前言： 2025年是聯合國宣佈的國際量子科技年(IYQST)。 量子科技和量子力學的關連密切, 數學者如何看待此事？ 或許是個頗有意義的話題吧！？

以下, 僅就一個機率學者的角度, 對量子力學的「早期發展」 (也稱為「舊量子理論」) 作一個介紹。 所謂「早期發展」, 通常指 1900 年普朗克發表有關黑體輻射的論文為始, 而以 1927 年的第五屆 (註： 英文維基百科稱為第六屆) Solvay Conference 為終。 此屆會議的主題是電子和光子, 領導人物為波爾和愛因斯坦； 與會的 29 人中, 有 17 人曾獲或日後獲諾貝爾獎。

在此文中, 我們以下橫線表示可以在英文或中文維基百科中找到的名詞。 又, 為了讀者方便起見, 我們除了「眾所皆知」的人名用中文外, 其餘皆用英文表達。

有關機率和物理, 特別是相關於統計力學和量子力學的「哲學思想」, 我們推薦參考資料 的第六講。 再, 本文中, 在括號內有「註」字, 則代表作者的加註。

(一) 由古典力學到量子力學

牛頓在 1687 年提出巨著自然哲學的數學原理, 論述牛頓運動定律, 使數學和物理學進入一個「嶄新時代」。 經過二百多年的發展, 到了十九世紀末, 據說, 著名的物理學者 Lord Kelvin (William Thomson 1824$\sim$1907) 和 Albert Michelson (1852$\sim$1931, 1907 年獲諾貝爾物理學獎, 以量測光速而知名), 曾發表感嘆, 謂『將沒有主要的物理學研究課題了』 (註：我感謝台大物理學系高涌泉教授提示我這方面的知識)。 但是, 隨著普朗克的黑體輻射論述, 加上當時已知的雙狹縫實驗, 這些電子光子等「質量極微小」粒子的 波粒二象性, 「撼動」了古典力學 (註：乃至哲學, 甚至神學)。

必須說明的是, 古典物理學中的統計力學 (註：「統計」一詞很容易誤導, 實際上, 是「機率觀點的」才正確； 給我這箴言的, 是楊維哲老師。) 也是研究諸如氣體分子之類的微小粒子的運動, 但是統計力學的所有結論, 都是以所謂「take ensembles」, 即是作「平均」之後得出的「巨觀結論」, 這和波粒二象性這種「個別電子」的行為截然不同！

(二) 機率和量子力學的關係

首先, 我們釐清, 機率論中的不確定性, 指的是觀測「實存物」而產生的不確定性！ 由古早的丟銅板擲骰子, 而至布朗運動, 即花粉等微小粒子在顯微鏡下的觀測, 乃至於股票期權走勢 $\cdots$ 這些不確定性, 都是「實存物」的不確定性。 它們的「運動」都產生「運動軌跡」； 但是, 無法確定的是軌跡究竟 (註：在沒有「實現」前) 是什麼, 這和天體運動大相庭異。 因而, 有機率論的研究和論述出現。

然則, 依照到目前為止的量子物理學者觀點, 電子光子等, 是「不量測即不存在」！ 彼等在由一個「觀測值」到另一個「觀測值」之間, 沒有運動軌跡！這也是愛因斯坦由量子力學先驅之一變成 「不相信」量子力學的主要原因 (註： 我再次謝謝高涌泉教授的提示)。 相關的因果律, 有興趣的讀者不妨參考 。

(三) 量子力學的機率觀點

接受了 (二), 我們現在敘述目前被普遍接受的量子力學之機率觀點； 它是 Max Born (1882$\sim$1970) 於 1926 年提出的。 Born 在 1954 年因此觀點而獲諾貝爾物理學獎, 是「那個時代」的最後一位獲獎者。

