考慮 ${\Bbb R}^3$ 中之曲面 $S$, 過 $S$ 上某點之所有曲線中, 有兩曲線分別具最大及最小之之曲率 $\kappa_1$、$\kappa_2$, 稱其平均值 $(\kappa_1+\kappa_2)/2$ 為 $S$ 在該點之均曲率。 若 $S$ 上所有點都具有相同之均曲率, 則稱 $S$ 為常均曲率曲面; 球面是廣為人知的例子。 常均曲率曲面緣起於等周界問題。 本文將分別探討無邊界及有邊界之曲面。 有邊界之曲面又分兩類討論： 給定邊界曲線者、 給定邊界與支撐面接觸角之毛細曲面。

球面上的點另具重要性質： $\kappa_1=\kappa_2$。 一般曲面 $S$ 上具此性質的點稱為 umbilical point (臍點)。 若 $S$ 的每一點都為 umbilical point, 則稱 $S$ 為 umbilical。 第 3 節中將論及常均曲率曲面與 umbilical 曲面之可能關聯。

一、緣起

手執切面為圓的吸管, 置其一端 $\Gamma_1$ 入肥皂溶液後抽出, 有一平坦之肥皂膜附著於 $\Gamma_1$, 為一圓盤。 於吸管另一端 $\Gamma_2$ 灌入空氣, 則圓盤變形為附著於 $\Gamma_1$ 之肥皂泡。 以一手指底於 $\Gamma_2$ 內部, 使空氣無從逃逸, 則此肥皂泡成形為 spherical cap。 稍事擾動肥皂泡使之變形但仍附著於 $\Gamma_1$, 且擾動過程中一手指始終底於 $\Gamma_2$ 內部, 則停止擾動後, 肥皂泡復為 spherical cap。

肥皂泡可視為分隔兩均勻介質之界面。 在無重力狀態, 界面之能量與面積成正比, 而肥皂泡取得最小能量。 上述肥皂泡的建構, 另受制於兩個因素： 肥皂泡之邊界固定為 $\Gamma_1$, 且肥皂泡與吸管所包夾的空氣量為固定。 在這兩個限制下擾動曲面, 肥皂泡取得面積的極小值。 因此肥皂泡是下述變分問題的解, 其解為 spherical cap：

問題1: 給定常數 $V$ 及平面 $P$ 上之圓 $\Gamma$。 通過 $\Gamma$ 且與 $P$ 包夾體積 $V$ 的所有曲面中, 何者面積最小?

在前述實驗, 如果持續灌空氣入吸管, 肥皂泡終將脫離吸管, 成為完整球面。 此時, 肥皂泡滿足的限制僅剩一個, 在體積限制下要取得面積之最小值。 換言之, 球面是下述古典等周界問題的解：

問題2: 體積固定的所有封閉曲面中, 何者面積最小 ?

將面積視為曲面之函數, 考慮體積維持恆定之曲面微小變動, 則面積函數針對這些變動之臨界點為常均曲率曲面。 換一觀點來看, 考慮分隔兩介質之界面 $S$, 忽略S的厚度, 界面 $S$ 承受之內外壓力差 $P_e-P_i$ 與曲面張力 $\gamma$ 成正比, 而 $S$ 之形狀由 Laplace equation 決定： $$P_e-P_i=2H\beta ,$$ 其中 $H$ 為 $S$ 之均曲率, $\beta$ 是介質所決定之常數; 當壓力恆定, $S$ 之均曲率為常數。 肥皂膜、肥皂泡及毛細曲面皆屬此型界面。 因此, 我們把上述二問題分別轉化如下:

問題1.1: 給定常數 $H$ 及封閉曲線 $\Gamma$, 通過 $\Gamma$ 且均曲率為常數 $H$ 之曲面是否存在? 是否不只一個?

問題2.1: 封閉的常均曲率曲面一定是球面嗎?

