利出生的法國籍天文學家和水利工程師, 他是第一個發現土星的四個衛星的人。 1675 年, 他發現土星光環中間有條暗縫, 這就是後來以他名字命名的卡西尼環縫。 他猜測, 光環是由無數小顆粒構成, 兩個多世紀後的分光觀測證實了他的猜測。 為了紀念卡西尼對土星研究的貢獻, 當代人類探測土星的探測器"卡西尼號"即以他的名字命名。 卡西尼卵形線是 1680 年左右他在研究土星及其衛星的運行規律時發現的。

我們固定 $c$ 的值, 將 $a$ 的值由小變大, 不難發現, 軌跡呈現出不同姿態, 似乎在向我們展示細胞融合的全過程 (當然, 倒過來就是細胞分裂的全過程)。 當 $a\lt c$ 時, 軌跡為對稱的"雙圈型卵形線"； 當 $a=c$ 時, 軌跡為雙扭線； 當 $a\gt c$ 時, 軌跡為"單圈型卵形線"。 圖 5 中的四個圖對應著 $c=2.5$, $a$ 的值分别為 2.2, 2.5, 2.8, 3.6 時的情形, 恰好對應著細胞融合的四個時期： 前期、 中期、 後期、 末期。

當然, $P'$ 點軌跡也可以借助方程

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2 }=a^2.$$

直接得到。 軌跡性質的證明及進一步探討, 則需要對方程進行深入研究。 兩邊平方, 並整理有

\begin{align} (x^2+y^2+c^2 )^2-4c^2 x^2=a^4\label{3} \end{align}

首先考慮 $x$ 的範圍。 由 $y^2\ge 0$, 得

\begin{align*} &(x^2+c^2 )^2-4c^2 x^2\le a^4.\\ {\hbox{即}} &\qquad (x^2-c^2 )^2\le a^4. \end{align*}

所以,

$$c^2-a^2\le x^2\le a^2+c^2.$$

因此, 當 $a\lt c$ 時, $x$ 的取值範圍為 $[\sqrt{c^2-a^2},\sqrt{c^2+a^2}]\cup [-\sqrt{c^2+a^2},\sqrt{c^2-a^2}]$； 當 $a\ge c$ 時, $x$ 的取值範圍為 $[-\sqrt{c^2+a^2},\sqrt{c^2+a^2}]$.

由於軌跡關於兩座標軸對稱, 所以, 只需考慮其在第一象限的情形。 不妨設 $x\gt 0$, $y\gt 0$, 將 $y$ 視為 $x$ 的函數 $y(x)$。 對 \eqref{3} 兩邊關於 $x$ 求導, 有

$$ 2(x^2+y^2+c^2)(2x+2yy')-8c^2 x=0.$$

於是有

$$y'= \frac xy \cdot \frac{c^2-x^2-y^2}{x^2+y^2+c^2}.$$

所以, $y'\gt 0\ \Leftrightarrow \ x^2+y^2\lt c^2$, 再結合 \eqref{3} 有

$$y'\gt 0\ \Leftrightarrow \ (c^2+c^2 )^2-4c^2 x^2\gt a^4\ \Leftrightarrow \ x^2\lt \frac{4c^4-a^4}{4c^2}.$$

結合 $x$ 的取值範圍, 有

(1) 當 $a\ge \sqrt{2} c$ 時, $y(x)$ 在 $[0,\sqrt{a^2+c^2}]$ 單調遞減, $y(0)=\sqrt{a^2-c^2},y(\sqrt{a^2+c^2})=0$, 軌跡為一個封閉的凸形圈。 軌跡和坐標軸的四個交點為 $(0,\pm \sqrt{a^2-c^2})$ 和 $(\pm \sqrt{a^2+c^2},0)$, 如圖 6-1 所示。

(2) 當 $c\lt a\lt \sqrt{2} c$ 時, $y(x)$ 在 $\Big[0,\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c}\Big]$ 單調遞增, 在 $\Big[\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c}, \sqrt{c^2+a^2}\Big]$ 單調遞減, $y(0)=\sqrt{a^2-c^2}\gt 0$, $y_{\rm max}=y\Big(\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c}\Big)=\dfrac{a^2}{2c}$, $y(\sqrt{c^2+a^2})=0$. 結合對稱性知, 軌跡為中間凹的封閉圈。 軌跡和坐標軸的四個交點為 $(0,\pm \sqrt{a^2-c^2})$ 和 $(\pm \sqrt{c^2+a^2},0)$, 軌跡的兩個最高點和兩個最低點分別為 $\Big(\pm \dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\dfrac{a^2}{2c}\Big)$ 和 $\Big(\pm \dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},-\dfrac{a^2}{2c}\Big)$, 如圖 6-2 所示。

