一、引言

在微積分教材中, Rolle 均值定理, Lagrange 均值定理與 Cauchy 均值定理又 (統) 稱為微分學基本定理、 有限增量定理或有限改變量定理, 是微分學的基本定理之一, 內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點, 它的斜率與整段曲線平均斜率相同。 均值定理用導函數的性質來研究函數的性質, 比如 : 單調性、極值、 凹凸性與拐點等。 蔡聰明推廣均值定理到高階導數的情形。

本文推廣並證明了均值定理到 $n$ 個函數。 這個結果是一個更普遍和簡潔的形式, 其特殊形式包含 Cauchy 均值定理與 Rolle 均值定理。

定理1 (Rolle ^{1 1} Michel Rolle (1652.4$\sim$1719.11), 法國數學家。 羅爾均值定理根據數學家羅爾命名。 ) 假設函數$f: [a,b] \to \mathbb{R}$ 滿足 :

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上連續；
2. $f$ 在 $(a,b)$ 上可微分；
3. $f(a) = f(b)$。

則存在 $\xi \in (a,b)$ 滿足 : $f'(\xi) = 0$。

註記1. 從物理角度而言, 一個直線運動的質點從起點開始回到起點, 必然有一個時刻, 在該時刻質點的速度為零。

定理2 (Lagrange ^{2 2} Joseph-Louis Lagrange (1736.1$\sim$1813.10), 義大利天文學家, 數學家。 ) 假設函數 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ 滿足 :

1. $f$ 在$[a,b]$上連續；
2. $f$ 在$(a,b)$上可微分。

則存在 $\xi \in (a,b)$ 滿足 : $\displaystyle f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。

註記2. 所謂均值定理, 這裡主要是因為$f'(\xi)$ 為質點在區間$[a,b]$上的平均速度, 即所謂的均值。

定理3 (Cauchy ^{3 3} Augustin-Louis Cauchy (1789.8$\sim$1857.5), 法國數學物理學家。 ) 假設 $f, g: [a,b] \to \mathbb{R}$ 满足 :

1. $f,g$ 在$[a,b]$上連續；
2. $f,g$ 在$(a,b)$上可微分。

則存在 $\xi \in (a,b)$ 滿足 : $\displaystyle \left[f(b) - f(a)\right]g'(\xi) = \left[g(b) - g(a)\right]f'(\xi)$。 若进一步假设 $g'(t) \ne 0, \forall t \in (a,b), g(b) \ne g(a)$, 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。

註記3. Cauchy 均值定理為參數方程下的 Lagrange 均值定理, 是一個一般化的結果。

二、微分均值定理的推廣

Cauchy 均值定理為 Rolle 和 Lagrange 均值定理的一般形式, 它將一個函數的情形推廣到了兩個函數。 其結果為 : \begin{equation} \begin{split} &\left[f(b) - f(a)\right]g'(\xi) = \left[g(b) - g(a)\right]f'(\xi)\\ & \alpha\left[f(b) - f(a)\right]g'(\xi) + \beta \left[g(b) - g(a)\right]f'(\xi) = 0, \end{split} \end{equation} 這裡 $\alpha=-\beta$。 進一步假設 $f(b) \ne f(a)$, $g(b) \ne g(a)$, 得到 \begin{equation} \alpha\frac{f'(\xi)}{f(b) - f(a)} + \beta\frac{g'(\xi)}{g(b) - g(a)} = 0. \end{equation}

更一般的, 我們猜想到以下結果 :

命題1. 假設 $f_i: [a,b] \to \mathbb{R}, i=1,2,\ldots,n$ 滿足 :

1. $f_i, i=1,2,\ldots,n$ 在 $[a,b]$上連續；
2. $f_i, i=1,2,\ldots,n$ 在 $(a,b)$ 上可微分；
3. $f_i(b) \ne f_i(a), i=1,2,\ldots,n$, $\displaystyle \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 0$。

則存在 $\xi \in (a,b)$, 滿足 : $$ \alpha_1\frac{f'_1(\xi)}{f_1(b) \!-\! f_1(a)} + \alpha_2\frac{f'_2(\xi)}{f_2(b) \!-\! f_2(a)} + \cdots + \alpha_n\frac{f'_n(\xi)}{f_n(b) \!-\! f_n(a)} = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i\frac{f'_i(\xi)}{f_i(b) \!-\! f_i(a)} = 0 $$