為了簡明起見, 我們設量子系為含有 $n$ 個量子態的系統。 因此, 其數學架構為佈於複數系 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 維向量空間, 而每個量子態為單位長之向量 $\vec v=(v_1,\ldots,v_n)$, $\|\vec v\|^2=|v_{1}|^2+\cdots+|v_{n}|^2=1$。 最基本的, 是機率振幅 (probability amplitude) 的概念, 由量子態 $\vec v$ 躍遷到量子態 $\vec w$, 相應的機率振幅是內積 $\langle \vec v,\vec w\rangle=\sum_{i=1}^n v_i \overline{w_i}$ 的平方： $|\langle \vec v,\vec w\rangle|^2$。 何以稱為「機率」？ 乃因, $|\langle \vec v,\vec w\rangle|^2\ge 0$, 且,

\begin{align*} \Big(\Big|\sum_{i=1}^n v_i \overline{w_i}\Big|\Big)^2\le\,& \Big(\sum_{i=1}^n |v_i|^2\Big)\Big(\sum_{j=1}^n|w_j|^2\Big)\\ =\,&1, \end{align*}

上式中之 "$\le$" 的等號成立, 若且唯若 $\vec v=\pm \vec w$, 即 $\vec v,\vec w$ 兩者為同一量子態。

　一個可觀測量 (observable), 例如： 雙狹縫實驗中的分光儀, 是一個 $n$ 階自伴 (self-adjoint) 方陣： $A=\big[A_{ij}\big]_{i,j=1}^n$, $A_{ij}\in \mathbb{C}$, $A=\overline{A^t}$, $A^t$ 表 $A$ 的轉置方陣, $-$ 表示取共軛；亦即,

$$[a_{i,j} ]=[\overline{a_{j,i}}].$$

可證明：

若 $\lambda \in \mathbb{C}$ 為 $A$ 的一個非零特徵值, 即存在某非零 $\vec v \in \mathbb{C}^n$ 使 $A\vec v=\lambda \vec v$ ($\vec v$ 作一轉置), 則 $\lambda$ 必為實數。

Born 法則： 設可觀測量 $A$ 有 $n$ 個相異的非零特徵值 $\lambda_j$, $j=1,\ldots,n$, 每個 $\lambda_j$ 相應的特徵向量為 $\vec{v}_j$, 可設 $\vec{v}_j$ 之長度為 1, 是以其也是一量子態。 則, 對每個量子態 $\vec v$, 以 $A$ 量測 $\vec v$, 必得到某 $\lambda_i$, 且量測到 $\lambda_i$ 的機率是 $|\langle \vec v,{\vec v}_i\rangle|^2$.

證明： 可證對應於相異特徵值的特徵向量必正交。 是以, ${\vec v}_j$, $j=1,\ldots,n$, 構成 ${\Bbb C}^n$ 的一個正規基底。 每個量子態 $\vec v$ 皆有唯一的線性組合 (疊加) 表法,

$$\vec v = \sum_{j=1}^n c_j{\vec v}_j,\quad c_j=\langle \vec v,{\vec v}_j\rangle.$$

左右皆取 $A$,

\begin{align*} A\vec v=\,&\sum_{j=1}^n c_j \big(A(\vec v_j)\big) = \sum_{j=1}^n c_j (\lambda_j \vec v_j)\\ =\,&\sum_{j=1}^n(c_j \lambda_j){\vec v}_j. \end{align*}

上式即代表量測 $\vec v$ 獲得 $\lambda_j$ 的機率為 $|c_j|=|\langle \vec v,{\vec v}_j\rangle |^2$。

Q.E.D.

我們應了解, 上述的「數學證明」只是在已經完備了的量子力學的數學基礎下之數學陳述； 而後者是在 Dirac 1930 年書以及 von Neumann 1932 年書問世之後才建立 (註： von Neumann 書德文版在 1932 年即問世, 但我們熟知的是 1955 年的英文版)。

(四) 量子力學軼事

以下取材自 第 14 節。 1924 年, Louis de Broglie (1892$\sim$1987, 1929 年諾貝爾物理學獎得主) 提出物質波的理論, 愛因斯坦隨即寫了篇有關此理論的評論, 而薛丁格讀了愛因斯坦之評論。

