| 發刊日期 |
2021年12月
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| 標題 | 平面向量內積概念的一種引入方式 |
| 作者 | |
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| 全文 |
1. 前言我國的高中數學課程, 近十年來, 無論是 99 課綱還是 108 課綱, 平面向量的內積 (Dot Product) 的引入, 都是以物理學中的「功 (Work)」 為引子, 常見的是以一力 $\overrightarrow{F}$ 拖曳地面上的某物前進距離 (位移) $\overrightarrow{d}$, 假定力 $\overrightarrow{F}$ 與地面夾角為 $\theta$, 此時有效拉力為 $\overrightarrow{F} \cos \theta$, 則外力做功之大小為 $$\left| \overrightarrow{F} \cos \theta \right| \cdot \left| \overrightarrow{d} \right|.$$ 於是便定義向量 $\overrightarrow{F}$ 與 $\overrightarrow{d}$ 的內積為 $$\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = \left| \overrightarrow{F} \right| \cdot \left| \overrightarrow{d} \right| \cos \theta.$$ 或是更一般地 ： 向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的內積定義為 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right).$$ 說實話, 從以前到現在, 我一直不滿意如此的定義。 可能是一種數學人的偏見, 總感覺一個數學概念建立於物理的觀念上, 似乎不太踏實。 另一方面, 無論是理組還是文組的學生, 都要學習向量內積, 我在教學時, 發現文組的學生對於這樣用物理概念來引進定義, 通常都是草草吸收, 最後只是死記 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right)$, 因為不少文組的學生早在國中就開始放棄了理化, 所以一見到「力」這個字眼就心裡忐忑不安, 自然難以領會這概念的動機。 教學現場中, 除了少數學生, 大部分都沒辦法說明為何 $$\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = a_1b_1 + a_2b_2.$$ 2. 衝突在大學的線性代數課程, 特別是以矩陣導向為主旨編寫的教科書, 比如 MIT 的 G. Strang, 在定義內積時都是直接採取代數的方式： $${\bf a} \cdot {\bf b} = a_1b_1 + \cdots + a_nb_n.$$ 某些學生就會產生困擾 ： 「到底定義是從哪開始？」、 「為何要這樣定義？」幸運者可能會遇到熟稔中學數學與大學數學課程的教授, 從而有機會通過銜接的補救教學弭平這個知識的間隙。 不幸的是, 大多數人的遭遇並非如此。 所以最後就變成, 要不生吞活剝這個概念, 直接去記憶； 不然就是自己生出一套似是而非的解釋, 比如「因為 $n$ 維空間沒法直接定義角度, 不知道 cos 要怎樣算, 而因為在平面上 $\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = a_1b_1 + a_2b_2$, 所以就乾脆把定義置換成$a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$, 這樣任意維度空間都可以討論內積。」 這個解釋相當地牽強, 既然大學數學會遇到無法定義高維空間角度的問題, 而 $a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$ 在計算上相對容易, 為何中學數學不直接定義內積就是 $a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$？ 某些人會說, 我們什麼動機都不要, 直接定義一個線性空間中配備了內積函數, 構成一個內積空間, 滿足 $\cdots$ 公理。 我認為這種講法是最無意義的, 只是以抽象語言把自然的幾何事實重述一遍, 對於觀念的建立毫無幫助 (但可以釐清)。 3. 一個新方式經過多年思考, 我最近想出了一條路子, 首先避開了引用物理「功」的概念, 從國小就熟知的基本事實「三角形兩邊和大於第三邊」, 直接用大學課程的 $a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$ 來定義內積, 接著使用三角函數的疊合公式來證明 $$\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = a_1b_1 + a_2b_2,$$ 讓學生可以見識到在前頭所學的種種三角公式與後續課程的連結 (在 108 新課綱中, 三角函數疊合公式通常擺在平面向量之前)。 一旦建立了內積的兩種 (代數與幾何) 計算方式的橋樑, 後續相關的正射影、 Cauchy 不等式等, 都與過去的教學方式相同。 以下開始論述這個新路子的每一步。 一、基本事實我們承認幾個基本事實 ：
1. 直角坐標系中的距離公式為$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。 二、從三角不等式引出的一種特殊代數形式 (Algebraic Form)：內積首先, 若 $O = (0, 0), A = (a_1, a_2), B = (b_1, b_2)$ 三點不共線, 則由三角不等式有 $$\overline{OA} + \overline{OB} \gt \overline{AB}.$$ 而當三點共線, 且 $O$ 在 $A, B$ 之間, 則 $$\overline{OA} + \overline{OB} = \overline{AB}.$$ 以向量形式來寫, 則是 $$\left| \overrightarrow{OA} \right| + \left| \overrightarrow{OB} \right| \ge \left| \overrightarrow{AB} \right|,$$ 等號成立於 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 夾角為π。 代入距離公式, 得 $$\sqrt{a_1^2 + a_2^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \ge \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.