證明 : 由結論出發, 要證明存在 $\xi \in (a,b)$ 滿足 : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\alpha_i\frac{f'_i(\xi)}{f_i(b) - f_i(a)} = 0 $, 令 : \begin{equation} \Phi'(x) = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i\frac{f'_i(x)}{f_i(b) - f_i(a)} \end{equation} 上式兩邊積分, \begin{equation} \begin{split} \int_a^x\Phi'(t)\,\mathrm{d}t &= \int_a^x\sum_{i=1}^n \alpha_i\frac{f'_i(t)}{f_i(b) - f_i(a)} \mathrm{d}t \\ \Phi(x) & = \sum_{i=1}^n\alpha_i\frac{f_i(x) - f_i(a)}{f_i(b) - f_i(a)} + \Phi(a) \end{split} \end{equation} 令 $\Phi(a) = 0$, \begin{equation} \Phi(x) = \sum_{i=1}^n\alpha_i\frac{f_i(x) - f_i(a)}{f_i(b) - f_i(a)} \end{equation} 下面驗證 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上滿足 Rolle 均值定理的條件。 根據假設 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 在 $(a,b)$ 上可微分。 $\Phi(a) = 0$, 又有 $$ \Phi(b) = \sum_{i=1}^n\alpha_i\frac{f_i(b) - f_i(a)} {f_i(b) - f_i(a)} = \sum_{i=1}^n\alpha_i = 0 $$ 由 Rolle 定理知 : 存在 $\xi \in (a,b)$, 滿足 : $\Phi'(\xi) = 0$, 即 $$ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i\frac{f'_i(\xi)}{f_i(b) - f_i(a)} = 0 $$

註記4. 命題 1 的另外幾個個輔助函數為(命題的證明轉化為輔助函數滿足 Rolle 定理的條件): \begin{eqnarray*} \Psi_1(x) & =& \alpha_1\frac{(f_1(x) - f_1(a))(f_2(b) - f_2(a))\cdots(f_n(b) - f_n(a))} {(f_1(b) - f_1(a))(f_2(b) - f_2(a))\cdots(f_n(b) - f_n(a))}\\ && + \alpha_2\frac{(f_1(b) - f_1(a))(f_2(x) - f_2(a))\cdots(f_n(b) - f_n(a))} {(f_1(b) - f_1(a))(f_2(b) - f_2(a))\cdots(f_n(b) - f_n(a))}\\ && + \cdots \\ && + \alpha_n\frac{(f_1(b) - f_1(a))(f_2(b) - f_2(a))\cdots(f_n(x) - f_n(a))} {(f_1(b) - f_1(a))(f_2(b) - f_2(a))\cdots(f_n(b) - f_n(a))}\\ {\hbox{或者}} \Psi_2(x) & =& \alpha_1(f_1(x) - f_1(a))(f_2(b) - f_2(a))\cdots(f_n(b) - f_n(a))\\ && + \alpha_2(f_1(b) - f_1(a))(f_2(x) - f_2(a))\cdots(f_n(b) - f_n(a))\\ && + \cdots \\ && + \alpha_n(f_1(b) - f_1(a))(f_2(b) - f_2(a))\cdots(f_n(x) - f_n(a)) \end{eqnarray*}

註記5. 若$n = 2, \alpha_1=-\alpha_2$, 則上述命題則退化為Cauchy均值定理。即, $$ \frac{f'_1(\xi)}{f_1(b) - f_1(a)} = \frac{f'_2(\xi)}{f_2(b) - f_2(a)}, \xi \in (a,b) $$ 因為Cauchy均值定理為Rolle和Lagrange均值定理的一般化情形, 所以命題1 為更一般化的微分均值定理。

註記6. 一些例子 :

1. 若$f_k(x) = x^k,k=1,2,\ldots,n, \sum_{i=1}^n\alpha_i = 0$, 則有$\exists \xi \in (a,b)$, 使得 $$ \alpha_1\frac{1}{b-a} + \alpha_2\frac{2\xi}{b^2 - a^2} + \cdots + \alpha_n \frac{n\xi^{n-1}}{b^n - a^n} = 0. $$
2. 若$f_k(x) = \sin(kx),k=1,2,\ldots,n, \sum_{i=1}^n\alpha_i = 0$, 則$\exists\xi \in (a,b)$, 使得 $$ \alpha_1\frac{\cos(\xi)}{\sin(b) - \sin(a)} + \alpha_2\frac{2\cos(2\xi)}{\sin(2b) - \sin(2a)} + \cdots + \alpha_n\frac{n\cos(n\xi)}{\sin(nb) - \sin(na)}=0. $$ 這裡要求 : $\sin(kb) \ne \sin(ka), k=1,2,\ldots,n$。
3. 若$f_k(x) = e^{kx},k=1,2,\ldots,n, \sum_{i=1}^n\alpha_i = 0$, 則有$\exists\xi \in (a,b)$, 使得 $$ \alpha_1\frac{e^{\xi}}{e^b - e^a} + \alpha_2\frac{2e^{2\xi}}{e^{2b} - e^{2a}} + \cdots + \alpha_n\frac{ne^{n\xi}}{e^{nb} - e^{na}} = 0. $$

三、結論

均值定理為微積分的重要定理之一, 通過均值定理研究函數的性質具有重要的意義。 推廣後的均值定理具有更廣泛的形式和意義, 可以更好地幫助我們理解微積分的知識。

參考文獻

---本文作者武國寧任教中國石油大學數學系, 孫娜任教中國石油大學數學系---