二、先看問題 2.1

1853 年 J. H. Jellet 證明球面是唯一的 star-shaped 常均曲率曲面。 1900 年 H. Liebermann 證明卵形的常均曲率曲面必為球面。 半個世紀後, H. Hopf 賦與常均曲率曲面一 holomorphic differential 2-form, 於 1951 年證明：

定理1: genus 為 0 的封閉常均曲率曲面必為球面。

1956 至 1962 年間, A. D. Alexandrov 證明：

定理2: 嵌入的 (embedded) 封閉常均曲率曲面必為球面。

Alexandrov 的證明, 結合曲面對平面的反射及橢圓方程的 maximum principle, 至今仍是微分幾何及偏微分方程領域之重要技巧。 1984 年 J. L. Barbosa 及 M. do Carmo 證明：

定理3: 穩定的封閉常均曲率曲面必為球面。

直至八零年代, 球面是唯一為人所知的封閉常均曲率曲面。 1986 年, H. C. Wente 證明某個常均曲率 immersed 環面的存在性, 石破天驚, 激起了後續尋找封閉常均曲率曲面之風潮, 至今未衰。 而 Wente 發展的技巧, 建立起常均曲率曲面與可積系統之關聯, 常均曲率環面因之而能被深入探討。

1991$\sim$1992年, N. Kapouleas , 對任意 genus 構造出封閉的 immersed 常均曲率曲面。 Kapouleas 黏合球面及 Delaunay 旋轉曲面 ^{1 1} 1838 年 C. E. Delaunay 發現一族常均曲率旋轉體, 包括圓柱面、 懸垂面、 unduloid、 nodoid。 , 其關鍵是要在黏合處做擾動使其平滑 ^{2 2} 在黏合處, 黏合曲面不平滑。 但分析 Jacobi 算子的 kernel, 並利用 Leray-Schauder fixed-point 定理, 可將原黏合曲面微擾動, 得到平滑的常均曲率曲面。 ; 此構造方法迄今仍廣被採用。 近日, 另有學派結合 loop groups 與可積系統的理論, 發展出 DPM method 以構造常均曲率曲面。 諸多網站以電腦繪圖展示相關的豐碩成果, 譬如 http://www.gang.umass.edu。

三、回到問題1.1

在問題1.1, 給定常數 $H$ 及封閉曲線 $\Gamma$, 要尋找曲面 $M=X(\overline{B_1})$ 滿足下述事項, 其中 $X:\overline{B_1}\to {\Bbb R}^3$, $X=X(u,v)$, $B_1$ 為 ${\Bbb R}^2$ 中之單位圓： $$\left\{\begin{array}{l} \Delta X=2H(X_u\times X_v)\quad \hbox{on $B_1$},\\[5pt] |X_u|^2-|X_v|^2=\langle X_u,X_v\rangle=0\quad\hbox{on $B_1$},\\[5pt] X:\partial B_1\to\Gamma\quad \hbox{a homeomorphism.} \end{array}\right.$$ J. Douglas 及 T. Rado 處理了 $H=0$ 的情況, Douglas 並因此而於 1936 年獲頒費爾茲獎。 五零年代, E. Heinz 開始探討 $H\not=0$ 的情況, 至七零年代, 多位數學家考慮變分問題的解, 而於 $H$ 夠小時, 尋獲曲面 $M=X(\overline{B_1})$： 在 $H=0$ 時, 以 Dirichlet integral $$D(X)=\frac 12 \int_{B_1}|\nabla X|^2dudv$$ 取代面積 $A(X)=\int_{B_1}|X_u\times X_v | dudv$ (因為 $A(X)\le D(X))$, 在 $H\not=0$ 時, 考慮 $$D_H (X)=D(X)+\frac{2H}3 \int_{B_1} \langle X_u\times X_v,X\rangle dudv,$$ 並考慮由定義於 $B_1$ 且通過 $\Gamma$ 之 immersions 所組成之族群 ${\cal C}(\Gamma)$; 與 ${\cal C}(\Gamma)$ 之成員相較, 曲面 $M=X(\overline{B_1})$ 最小化 $D_H (X)$。 $D_H (X)$ 的第二項中, $\dfrac 13\int_{B_1}\langle X_u\times X_v,X\rangle dudv$ 是曲面 $X(u,v)$ 相對於原點的 algebraic volume, 而 $2H$ 可視為為 Lagrange multiplier (但未給定 ${\cal C}(\Gamma)$ 成員之體積值)。 $M=X(\overline{B_1})$ 藉由變分學之 direct method 尋獲, 是 $D_H (X)$ 之 minimizing sequence 收斂所至之極限; 此中關鍵是要利用 ${\cal C}(\Gamma)$ 的緊緻性及 $D_H (X)$ 之 lower semicontinuity 證明 minimizing sequence 收斂。