$$ 化簡後得到 $$\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \ge a_1b_1 + a_2b_2.$$ 此時出現了一個特殊的代數量$a_1b_1 + a_2b_2$, 我們將之稱為內積。 定義： 向量 $\overrightarrow{a} = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right]$ 與 $\overrightarrow{b} = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right]$ 的內積 (Dot Product) 定義為 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 +a_2b_2.$$ 我們還可以給內積一個非正式的字面上的解釋 ：內部座標的乘積。 三、內積的性質通過計算數個具體的例子, 可以發現向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的內積,
1. (絕對)大小顯然與兩向量的長度有關。 四、用三角函數疊合公式研究內積的幾何意義按新課綱各版本課本的安排, 在學習內積時, 學生們都已經學會三角函數的疊合 \begin{eqnarray*}a \sin \theta + b \cos \theta &=& \sqrt{a^2 + b^2} \left( \sin \theta \cdot \frac{a} {\sqrt{a^2 + b^2}}+ \cos \theta \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) \\ &=& \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left( \theta + \varphi \right) , \end{eqnarray*}其中角度 $\varphi$ 滿足 $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。 現在, 對於內積 $a_1b_1 + a_2b_2$, 我們也能模仿過去處理三角函數疊合的情況的手法, 計算如下： \begin{eqnarray*} a_1b_1 + a_2b_2 &=& \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \left( b_1 \cdot \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} + b_2 \cdot \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right) \\ &=& \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \left( \frac{b_1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \cdot \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} + \frac{b_2}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \cdot \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right) \\ &=& \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \left( \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha \right) \\ &=& \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \left( \beta - \alpha \right). \end{eqnarray*}其中 $\alpha, \beta$ 分別是 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 與正 $x$ 軸所夾的有向角, 滿足 $\cos \alpha = \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \sin \alpha = \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}$ 與 $\cos \beta = \frac{b_1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}, \sin \beta = \frac{b_2}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$。 不難分析, 無論 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的相對位置如何, 總有 $$\cos \left( \beta - \alpha \right) = \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right).$$ 所以我們得到 定理： 向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的內積也等於 $\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right)$。 五、結論向量 $\overrightarrow{a} = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right]$ 與 $\overrightarrow{b} = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right]$ 的內積有兩種計算方式：
1. 代數：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。 後記本文之完成, 感謝我的朋友, 任教於金門高中的許淵智老師, 每日與我討論如何精進教學, 從而讓我有動機去進行此探究。 也感謝連威翔學長, 常常督促我把文章完成, 讓我明白我還沒到達孔子「述而不作」的程度。 附註中國大陸最近行將實施的高中新課程標準, 也是用物理做功的概念來引進內積。 ---本文作者任教於台北市私立鵬展文理補習班, 並主持「宇宙數學教室」部落格--- |
2021年12月 45卷4期
平面向量內積概念的一種引入方式