| 發刊日期 |
2026年9月
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| 標題 | 有朋自遠方來——專訪金石教授 |
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策劃:