在氣體動力學、 流體力學等領域, 京都學派領導群倫。 他們的研究涵蓋數學分析、 數值計算、 電腦模擬, 理論及應用相輔相成。 曾根先生是京都學派研究群的核心大師。 本期專訪的青木一生先生, 師承曾根先生, 繼往開來。

純數學、 應用數學、 其它領域 (物理、 生物、 AI 等等) 對數學有不同的品味與期待。 純數學家要求嚴謹, 期待美感。 其它領域提出切合實際的模型及公式, 期待數學家藉此做出合理有用的預測及洞見。 應用數學家橋接數學及其它領域。 應用數學家借用其它領域建立的公式及模型, 透過數學分析、 論證及計算, 嚴謹描述動態歷程。 但在此過程中, 應用數學家因數學上的權宜或品味, 有可能脫離現實情境。 在做數學分析之前先進行數值計算及模擬, 一方面可避免與現實脫鉤, 另一方面能藉此得到一些感覺及洞察力。

青木先生講述曾根先生及京都學派的整體貢獻, 並評析應用數學家與工程界的隔閡。 他冷靜觀察, 深刻思考, 敘事清晰, 言談間流露大師風範。

沈括在《夢溪筆談》述及定律： 漲潮恰發生於月的午時和月的子時。 亦即, 月球視像每繞完地球一圈, 潮漲潮落各發生了兩次。 這是一個經驗定律。 莫宗堅教授、 黃蘋教授援用古典物理學及數學論證, 以詳實計算推導出沈括定律。 他們排除月球繞地的離心力, 探討海潮發生的源由, 歸結為月球引力在廣闊的海域彙集而成的靜水壓力。 他們也討論了太陽對地球海潮的影響。 莫教授、黃教授學識深厚, 周到嚴謹。

如何以數學理解世界？ 程之寧教授講解與生活相關的統計與機率、 質數與密碼學、 數系與代數、 無限與微積分、 數學之美。 她特別強調： 數學帶來自由。 數學證明的嚴謹性, 建構了數學堅實的基礎。 理性的思維讓我們屏棄虛妄, 突破桎梏, 打開藩籬。

何崇武教授考慮整數係數的多項式函數。 此種函數的數值可否俱為質數? 可否包含所有質數? 可否包含除有限例外的所有質數? 如不能, 其數值可否包含無窮多質數, 但亦有無窮多質數並非其數值? 其數值僅可否包含有限多個質數?抑或完全不包含有任何質數? 何教授回答了這些問題。

Max Born 在 1926 年提出量子力學的機率觀點, 聲稱粒子不量測即不存在, 而在兩個觀測值之間並無運動軌跡。 謝南瑞教授談到, 這是愛因斯坦「不相信」量子力學的主要原因。 1960 年代, Edward Nelson 利用隨機微分方程來推導量子力學的結果。 他假設質量為 $m$ 的粒子, 進行擴散係數為 ${\hslash} =h/2\pi m$ ($h$: 普朗克常數) 且無摩擦的布朗運動, 且外力滿足牛頓定律 $F=ma$。 從而他仿古典力學導出薛丁格方程, 粒子具有連續軌跡。 謝教授評析機率觀點及隨機力學觀點。

梁惠禎
2024年12月