依薛丁格的思路, 設我們有一粒子 (如一電子), 在一個有位勢 $V=V(t,x)$, $t\ge 0$ 且 $x=(x_1,x_2,x_3 )\in \mathbb{R}^3$, 的場中「運動」, 則薛丁格嘗試描述此運動為一個量 $\Psi=\Psi(t,x)$, 而此量循一個波動方程。 他設定此量依如下偏微分方程而振動：

$$\frac{\hslash ^2}{2m} \Delta \Psi+(E-V)\Psi=0.$$

上式中 ${\hslash} =h/2\pi$, 而 $h$ 是普朗克常數； 又, $E$ 扮演一能量特徵值的角色。 在此, $\Delta =\Delta _x$ 為對 $x$ 的 Laplace 算子。

注意： 式 \eqref{1} 相似於流體力學中的波動方程, 但是 $V$ 不是常數。 薛丁格碰到另一不同處, 而自述：

『我的「力學波」, 和流體問題比較起來, 缺少邊界條件。 當我研究這些問題時, 我想, 沒有邊界條件是個致命的簡化。 我無法想像, 沒有邊界條件, 如何適當地描述振動頻率；應是我未精通數學吧。』

或許, 我們可以認為, 此時, 薛丁格並沒有脫離「古典架構」； 他設定的式 \eqref{1} 並沒有虛單位 $i$。 縱然有這些疑慮, 薛丁格找到了氫原子對應的式 \eqref{1} 之特徵值和特徵函數； 於此時 \eqref{1} 中之 $V(t,x)=V(x)=-e^2/r^2$, 而 $r^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$, $x=(x_1,x_2,x_3)$； 且 $-e$ 表原子核的電荷。 他所得到的特徵值, 吻合當時已知的氫原子之離散能階。

有意思的是, 在薛丁格從事其研究不久之前, 海森堡的矩陣力學出現了 (1925年)。 海森堡建構了六個無窮矩陣 $Q_k$ 和 $P_j$； $j,k=1,2,3$； 而 $Q_k=Q_k (t)$, $P_j=P_j (t)$ 滿足如下關係式：

$$ P_j Q_k-Q_k P_j=\frac \hslash i \delta_{jk},$$

對所有 $t\ge 0$ 皆成立； $\delta _{jk}$ 表 Kronecker 符號。 這些矩陣 $P_j, Q_k$ 是古典力學中的動量和位置的「量子力學對應物」。 古典力學中的 Hamiltonian 和 Hamilton 方程式, 海森堡也列出對應的矩陣形式, 且能夠計算出非調和振子 (anharmonic oscillator) 的情況 (註： 這篇 1925 年海森堡的單人論文, 很快地由 Max Born 和 E. Pascual Jordan 增補, 而發展成矩陣力學的三篇基礎論文, 通常稱為「一人, 二人, 與三人論文」)。

薛丁格看到海森堡的論文, 忍不住地評論如下：

『我的理論, 是由 de Broglie 的論文和愛因斯坦對此論文之評論而啟迪。 開始時, 我完全沒有料到我的工作和海森堡之研究的任何關係。 我當然知道他的理論； 但是, 我覺得他使用的是困難的超越代數手法, 且缺乏深遂洞見； 甚至可說, 我有些排斥此研究。』

然而, 薛丁格很快地發現兩人的理論是數學一致的, 而且皆與實驗吻合！ 即, $Q_k$ 對應到坐標函數 $x_k$ 的乘積算符, 而 $P_j$ 對應到微方算符 $(\hslash/i) \partial /\partial x_j$, $k,j=1,2,3$。 這些, 在現今量子力學的教科書是開始教材；然而, 我們不要忘記, 1920 年代是「混沌時代」。

上述以及之前薛丁格的評論, 出自他一篇 1926 年比較自身工作和矩陣力學關係的論文。 此評論出現於論文的註腳, 並沒有列入本文； 或許, 這只代表他的一種心情發抒吧。 此論文和其它波動力學的原始論文的英譯版, 出現於 1928 年出版的 Collected Papers on Wave Mechanics。

