摘要: 以探究玫瑰線的形成、 性質、 應用為例, 闡釋動態數學軟體與數學教學的融合, 例析 GeoGebra 在學生自主探索, 發現問題、 分析問題、 解決問題中的應用。

關鍵字: 動態數學軟體GeoGebra、 自主探究、 玫瑰線、 擺線。

《普通高中課程方案》要求注重培養學生在學習上的自主探究, 鼓勵學生運用資訊技術分析問題、 解決問題。 圍繞玫瑰線 (rose curve), 我們組織了一次數學探究活動, 運用 GeoGebra 探究玫瑰線的性質及應用, 讓學生在主動獲取知識、 經歷深度學習的過程中, 提升綜合能力, 發展核心素養。

1. 初識玫瑰線

我們知道, $\rho =\cos \theta$ 表示圓, 那麼當正整數 $m$ 變化時, $\rho =\cos m\theta$ 表示的曲線如何變化？ 對這一問題, 我們引導學生運用 GeoGebra 進行探究。

為了顯示多條曲線及對應方程, 可運用序列和平移等指令以及取整函數。 令

\begin{align*} \hbox{m}=\,&\hbox{slider}(1,30,1)\\ \hbox{l1}=\,&\hbox{sequence}\Big(\hbox{translate}\Big(\hbox{curve}\Big(\big(\cos (n\theta );\theta \big),\theta ,0,2\pi\Big),\\ &\hbox{vector}\Big( 2.5\Big(n-1-5\hbox{floor}\big(\frac{n-1}5\big)\Big)-2.5,6-2.5\hbox{floor}\Big(\frac{n-1}5\Big)\Big)\Big),n,1,m\Big),\\ \hbox{l2}=\,&\hbox{sequence}\Big(\hbox{text}\Big(\rho =\cos +(n)+\theta,\\ &\Big(2.5 \Big(n-1-5\hbox{floor}\big(\frac{n-1}5\big)\Big)-3,-2.5\hbox{floor}\big(\frac{n-1}5\big)+4.7\Big),\hbox{true},\hbox{true}\Big),n,1,m\Big). \end{align*}

啟動滑動條 $m$, 便可得到方程 $\rho =\cos m\theta $, $m=1,2,\ldots,n$ 對應的曲線 (具體的動態圖及指令見 固定值)。

圖 1 為 $n=20$ 時的情形。 如果為 l1 設置上顏色, 則曲線多姿多彩, 特別漂亮。 曲線 $\rho =\cos m\theta$ 形似玫瑰, 故常被稱為玫瑰線。 顯然 $\rho =\sin m\theta$ 對應的曲線也為玫瑰線。

 

2. 初探玫瑰線

由圖 1, 我們不難發現玫瑰線 $\rho =\cos m\theta$ 的圖形規律： 當 $m$ 為偶數時, 玫瑰線有 $2m$ 瓣葉面, 最小正週期為 $2\pi $, 對稱軸為極軸所在直線和極垂線 (過極點且和極軸垂直的直線); 當 $m$ 為奇數時, 玫瑰線有 $m$ 瓣葉面, 最小正週期為 $\pi $, 對稱軸為極軸所在直線。

為什麼 $m$ 的奇偶性對應的玫瑰線葉瓣數規律不同呢？ 這個問題很誘人,大大激發了學生的探究欲望。

我們可引導學生從 $\rho =\cos m\theta$ 和 $\rho =\cos \theta$ 的聯繫角度進行探討。 曲線是由點構成的。 在曲線 $\rho =\cos \theta$ 上任取一個非極點 $N$, 設其極座標為 $(\rho_0;\theta_0)$, 於是點 $(\rho_0;\frac{\theta_0}m)$ 就在曲線 $\rho =\cos m\theta$ 上。 但是點的極座標具有多樣性, $\big((-1)^k \rho_0;\theta_0+k\pi \big)$ 和 $N$ 表示同一個點, 因此集合 $A=\Big\{\big((-1)^k \rho_0;\dfrac{\theta_0+k\pi}m\big)\mid k\in Z\Big\}$ 中的點都在曲線 $\rho =\cos m\theta$ 上。