(3) 當 $a=c$ 時, 和 (2) 一樣, $y(x)$在 $\Big[0,\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4 }}{2c}\Big]$ 單調遞增, 在 $\Big[\sqrt{4c^4-a^4}{2c}, \sqrt{c^2+a^2}\Big]$ 單調遞減, $y(0)=0$, $y_{\rm max}=y\Big(\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c}\Big)=\dfrac{a^2}{2c}$, $y(\sqrt{c^2+a^2})=0$, 軌跡為在原點處交叉的雙圈, 即雙扭線。軌跡和坐標軸的三個公共點為 $(0,0)$ 和 $(\pm \sqrt{c^2+a^2},0)$, 軌跡的兩個最高點和兩個最低點分別為 $\Big(\pm \dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\dfrac{a^2}{2c}\Big)$ 和 $\Big(\pm \dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},-\dfrac{a^2}{2c}\Big)$. 如圖 6-3 所示。

(4) 當 $a\lt c$ 時, $y(x)$在 $\Big[\sqrt{c^2-a^2},\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c}\Big]$ 上單調遞增, 在 $\Big[\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c}, \sqrt{c^2+a^2}\Big]$ 單調遞減, $y(\sqrt{c^2-a^2})=0$, $y_{\rm max}=y\Big(\dfrac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c}\Big)=\dfrac{a^2}{2c}$, $y(\sqrt{c^2+a^2})=0$. 軌跡為分離的雙圈, 如圖 6-4 所示。

我們接下來探討平面內到兩定點距離之商為常數的點的軌跡。 繼續設兩定點為 $F_1 (-c,0)$、 $F_2 (c,0)$, 動點 $P''(x,y)$ 滿足

\begin{align} |P''F_1 |/|P''F_2 | =a. \label{4} \end{align}

以 $F_1$ 為圓心, 正參數 $t$ 為半徑作圓, 再以 $F_2$ 為圓心, $\dfrac ta$ 為半徑作圓, 將兩圓的交點設為跟蹤, 啟動參數 $t$, 即得到兩定點距離之商為常數的點 $P''$ 的軌跡。

如圖 7, 當 $a\not=1$ 時, 設 $A,B$ 為直線 ${F_1F_2}$ 上的點, 且 $\dfrac{F_1 A}{AF_2}=\dfrac{F_1 B}{F_2 B}=a$, 則 $\dfrac{P''F_1}{P''F_2}=\dfrac{F_1 A}{AF_2} =\dfrac{F_1 B}{F_2 B}$, 於是由三角形的內外角平分線逆定理知, $P''A$, $P''B$ 為 $\triangle P''F_1 F_2$ 在頂點 $P''$ 處的內角、 外角平分線, 於是 $\overrightarrow{P''A}\bot \overrightarrow{P''B}$, 所以 $P''$ 在以 $AB$ 為直徑的圓上。 反之也成立。 所以, $P''$ 點的軌跡為以 $AB$ 為直徑的圓。 當 $a=1$ 時, 軌跡為直線 $y$ 軸。

事實上, 由 \eqref{4} 得

$$\frac{\sqrt{(x+c)^2+y^2}}{\sqrt{(x-c)^2+y^2}}=a.$$

當 $a\not=1$ 時, 化簡整理即得

$$\Big(x+\frac{1+a^2}{1-a^2} c\Big)^2+y^2=\Big(\frac{2ac}{a^2-1}\Big)^2.$$

此式表明, $P''$ 點的軌跡為圓, 圓心為 $\Big(-\dfrac{1+a^2}{1-a^2} c,0\Big)$, 半徑為 $\dfrac{2ac}{|a^2-1|}$. 當 $a=1$ 時, 方程可化為 $x=0$, 軌跡為直線 $y$ 軸。 易知, 這和我們從形的角度進行的前述討論是一致的。

4. 到焦點距離和為常數的多焦點推廣

如果我們把橢圓概念中的兩個焦點變成多個, 則曲線是什麼？ 為保持對稱性, 我們將 $n$ 個點設為正 $n$ 邊形的頂點。 設正 $n$ 邊形 $A_1 A_2 \cdots A_n$ 的外接圓圓心為 $O$, 半徑為 $r$, 動點 $P$ 到各頂點的距離之和為常數, 即

$$|PA_1 |+|PA_2 |+\cdots+|PA_n |=na.$$

設$A_i$的極座標為 $\Big(r,\dfrac{2(i-1)\pi}n\Big)$, 則點$P$的軌跡方程為

$$\sum_{i=1}^n \sqrt{(x-x(A_i))^2+(y-y(A_i))^2}=na.$$

或者極座標方程

$$\sum_{i=1}^n\sqrt{\rho^2+r^2-2\rho r\cos\Big(\frac{2(i-1)\pi}n-\theta \Big)}=na.$$