(五) 由隨機力學至量子力學

在 1950$\sim$60 年代, 有一些機率和理論物理的研究者, 主要是 的作者 Edward Nelson (1932$\sim$2014), 有興趣於利用隨機微分方程來推導一些量子力學的基本結果； 隨機力學 (Stochastic Mechanics) 一詞, 出現於其論文 中。 以下, 主要取材於 的第 15 節, 且擇取其前面若干節。

假設, 某一微小粒子, 例如電子, 在某種介質 (例如, 乙太, 這是一種傳說中「無所不在」的介質, 類似道家中的「氣」。) 游動, 其在時間 $t\ge 0$ 的位置 $x=(x_1,x_2,x_3 )\in \mathbb{R}^3$ 為 $X=X(t,x)$； 且 $X$ 滿足以下的運動方程

\begin{align} dX(t)=b(t,X(t))dt+dW(t).\label{1} \end{align}

以上, $b$ 表此質點的 (平均) 速度場, 而 $W(t)$ 表在空間 $\mathbb{R}^3$ 中的 Wiener 過程 (它是布朗運動的數學模型, 有興趣的讀者或可參考 )。

我們假定, 此 Wiener 過程對應的「擴散係數」 $ϑ$ 形如

$ϑ =\dfrac{\hslash}{2m}$, $m$ 為粒子質量。

於此, 擴散係數一詞是源自 1905 年愛因斯坦的著名論文, 意義如下： 對任意兩時刻 $0\lt s\lt t$, 增量 $W(t)-W(s)$ 獨立於之前的過程 $W(r)$, $0\le r\le s$, 又, 我們考慮的運動並沒有跳躍, 因之, 數學上可證明, 對每個時刻 $t\gt0$, $W(t)$ 的機率密度函數是均值 0 的高斯密度函數

$$\frac 1{(4\pi Dt)^{3/2}} e^{-\frac{\|x\|^2}{4Dt}}, \quad \|x\|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2,$$

$x=(x_1,x_2,x_3 )$。 常數 $D$ 被愛因斯坦稱為擴散係數； 我們改以 $ϑ$ 表之。

令 $b_*$ 表 $b$ 的「時間反向」速度場, 且令 $a$ 表「加速度場」

$$a=\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{b+b_*}2\Big)+ \frac 12 (b\cdot \nabla_x ) b_*+\frac 12 (b_*\cdot \nabla_x )b+ϑ \Delta_x \Big(\frac{b-b_*}2\Big).$$

在此, 我們先說明： $b$ 和 $a$ 稱為速度和加速度, 乃因彼等是符合 \eqref{1} 所定出之 $X(t)$ 的對時間 $t$ 之「一次導數二次導數 (微分) 」, 這在 中已有敘明 (當然, 因 $X$ 為一個隨機過程, 所以微分必須適當地定義)。

仿古典力學, 我們設所在的場有一外力 $F$, 且 $F$ 為某位勢場 $V=V(t,x)$ 所決定： $F=-\nabla_xV$； $\nabla_x$ 對 $x$ 的梯度算子。 又 $F$ 和 $a$ 滿足 $a=F/m$； $m$ 為所討論之粒子的質量 (註： 細心的讀者或許會問： 電子是有一微小質量, 但光子是個量子物質, 怎麼沒人討論過它的質量？ 正確的答案是： 光子的「靜」質量為 0, 但它有個「動」質量。)

將上述的各假設代入 $u=\frac{b-b_*}{2}$, 和 $v=\frac{b+b_*}{2}$ 且進行適當的計算, 我們可獲得一個偏微分方程組：

\begin{align} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\hslash^2}{2m} \nabla_x ({\rm div}\,v)-\nabla_x (v\cdot u),\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial t}=-\dfrac 1m \nabla_x V-(v\cdot \nabla_x)v+(u\cdot \nabla_x)u+\dfrac{\hslash^2}{2m} \Delta_x u. \end{array}\right. \label{2} \end{align}

注意： \eqref{2} 中, $v\cdot\nabla_x$ 表算子 $v_1 \dfrac{\partial}{\partial x_1}+v_2 \dfrac{\partial}{\partial x_2}+v_3 \dfrac{\partial}{\partial x_2}$, $u\cdot \nabla_x$ 亦然。 又 $\Delta_x u=(\Delta _x u_1,\Delta _x u_2$, $\Delta _x u_3 )$。