(1) 當 $m$ 為偶數時, 集合 $A$ 中有 $2m$ 個不同的元素, 即 $k=0,1,2,\ldots,2m-1$ 時對應的點。 這是因為, 一方面 $k=i$ 對應的點 $\big((-1)^i \rho_0;\dfrac{\theta_0+i\pi}m\big)$ 和 $k=i+2m$ 對應的點 $\big((-1)^{i+2m} \rho_0;\dfrac{\theta_0+(i+2m)\pi}m\big)=\big((-1)^i \rho_0;\dfrac{\theta_0+i\pi}m+2\pi \big)$ 是同一點。

另一方面, 當 $0\le l\lt l+\Delta \le 2m-1,l$, $\Delta \in Z$ 時, $k=l$ 對應的點 $\big((-1)^l \rho_0;\dfrac{\theta_0+l\pi}m\big)$ 和 $k\!=\!l\!+\!\Delta$ 對應的點 $\Big((-1)^{l+\Delta} \rho_0;\dfrac{\theta_0\!+\!(l\!+\!\Delta )\pi}m\Big)$, 即 $\big((-1)^l \rho_0 (-1)^\Delta ;\dfrac{\theta_0+l\pi}m+\dfrac{\Delta \pi}m\big)$ 不同。 因為 $\Delta =m$ (偶數) 時, $L$ 和 $L'$ 的極徑相同, 極角相差平角, 兩點顯然不同。 當 $\Delta \not= m$ 時, 易知 $L$ 和 $L'$ 的極角不共線, 兩點不同。

(2) 當 $m$ 為奇數時, 集合 $A$ 中有 $m$ 個元素, 即為 $k=0,1,2,\ldots,m-1$ 對應的點。 這是因為, 一方面 $k=i$ 對應的點 $\big((-1)^i \rho_0;\dfrac{\theta_0+i\pi}m\big)$ 和 $k=i+m$ 對應的點 $\big((-1)^{i+m} \rho_0$; $\dfrac{\theta_0+(i+m)\pi}m\big)$, 即 $\big(-(-1)^i \rho_0;\dfrac{\theta_0+i\pi}m+\pi\big)$ 顯然是同一點。 另一方面, 當 $0\le l\lt l+\Delta \le m-1$, $l,\Delta \in Z$ 時, $k=l$ 對應的點 $\big((-1)^l \rho_0;\dfrac{\theta_0+l\pi}m\big)$, $k=l+\Delta$ 對應的點 $\big((-1)^{l+\Delta} \rho_0;\dfrac{\theta_0+(l+\Delta )\pi}m\big)$, 即 $\big((-1)^l \rho_0 (-1)^\Delta ;\dfrac{\theta_0+l\pi}m +\dfrac{\Delta \pi}m\big)$, 這兩個點的極角顯然不共線, 因此兩點不同。

以上討論表明, 當 $m$ 為偶數時, 圓 $\rho =\cos \theta$ 上的一個點 (非極點) 和曲線 $\rho =\cos m\theta$ 上的 $2m$ 個點對應。 我們將圓 $\rho =\cos \theta$ 上每個點的非負極徑不變, $\big(-\dfrac \pi 2,\dfrac \pi 2\big)$ 內的極角變為原來的 $\dfrac 1m$, 以此"將圓壓扁", 就可得到曲線 $\rho =\cos m\theta$ 的一頁花瓣, 再將其繞著極點逆時針旋轉 $i\cdot \dfrac{\pi}m$ ($i=1,2,\ldots,2m-1$), 即可得到其他的 $2m-1$ 頁花瓣。

同樣地, 當 $m$ 為奇數時, 圓 $\rho =\cos \theta$ 上的一個點和曲線 $\rho =\cos m\theta$ 上的 $m$ 個點對應, 我們將圓 $\rho =\cos \theta$ 上每個點的非負極徑不變, $(-\dfrac \pi 2,\dfrac \pi 2)$ 內的極角變為原來的 $\dfrac 1m$, 即可得到曲線 $\rho =\cos m\theta$ 的一頁花瓣, 再將其繞著極點逆時針旋轉 $i\cdot \dfrac {2\pi} m$ ($i=1,2,\ldots,m-1$), 即可得到其他的 $m-1$ 頁花瓣。

