十六世紀的義大利已解出三次及四次方程。 十九世紀初, Abel (1802$\sim$1829) 才證明出五次方程式未必有根式解, 其後 Galois (1811$\sim$1832) 提出五次方程式有根式解的充要條件： 方程式對應的群的結構要夠好。 從方程式的「表象」提煉出「規則」的抽象化歷程, 耗時兩百多年。 之後 Frobenius (1849$\sim$1917) 奠定了表現理論的基礎, 同時研究表象 (模) 及規則 (代數)。 賴俊儒教授鋪陳這整個歷史。

而人工智慧的一個重大缺陷, 恰就是無法從具體資訊中提煉出抽象概念。 人工智慧或許能夠證明定理, 但仍無法提出有趣的數學抽象概念來產生定理。

John Wallis (1616$\sim$1703) 生於牛頓 (1643$\sim$1727) 的上一個世代, 博學多識。 他是無窮小微積分的先驅, 啟發了牛頓的工作。 他並引進「無限大」的數學符號 $\infty $, 也擅長密碼破解。 當時大多數數學家認為代數缺乏歐幾里德證明的堅實基礎, 因此代數比不上幾何。 然而 Wallis 認同將代數作為產生新想法和新結果的手段。 不同於牛頓, 他樂於以代數形式發表結果。

1656 年, Wallis 發表了圓錐曲線的代數公式, 從圓錐體中釋出圓錐曲線, 用以計算曲線所包圍的面積。 在同年出版的《Arithmetica Infinitorum》 中, 他討論了這種計算面積的方法, 對無窮小量求和。 他致力於冪序列的求和, 獲知這些總和與已知量的比率。 他進而探討 $\int_0^\pi \sin^n x dx$, 將 $\pi$ 寫成無窮乘積。 林琦焜教授藉由 Beta 函數及 Gamma 函數, 講述 Wallis 積分與球體積、 球表面積的關聯。

光速恆定原理是狹義相對論的基礎公設, 意指： 在任何慣性參照系中, 觀察光在真空中的傳播速度, 則相對於該觀測者, 光速都是常數, 不隨光源或觀測者在參考系的相對運動而改變。 因此, 在靜止的觀察者看來, 運動中的系統長度會縮短、 時間會膨脹 (亦即, 尺的刻度會擴張、 時鐘會走慢)。 愛因斯坦在 1905 年, 基於光速恆定原理, 推導出勞侖茲變換。 1916 年, 重新推導, 簡化計算, 引進勞侖茲收縮。 張海潮教授介紹愛因斯坦 1916 年的推導。

對所有 $\theta\in(0, \frac\pi 2)$, 不等式 $ \theta \lt\frac{\sin \theta +\tan \theta}2$ 恆成立； 這可由不等式 $\sin\theta \lt\theta \lt\tan\theta$ 得證。 藉由泰勒展式, 張鎮華教授得到更強的不等式 $\frac{2 \sin \theta +\tan \theta }3\gt\theta $. 張教授徵求不用微積分的證明方法。 他也邀請讀者用各種方法證明 $\frac{2 \theta\cos \theta +3\tan \theta }5\gt\theta $.

梁惠禎
2023年3月