據此, 我們可以利用作圖軟體 GeoGebra (或幾何畫板等) 得到動點軌跡。 易知, 當 $a\lt r$ 時, 軌跡不存在； 當 $a=r$ 時, 軌跡為原點； 當 $a\gt r$ 時, 軌跡為封閉曲線。

特殊地, 當 $n=3$ 時, 不難得知, 若 $r\lt a\lt \Big(\dfrac{\sqrt{3}}3+\dfrac 12\Big)r$, 軌跡內含於正三角形； 若 $a=\Big(\dfrac{\sqrt{3}}3+\dfrac 12\Big)r$, 軌跡內切於正三角形； 若 $\Big(\dfrac{\sqrt{3}}3+\dfrac 12\Big)r\lt a\lt \dfrac{2\sqrt{3}}3 r$, 軌跡和正三角形三邊相交； 若 $a=\dfrac{2\sqrt{3}}3 r$, 軌跡外接於正三角形； 若 $a\gt \dfrac{2\sqrt{3}}3 r$, 正三角形內含於軌跡。 上述五種情形分別對應圖 8 中由內向外的五條曲線 (實線)。

接下來, 我們考慮到正 $n$ 邊形 $A_1 A_2\cdots A_n$ 的頂點距離乘積為常數的點 $M$ 的軌跡。 設正 $n$ 邊形的外接圓圓心為 $O$, 半徑為 $r$, 且

$$|MA_1 |\cdot |MA_2 |\cdots |MA_n |=a^n.$$

同樣地, 設 $A_i$ 的極座標為 $\Big(r,\dfrac{2(i-1)\pi}n\Big)$, 則點M的軌跡方程為

$$\prod_{i=1}^n \sqrt{(x-x(A_i))^2+(y-y(A_i))^2}=a^n.$$

或極座標方程

$$\prod_{i=1}^n\sqrt{\rho^2+r^2-2\rho r\cos\Big(\dfrac{2(i-1)\pi}n-\theta \Big)}=a^n.$$

據此, 我們可以利用作圖軟體 GeoGebra (或幾何畫板等) 得到動點軌跡。 易知, 當 $a\gt r$ 時, 軌跡為一條封閉曲線； 當 $a=r$ 時, 軌跡為 $n$ 扭線； 當 $0\lt a\lt r$ 時, 軌跡為 $n$ 個蛋形圈； 當 $a=0$ 時, 軌跡為 $n$ 個點, 即正 $n$ 多邊形的頂點。

特殊地, 當 $n=4$ 時, 對極座標方程

\begin{align*} \sqrt{\rho ^2+r^2-2\rho r\cos\theta}\cdot \sqrt{\rho ^2+r^2-2\rho r\cos(\frac{\pi}2-\theta )} \cdot\sqrt{\rho^2+r^2-2\rho r\cos(\pi -\theta )}\qquad~\\ \cdot \sqrt{\rho ^2+r^2-2\rho r\cos(\frac{3\pi}2-\theta ) }=a^4.\end{align*}

兩邊平方並化簡, 有

$$((\rho ^2+r^2 )^2-4\rho ^2 r^2 \cos^2\theta)((\rho ^2+r^2 )^2-4\rho^2 r^2 \sin^2\theta)=a^8.$$

進而有

$$\rho ^8+r^8-2\rho ^4 r^4 \cos(4\theta )=a^8.$$

配方有

$$(\rho ^4-r^4 \cos4\theta )^2=a^8-r^8 \sin^2 4\theta .$$

於是

$$\rho ={\root 4\of {r^4 \cos 4\theta \pm \sqrt{a^8-r^8 \sin^2 4\theta}}} .$$

當 $a\gt r$, $a=r$, $0\lt a\lt r$ 時, 對應的情形分別如圖 9-1, 9-2, 9-3所示。 圖中兩圓的圓心為原點, 半徑分別為 $\rho_{\rm min}={\root 4\of{|a^4-r^4 |}}$, $\rho_{\rm max}={\root 4\of {a^4+r^4}}$.

問題是數學的心臟。 數學教學應當以發展學生數學核心素養為導向, 創設合適的問題情境, 啟發學生思考, 引導學生把握數學本質。 這是普通高中數學課程的基本理念之一。 圍繞橢圓的定義畫法、 橢圓概念的推廣, 引導學生運用資訊技術開展數學探究, 正是上述理念的體現。 在具體的教學過程中, 學生獨立思考、自主學習、合作交流, 既可以增強數學學習的信心和興趣, 養成良好數學學習習慣, 又可以發展實踐能力和創新意識, 感悟數學的科學價值、 應用價值、 文化價值和審美價值。

(本文的寫作得到了中國陝西省西安中學生物老師王曉萍的幫助,特別致謝。)

參考文獻

本文作者任教中國陝西省西安中學