理解了花瓣數之後, 週期也就好理解了。 事實上, 當 $m$ 為奇數時, 設 $P(\rho_0,\theta_0)$ 為曲線 $\rho =\cos m\theta$ 上的點, 即 $\rho_0=\cos (m\theta_0)$, 則 $\cos\big(m(\theta_0+\pi )\big)=-\cos(m\theta_0)=-\rho_0 $, 而 $P'(-\rho_0,\theta_0+\pi )$ 和 $P(\rho_0;\theta_0)$ 是同一點。 所以, 當 $m$ 為奇數時, $\pi$ 為玫瑰線 $\rho =\hbox{acos}(m\theta )$ 的週期。

當 $m$ 為偶數時, 設 $P(\rho_0;\theta_0)$ 為曲線 $\rho =\cos m\theta$ 上的點, 即 $\rho_0=\cos (m\theta_0)$, 則 $\cos\big(m(\theta_0+\pi )\big)=\cos (m\theta_0)=\rho_0 $, $\cos\big(m(\theta_0+2\pi )\big)=\cos (m\theta_0)=\rho_0$, 而 $P'(\rho_0;\theta_0+\pi )$ 和 $P(\rho_0;\theta_0)$ 不是同一點 (當 $\rho_0\not= 0$ 時), $P''(\rho_0;\theta_0+2\pi )$ 和 $P(\rho_0;\theta_0)$ 是同一點。 因此, 當 $m$ 為偶數時, $\pi$ 不是玫瑰線 $\rho =\hbox{acos}(m\theta )$ 的週期, 但 $2\pi$ 是週期。

對稱性的證明類似。 設 $P(\rho_0;\theta_0)$ 為玫瑰線 $\rho =\cos m\theta$ 上的點, 由 $\cos\big(m (-\theta_0 )\big)=\cos m\theta_0=\rho_0$ 知, $P$ 關於極軸直線的對稱點 $P'(\rho_0;-\theta )$ 也在玫瑰線上。 所以, $\rho =\cos (m\theta )$ 關於極軸直線對稱。 而由

$$\cos m(\pi-\theta_0)=\cos(m\pi-m\theta_0)=\left\{\begin{array}{lcl} \cos m\theta_0=\rho_0, &&m\ \hbox{為偶數},\\ -\cos m\theta_0=-\rho_0, &&m\ \hbox{為奇數。}\end{array} \right.$$

知, 當 $m$ 為偶數時, 玫瑰線關於極垂線對稱； $m$ 為奇數時, 玫瑰線不關於極垂線對稱。

3. 再探玫瑰線

當 $m$ 是分數時, $\rho =\cos m\theta$ 對應的曲線是什麼樣子？ 有什麼規律呢？ 我們可以繼續用 GeoGebra 進行探討 (具體的動態圖及指令見 固定值).

由圖 2, 我們不難發現玫瑰線 $\rho =\cos \dfrac{n\theta}m$ ($n,m$ 為互質的正整數, $n\gt m\ge 2$) 的變化規律： 當 $n,m$ 均為奇數時, 玫瑰線有 $n$ 瓣葉面, 最小正週期為 $m\pi $, 曲線關於極軸直線 (極軸所在直線)對稱。 當 $n,m$ 為一個奇數一個偶數時, 玫瑰線有 $2n$ 瓣葉面, 最小正週期為 $2m\pi $, 曲線關於極軸直線和極垂線對稱。

 

由圖 3, 我們不難發現, $m\gt n\gt1$ 時玫瑰線 $\rho =\cos \dfrac{n\theta}m$ ($n,m$ 為互質的正整數) 的花瓣較 $n\gt m\ge 2$ 時要大好多, 但是花瓣數、 週期及對稱性的規律仍然保持不變。

 

顯然, 玫瑰線的花瓣數就是 $\rho =\cos \dfrac{n\theta }m$ 和圓 $\rho =1$ 的公共點的個數。 我們以此來探討花瓣數的規律。

$$\cos \frac{n\theta}m=1\ \Rightarrow \ \frac{n\theta}m=2k\pi \ \Rightarrow\ \theta =2k\pi \cdot \frac mn,\quad k\in Z.$$

於是, 由 $2(k+n)\pi \cdot \dfrac mn=2k\pi \cdot \dfrac mn+2m\pi$ 及 $2k_1 \pi \cdot \dfrac mn-2k_2 \pi \cdot \dfrac mn=2(k_1-k_2 )\pi \cdot \dfrac mn \not= 2i\pi$, ($1\le k_2\lt k_1\le n$, $k_1,k_2,i\in Z$) 知, 玫瑰線 $\rho =\cos \dfrac{n\theta}m$ 上的最大極徑點共 $n$ 個, 且可以排成點列：

\begin{align*} &\qquad A=\{(1;2k\pi \cdot \frac mn)\}, \ \hbox{其中},\ k=1,\ldots,n,\\ \cos \frac{n\theta}m=\,&-1\ \Rightarrow\ \frac{n\theta}m=(2k+1)\pi \ \Rightarrow\ \theta =(2k+1)\pi \cdot \frac mn ,\ k\in Z. \end{align*}

