量子電腦能同時處理 $2^n$ 個量子態, 因此在某些問題上遠比傳統電腦高效。 現有公開金鑰系統可被 Shor 演算法在多項式時間內破解。 後量子密碼學 (Post-Quantum Cryptography, PQC) 致力於建立能夠抵抗量子電腦攻擊的公鑰密碼系統。 周彤教授介紹後量子密碼學的最新發展, 說明量子電腦對現有密碼系統的威脅、 NIST 的標準化進程, 以及他在後量子密碼學領域的研究成果。 他指出未來值得投入的方向： 橢圓曲線同源密碼學、「腦內多方計算」簽章, 以及代數攻擊。

看似簡單的組合填表問題, 背後蘊含深刻的代數與幾何結構。 劉士瑋博士以「在方格中填入遞增數字的組合問題」為起點, 逐步引入 Catalan 數、 鉤長公式、 對稱函數、 Schur 函數、 Kostka 數、 Macdonald 常數項公式, 闡述一條從初等組合到現代代數的知識鏈。

數學與詩在思維方式、 結構追求與直觀本質上具有深刻共通性。 為何許多數學家喜歡詩、甚至寫詩？ 何崇武教授以自身經驗與廣泛例證提出說明, 首先是結構感的共鳴： 詩的格律與數學的邏輯架構相似； 數學家因習慣尋找「結構」, 因此更能欣賞詩的形式之美。 其次是直觀的共同性： 兩者皆依賴深層直覺與類比； 文末引用物理學家 Peterson 的研究, 指出但丁《神曲》中的宇宙模型竟與廣義相對論的封閉宇宙相吻合, 反映詩人與科學家在「深層直觀」上可能相通。 第三是語言的精煉： 詩與數學都追求最簡潔的表達方式。 第四是情感與理性的互補： 詩補足數學無法觸及的價值、目的與情感層面。

何教授在文末介紹了超現實數 (surreal number) 及劉維爾數 (Liouville number)。 John Conway 以遞迴方式從空集合構造出超現實數, 這是一個包括實數、 無窮小量、 超限序數的龐大有序域。 其構造方法本身極具美感, 並與博弈論相關。 劉維爾數是一類能被有理數「極佳近似」的超越數。 Liouville 以階乘分母的小數展開構造出的超越數, 其數量不可數。 這些數在數軸上測度為零, 但結構極為豐富。

冼鏡光探討《幾何原本》中與畢氏定理相關的四個命辭, 包括畢氏定理本身、 餘弦定律的幾何版本、 以相似三角形分割直角三角形, 以及相似多邊形版本的畢氏定理。 冼教授說明這四個命辭如何構成一個完整的幾何體系, 為畢氏定理與餘弦定律提供幾何基礎。 他同時回顧了歷史上不同證明方法的演變。

冼教授提出「歐基里德剪刀」這個現代名稱, 指的是在三角形每個頂點構造兩個面積相等的三角形 (由邊與正方形邊組成)。 他進一步解釋, 「剪刀算法」可用來證明畢氏定理及餘弦定律, 而早在 17 世紀, 耶穌會學者已使用剪刀法證明了餘弦定律。

梁惠禎
2026年3月