當給定始值 $u(x,0)$ 和 $v(x,0)$, 我們必須解個始值問題； 但 \eqref{2} 所定義出的方程組是非線性, 且 \eqref{2} 中上下兩方程彼此有關！

此始值問題之解法如下： 令 $X(t)$ 的機率密度函數為 $\rho \!=\!\rho (t,x)$, $t\!\gt\!0$ 且 $x\!\in\!\mathbb{R}^3$, 且令

$$R=\frac 12 \ln\rho .$$

可證,

$$\nabla_x R=\frac{m}{\hslash} u.$$

亦即, $u$ 為 $R$ 的梯度函數。 我們設： 有某個 $S$, 使 $v$ 也是 $S$ 的梯度函數； 且表成

$$\nabla_x S=v.$$

現在, 考慮 $\Psi=\Psi(t,x)$ 定義為

\begin{align} \Psi=e^{R(t,x)+iS(t,x)},\quad t\gt0\ \hbox{且}\ x\in\mathbb{R}^3.\label{3} \end{align}

則可將方程組 \eqref{2} 轉化成一個線性偏微分方程式：

\begin{align} \frac{\partial\Psi}{\partial t}=i \frac{\hslash}{2m} \Delta _x \Psi-i \frac 1{\hslash} V\Psi+i\alpha (t)\Psi.\label{4} \end{align}

上式中, $\alpha (t)$ 表一個只是時間 $t$ 的函數； 對每個時刻 $t$, 它是對空間變數 $x\in\mathbb{R}^3$ 為定值。 此 $\alpha (t)$ 來自我們假設 $v$ 為某個 $S$ 的梯度函數, 亦即 $v(t,x)=\nabla_x S(t,x)$； 由反導數的唯一性, 若有兩個這種 $S_i (t,x)$, 則 $S_1 (t,x)=S_2 (t,x)+\alpha (t)$, $i=1,2$.

由 $\Psi(t,x)$ 的定義式 \eqref{3},

$$\overline{\Psi}(t,x)\Psi(t,x)=e^{2R(t,x)}=\rho (t,x).$$

但 $\rho (t,x)$ 表為 $X(t)$ 的機率密度函數, 是以,

$$\int_{x\in \mathbb{R}^3}\overline{\Psi}(t,x)\Psi(t,x)dx= 1,\qquad\forall\ t \gt 0.$$

上式, 即代表對每個時刻 $t, x\to \overline{\Psi}(t,x)\Psi(t,x)$, $x\in\mathbb{R}^3$, 為一個機率密度函數, 即 $\Psi(t, x)$ 為一個機率振幅。 讀者可參考第 (三) 節, 機率振幅的概念。

當我們取 $\alpha (t)=0$ 時, \eqref{4} 即為一般量子力學教材中出現的薛丁格方程式。

結語： 在本文中, 我們論述了兩個機率和量子力學的關連。 Max Born 所提出的量子力學機率觀點, 現在早已是相關教科書的基礎教材。 Edward Nelson 所提的利用隨機過程來討論量子力學, 似乎沒有物理學者的迴響。 然則, 我們仍可以說, 機率的概念及手法, 仍是物理學者的基本數學方法之一； 例如, Max Born 在他的 1954 年諾貝爾獎受獎演說 中, 就引用了遷移機率 (transition probability)； 這在他 1926 年的原始論文 中, 並沒有出現； 當然, 在 1920 年代, 機率論本身也在發展成形期。 在 1935 年的 EPR 悖論以及 1964 年的 Bell 不等式, 和之後發展出來的量子糾纏 (quantum entanglement) 理論, 機率也扮演一個基本角色。

另一方面, 若干機率學者, 發展量子機率論, 著重於量子算符的非可交換性。 美國數學會的數學主題分類, 也將量子理論列為主題之一。 機率論中的一些著名研究, 例如隨機漫步和布朗運動, 在「量子化」之後, 和古典情形的對比, 也是目前機率學者的興趣所在。

參考文獻

本文作者為台灣大學數學系退休教授