於是, 由 $\dfrac{(2(k+n)+1)m\pi}n=\dfrac{2(k+1)m\pi}n+2m\pi$ 及 $(2k_1+1)\pi \cdot \dfrac mn -(2k_2+1)\pi \cdot \dfrac mn =2(k_1-k_2 )\pi \cdot \dfrac mn \not= 2i\pi$ ($1\le k_2\lt k_1\le n$, $k_1,k_2,i\in Z$) 知, 玫瑰線 $\rho =\cos \dfrac{n\theta}m$ 的最小極徑點共 $n$ 個, 且可以排成 $n$ 元點列：

$$B=\{(-1;(2k+1)\pi \cdot \frac mn )\},\ \hbox{其中},\ k=1,\ldots,n.$$

玫瑰線 $\rho =\cos \dfrac{n\theta}m$ 和圓 $\rho =1$ 的公共點的個數即為花瓣數, 而這顯然取決於 $A\cup B$ 的元素個數。 為此, 我們考察 $A$ 中的第 $k$ 個點和 $B$ 中的第 $k'$ 個點是否重合, 設

$$a=(2k+1)\pi \cdot \frac mn -2k'\pi \cdot \frac mn =\big(2(k-k')+1\big)\pi \cdot \frac mn.$$

如果 $m,n$ 均為奇數, 當 $k\ge \frac{n-1}2$ 時, 令 $k'=k-\frac{n-1}2$； 當 $k\lt\frac{n-1}2$ 時, 令 $k'=\frac{n-1}2-k$。 此式, $a=m\pi$ 或 $a=-m\pi $, 點列 $A$ 中的第 $k$ 個點和 $B$ 中的第 $k'$ 個點重合。 因此, $A\cup B$ 的元素個數為 $n$。

如果 $m,n$ 中只有一個奇數, 則易知, 對任意 $u\in Z$, $a\not= (2u+1)\pi $, 所以, $A$ 和 $B$ 中不存在相同點, 從而, $A\cup B$ 為 $2n$ 元集。

據此, 我們就可以斷定, 對於 $\rho =\cos \frac{n\theta}m$ ($n,m$ 為互質的正整數), 當 $n,m$ 為均為奇數時, 有 $n$ 瓣葉面； 當 $n,m$ 為一個奇數一個偶數時, 有 $2n$瓣葉面。

當 $m$ 為無理數時, 曲線 $\rho =\cos m\theta$ 上的極徑最大點構成的集合 $P=\{(1;\frac{2k\pi}m)\mid k\in Z\}$ 和極徑最小點構成的集合 $Q=\{(-1;\frac{(2k+1)\pi}m)\mid k\in Z\}$ 顯然都是無窮集。 因此, 玫瑰線 $\rho =\cos m\theta$ ($m\in R$) 的花瓣數為無窮大。 在作圖軟體中, 無理數一般是用小數近似表示的。 對於曲線 $\rho =\cos (\sqrt{2} \theta )$, 當我們提高系統的精確度, 並擴大變數 $\theta$ 的範圍時, 就會發現曲線的花瓣數急速增加。

4. 玫瑰線與擺線

當一個動圓繞著另一個定圓在其外部 (或內部)旋轉時, 動圓上的定點可形成漂亮的曲線。 此曲線就是擺線(cycloid)。 當定點不在動圓上, 而在動圓的外部時, 軌跡被稱為長幅擺線(prolate cycloid)； 當定點在動圓的內部時, 軌跡被稱為短幅擺線(curtate cycloid). 長幅擺線和短幅擺線統稱為變幅擺線(variable amplitude cycloid)。 變幅擺線可視為擺線的一般化。 利用 GeoGebra,我們可方便地作出圓滾動形成擺線或變幅擺線的動圖 固定值。