八零年代, H. Brezis, J. M. Coron 及 M. Struwe 處理 ${\cal C}(\Gamma)$ 在 mountain pass level 的緊緻性, 確認了問題 1.1 的解若存在必定不唯一： 若 $D_H (X)$ 在 ${\cal C}(\Gamma)$ 能被 $X$ 最小化, 則在 ${\cal C}(\Gamma)$ 中必定存在另一不穩定的解; 譬如, 若 $\Gamma$ 是圓, 通過 $\Gamma$ 的常均曲率曲面至少有圓盤 $(H=0)$ 及一大一小兩個 spherical caps ($H\not=0$)。 事實上, 即使 $\Gamma$ 是圓時, 對問題 1.1 的解, 我們所知仍甚少。 但有兩個確認的事實：

1. 通過圓的緊緻 umbilical 曲面必為圓盤或 spherical caps。
2. 通過圓的緊緻旋轉曲面必為圓盤或 spherical caps。

另外, Kapouleas 於 1991 年證明存在通過圓而不具旋轉對稱之緊緻常均曲率曲面; 此曲面有自相交 (self-intersections), genus 大於 1, 坐落於邊界平面所決定的某半空間。 迄今未有該曲面之電腦繪圖, 此與封閉常均曲率曲面電腦繪圖量之豐沛景況大相逕庭。 衡諸這些事實, 對照前述三定裡, 我們做以下三猜測:

猜測1: 通過圓的 immersed 常均曲率曲面, 若 genus 為 0, 必為 umbilical。

猜測2: 通過圓的常均曲率曲面, 若為嵌入的, 必是 umbilical。

猜測3: 通過圓的常均曲率曲面, 若為穩定, 必是 umbilical。

四、將問題1.1考慮的曲面限制為平面區域上的函數圖形

改述問題如下：

問題1.2: 給定常數 $H$ 及空間中之封閉曲線 $\Gamma$, 是否存在函數圖形通過 $\Gamma$ 且均曲率為 $H$ ?

此問題中之 $\Gamma$ 必為某平面曲線上之函數圖形, 因此可重新陳述問題如下：

問題1.3: 給定常數 $H$, 定義域 $\Omega\subset {\Bbb R}^2$, $\varphi :\partial \Omega \to{\Bbb R}$, 尋找平滑函數 $u$ 使得 \begin{eqnarray} &&{\rm div}\, \frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}=2H \ \hbox{on}\ \Omega\qquad~\label{1}\\ &&u=\varphi\ \hbox{ along}\ \partial\Omega\label{2} \end{eqnarray} 其中 $\nabla$ 及 div 分別為 ${\Bbb R}^2$ 中之梯度及 divergence 算子。 (2)

用 divergence theorem 積分 \eqref{1}, 得到此問題有解之必要條件： $|H|=\dfrac{|\partial \Omega |}{2|\Omega |}$, 其中 $|\partial \Omega |$ 及 $|\Omega |$ 分別為 $\partial \Omega$ 的長度及 $\Omega$ 的面積。 當 $\Omega$ 為半徑 $r$ 的圓, 此必要條件是 $|H|\le 1/r$。 事實上, R. Finn 於 1965 年證明：

定理4: 若 $H\not=0$ 且 $\Omega$ 包含半徑 $1/|H|$ 的圓, 此問題的解必為半球。

R. Finn 同時證明了下述結果：

定理5: 當 $H=0$, 問題 1.3 對任意連續邊界值 $\varphi$ 都有解之充要條件是 $\Omega$ 為凸。

對一般 H, J. Serrin 於 1969 年證明:

定理6: 設 $\Omega$ 為有界凸域。 問題 1.3 對任意連續邊界值 $\varphi$ 都有解之充要條件是平面曲線 $\partial \Omega$ 之曲率 $\kappa\ge 2H$。

在偏微分方程領域, 問題 1.3 因其邊界條件 \eqref{2} 而被歸類為 Dirichlet problem。 因 \eqref{1} 為擬線性 (quasilinear) 二階橢圓方程, 通常運用 Leray-Schauder theory 求解： 先假設解 $u$ 存在, 估計 $|u|$ 及 $|\nabla u|$, 若兩者皆存在與 $u$ 無關的上界, 則解存在。

