蘭勃特 (Lambert, 1728$\sim$1777) 定理是平面解析幾何中的著名定理, 它有著較多的證明方法。 本文採用極座標法證明, 不僅思路簡捷、 證題明快, 而且富有規律、 不需添輔助線, 此法對於拓寬視野、 啟迪思維、 提高證題能力和解題速度都有一定作用。

蘭勃特定理 求證： 抛物線的外切三角形的外接圓必過其焦點。

證明1: 如圖 1, 以焦點 $F$ 為極點, 過 $F$ 作準線 $L$ 的垂線, 其反向延長線 $FX$ 為極軸建立極座標系。 則抛物線的極座標方程為 $\rho=\dfrac{P}{1-\cos\theta}$。

 

設 $A_i$ $(i=1,2,3)$ 為抛物線上任意三點, 其極角分別為： $\theta_1,\theta_2,\theta_3$。 過 $A_i$ $(i=1,2,3)$ 三點的切線方程為：

\begin{align} \frac{P}{\rho}=\,&\cos(\theta-\theta_1)-\cos \theta,\label{1}\\ \frac{P}{\rho}=\,&\cos(\theta-\theta_2)-\cos \theta,\label{2}\\ \frac{P}{\rho}=\,&\cos(\theta-\theta_3)-\cos \theta.\label{3}\\ \therefore\ \eqref{1}\!-\!\eqref{2},& \ \hbox{得} \ \cos(\theta-\theta_1)-\cos (\theta-\theta_2)\nonumber\\ \therefore \ \theta-\theta_1=\,&2n\pi\pm (\theta-\theta_2)\ \hbox{$(n\in$ 整數)}\nonumber \end{align}

而 $A_2$, $A_3$ 是不同的兩點, 故上式括弧前不能取正號, 因此有 $\theta-\theta_1=2n\pi- (\theta-\theta_2)$, $\therefore \ n\pi+\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}$, 取 $n=0$, 則 $\theta=\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}$, 將其再代入 \eqref{1} 或 \eqref{2} 中, 即可求得

\begin{align*} \rho=\,&\frac{P}{\cos\Big(\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}-\theta_1\Big)-\cos\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}} =\frac{P}{\cos\dfrac{\theta_2-\theta_1}{2}-\cos\dfrac{\theta_2+\theta_1}{2}} =\dfrac{P}{2\sin\dfrac{\theta_1}{2}\sin\dfrac{\theta_2}{2}}\\ =\,&\frac P2\csc\frac{\theta_1}{2}\csc\frac{\theta_2}{2}.\end{align*}

因此得過 $A_1$ 和 $A_2$ 兩切線交點的座標為： $B_1\Big(\dfrac P2\csc\dfrac{\theta_1}{2}\csc\dfrac{\theta_2}{2},\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}\Big)$。

同理由輪換性可得 $B_2$ 和 $B_3$ 的座標分別為：

$$B_2\Big(\dfrac P2\csc\dfrac{\theta_2}{2}\csc\dfrac{\theta_3}{2},\dfrac{\theta_2+\theta_3}{2}\Big),\quad B_3\Big(\dfrac P2\csc\dfrac{\theta_3}{2}\csc\dfrac{\theta_1}{2},\dfrac{\theta_3+\theta_1}{2}\Big).$$

顯然 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點的座標滿足圓的方程：

$$\rho=\dfrac P2\csc\dfrac{\theta_1}{2}\csc\dfrac{\theta_2}{2}\csc\dfrac{\theta_3}{2}\sin\Big(\dfrac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2}-\theta\Big).$$

這表示半徑為 $R=\dfrac P4\csc\dfrac{\theta_1}{2}\csc\dfrac{\theta_2}{2}\csc\dfrac{\theta_3}{2}$, 圓心為 $O\Big(R,\dfrac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2}\Big)$ 的 $\triangle B_1B_2B_3$ 的外接圓。 由於焦點 $F$ 是極點, 故圓心與焦點的連線 $|OF|=R=$ 圓心 $O$ 的極徑, 所以此圓過抛物線的焦點。

證明2: 如圖 2, 以焦點 $F$ 為極點, 過 $F$ 作準線 $L$ 的垂線的延長線為極軸建立極座標系。 則抛物線的極座標方程為 $\rho=\dfrac{P}{1+\cos\theta}$,

 

設 $A_i$ 為抛物線上任意三點, 其極角分別為 $\theta_i$ $(i\!=\!1,2,3)$ 於是過 $A_i$ 三點的切線方程分別為：

\begin{align} \frac{P}{\rho}=\,&\cos(\theta-\theta_1)-\cos \theta,\label{4}\\ \frac{P}{\rho}=\,&\cos(\theta-\theta_2)-\cos \theta,\label{5}\\ \frac{P}{\rho}=\,&\cos(\theta-\theta_3)-\cos \theta.\label{6}\\ \therefore\ \hbox{仿照證明 1},&\ \eqref{4}\!-\!\eqref{5}, \ \hbox{得} \ \theta=\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}\nonumber \end{align}

將其代入 \eqref{4} 或 \eqref{5} 中, 可求得

$$\rho=\dfrac{P}{2\cos\dfrac{\theta_1}{2}\cos\dfrac{\theta_2}{2}}=\dfrac{P}{2}\sec\dfrac{\theta_1}{2}\sec\dfrac{\theta_2}{2}.$$

因此可得兩切線兩兩交點的座標分別為： $B_1\Big(\dfrac P2\sec\dfrac{\theta_1}{2}\sec\dfrac{\theta_2}{2},\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}\Big)$,

$$B_2\Big(\dfrac P2\sec\dfrac{\theta_2}{2}\sec\dfrac{\theta_3}{2},\dfrac{\theta_2+\theta_3}{2}\Big),\quad B_3\Big(\dfrac P2\sec\dfrac{\theta_3}{2}\sec\dfrac{\theta_1}{2},\dfrac{\theta_3+\theta_1}{2}\Big).$$

顯然 $B_1$、 $B_2$、 $B_3$ 三點的座標滿足圓的方程：

$$\rho=\dfrac P2\sec\dfrac{\theta_1}{2}\sec\dfrac{\theta_2}{2}\sec\dfrac{\theta_3}{2}\cos\Big(\theta-\dfrac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2}\Big).$$

這表示半徑為 $R=\dfrac P4\sec\dfrac{\theta_1}{2}\sec\dfrac{\theta_2}{2}\sec\dfrac{\theta_3}{2}$, 圓心為 $O\Big(R,\dfrac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2}\Big)$ 的 $\triangle B_1B_2B_3$ 的外接圓。 由於焦點 $F$ 是極點, 故圓心與焦點的連線 $|OF|=R=$ 圓心 $O$ 的極徑。 所以此圓過抛物線焦點。

綜上所述, 應用極座標法證明蘭勃特定理, 其實是證明四點共圓的問題, 其關鍵在於正確選擇座標系, 巧妙運用兩切線交點座標的輪換性, 求得圓的方程, 然後說明抛物線焦點的座標滿足圓的方程即可。

此法不僅思路簡捷, 證題明快, 而且富有規律, 不添加輔助線, 因而對於開闊視野、 提高證題水平均有一定作用。

參考文獻

本文作者中國江蘇省泰州中學附屬初級中學退休教師