設圓心為 $O(0,0)$, 半徑為 $R$ 的定圓上有動點 $P$, 在 $OP$上取 $O_1$, 使得 $PO_1=r$, 以 $O_1$ 為圓心, 經過點 $P$ 作圓。 再將 $P$ 繞著 $O_1$旋轉 $\frac Rr \alpha$ 後所得點記為 $M$, 在 $O_1 M$ 上取點 $Q$, 使得 $O_1 Q=h$。

我們啟動點 $P$, 將 $M$ 設為跟蹤, 即可得到其軌跡 ⸺ 擺線。 若將 $Q$ 點設為跟蹤, 則可得到其軌跡 ⸺ 變幅擺線。

特殊地, 我們取 $R\!=\!1$, $r\!=\!-\frac 13$, $h\!=\!\frac 23$, 我們會神奇地發現$Q$點的軌跡似乎為三葉玫瑰線。

事實上, 玫瑰線就是一種特殊的變幅擺線, 特殊在 $h=R+r$。 下面, 給出嚴格證明。

當 $r\lt0$ 時, 如圖 4, 設 $A(R,0)$, $\angle AOP=\alpha $, $\angle PO_1 Q=\frac Rr \alpha $。 設 $Q$ 點的極座標為 $(\rho ;\theta )$。 由 $h=R+r$ 知, $|OO_1|=|O_1 Q|$, 於是 $\theta =\alpha +\frac R{2r}\alpha $, $\alpha =\dfrac 1{1+\dfrac R{2r}} \theta $, 且

\begin{align*} \rho =\,&OQ=2|OO_1|\cos\Big(\dfrac R{2r} \alpha \Big)\\ =\,&2(R+r)\cos\Big(\frac R{2r}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac R{2r}}\theta\Big) \\ =\,&2(R+r)\cos\Big(\dfrac 1{1+\dfrac {2r}R} \theta \Big). \end{align*}

 

這顯然是玫瑰線的方程。 特殊地, 當 $R=1$, $r=-\frac 13$, $h=\frac 23$ 時, 變幅擺線方程為 $\rho =\frac 43 \cos 3\theta $, 對應曲線為三葉玫瑰線； 當 $R=1$, $r=-\frac 14$, $h=R+r=\frac 34$ 時, 變幅擺線方程為 $\rho =\frac 32 \cos 2\theta $, 對應曲線為四葉玫瑰線。

當 $r\gt0$ 時, 如圖 5, 設 $Q$ 點的極座標為 $(\rho ;\theta )$。 則 $\theta =\alpha -\Big(\frac \pi 2-\frac R{2r}\alpha \Big)=\alpha +\frac R{2r} \alpha -\frac \pi 2$, 於是 $\alpha =\dfrac 1{1+\dfrac R{2r}}(\theta +\frac \pi 2)$, 於是

\begin{align*} \rho =\,&OQ=2|OO_1 |\sin\Big(\frac{R}{2r}\alpha \Big)\\ =\,&2(R+r)\sin\Big(\frac R{2r}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac R{2r}}\big(\theta +\dfrac {\pi}2\big)\Big)\\ =\,&2(R+r)\sin\Big(\dfrac 1{1+\dfrac{2r}R}\big(\theta +\frac \pi 2\big)\Big). \end{align*}

 

這顯然也是玫瑰線的方程。 特殊地, $R\!=\!1$, $r\!=\!\frac 12$, $h\!=\!\frac 32$ 時, 變幅擺線方程為 $\rho =3\sin\Big(\frac 12 \big(\theta +\frac \pi 2\big)\Big)$； 當 $R\!=\!1$, $r\!=\!\frac 13$, $h\!=\!R\!+\!r\!=\!\frac 43$ 時, 變幅擺線方程為 $\rho \!=\!\frac 83 \sin\Big(\frac 35\big(\theta \!+\!\frac \pi 2\big)\Big)$。

玫瑰線很美, 因為它不僅變化萬千, 變中有序, 而且還和擺線同屬一個家族。

數學很美, 因為它不僅可以刻畫美, 揭示美, 而且可以創造美。 有人說: 「上帝是數學家, 唯一能夠描述宇宙的語言是數學」。 無論我們是否相信上帝, 我們都相信數學。 讓我們師生一起在好學數學、 用好數學的過程中, 盡情享受數學的美。

(本文的寫作得到了中國陝西省西安中學徐君鎔老師的幫助, 特別致謝。)

參考文獻

本文作者任教中國陝西省西安中學