五、毛細曲面

無重力狀態下, 將水平切面為 $\Omega$ 的試管鉛直插入溶液槽, 溶液因毛細作用而附著於試管壁上升, 形成毛細曲面 $S$, 具常均曲率, 與試管壁相交於一曲線, 沿此曲線 $S$ 與管壁之交角恆常不變。 因此, 有別於 \eqref{2}, 我們考慮如下之邊界條件 \begin{equation} \Big\langle \frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}},v\Big\rangle=\cos\gamma \quad\hbox{along}\ \partial \Omega,\label{3} \end{equation} 其中 $\nu$ 是 $\partial \Omega$ 指向 $\Omega$ 內部之單位法向量。 設 \eqref{1}-\eqref{3} 有解 $u$, 則在試管 $\Omega \times {\Bbb R}$ 內, 溶液於 $(x,y)\in \Omega$ 點升起的高度是 $z=u(x,y)$, 而由 \eqref{3} 知 $u$ 的函數圖形與管壁 $\partial \Omega \times {\Bbb R}$ 之交角恆為 $\gamma$。

處理 \eqref{1}-\eqref{3} 解的存在性, 端賴 E. de Giorgi 及其同儕發展出的 BV theory。 對子區域 $\Omega^*\subset \Omega $, 邊界 $\partial \Omega^*= \Gamma\bigcup \Sigma^*$, 其中 $\Sigma^* \subset \partial\Omega =\sigma$, $\Gamma\subset \Omega $, 考慮函數 $$\Phi(\Omega^*;\gamma):=|\Gamma|-|\Sigma^* | \cos \gamma+|\Sigma |\cos \gamma \frac{|\Omega ^* |}{|\Omega |} ,$$ 其中 $|\Gamma|$, $|\Sigma^*|$ 分別為 $\Gamma$ 及 $\Sigma^*$ 的長度, $|\Omega |$, $|\Omega ^* |$ 分別為 $\Omega$ 及 $\Omega ^*$ 的面積。 用 divergence theorem 積分 \eqref{1}, 得到解存在之必要條件 $\Phi(\Omega ^*; \gamma)\gt 0$。 而要得到

解存在之充分條件, 觀察：當 $\Phi(\Omega^*; \gamma)$ 之最小值發生時, $\Gamma$ 是半徑 $\frac{|\Omega |}{|\Sigma|}\cos\gamma$ 的圓弧, 在 $\Sigma$ 的平滑點與 $\Sigma$ 之交角為 $\gamma$, 而在 $\Sigma$ 的凹角與 $\Sigma$ 之交角 $\ge\gamma$。 針對此型讓 $\Phi(\Omega ^*;\gamma)$ 最小值發生的子區域 $\Omega ^*$, 七零年代 Giusti 及 Finn 證得：

定理7: \eqref{1}-\eqref{3} 解存在之充要條件是此型子區域 $\Omega ^*$ 都滿足$\Phi (\Omega ^*; \gamma)\gt 0$。

在一般 $\Omega $, 此型子區域 $\Omega ^*$ 為數有限, 甚或不存在。 若 $\Omega ^*$ 不存在, 上述充要條件成立, 因此解存在; 而若 $\Omega ^*$ 有數個, 則一一計算其 $\Phi$ 值。 P. Concus 及 Finn 循此策略證得：

定理8: 若 $\partial \Omega$ 包含某突出的角, 角弧度 $2\alpha $, $\alpha + \gamma\lt \pi /2$, 則 \eqref{1}-\eqref{3} 無解。

廣義來說, 與某支撐面交角恆定的常均曲率曲面都被稱為 毛細曲面, 而稱該交角為 接觸角 (contact angle)。 考慮兩個平面包夾的楔形區域,

McCuan 及 Park 分別於 1997 及 2005 年證明

定理9: 楔形區域內, 嵌入之環形毛細曲面必為球面的一部分。

我們可考慮下述三問題;

問題A: 楔形區域或半空間內, 是否存在緊緻、 immersed 且不是部分球面的的毛細曲面?

問題B: 楔形區域或半空間內, 是否存在緊緻、嵌入且 genus$\ge 1$ 的毛細曲面?

問題C: 楔形區域或半空間內, 穩定之毛細曲面是否必為部分球面？

相關於問題 A, Wente 於 1995 年建構了楔形區域內非緊緻的毛細曲面。 關於問題 B, 在接觸角 $\le \pi /2$ 的情況, McCuan 於 1997 年證明問題所述之毛細曲面不存在。 關於問題 C, 在接觸角 $\ge\pi /2$ 且毛細面邊界為嵌入曲線的情況, J. Choe 及 M. Koiso 於 2016 年證明穩定之毛細面必為球的一部分。 三個問題都尚待更完整的解答。

參考資料

---本文作者任職中央研究院數學研究所---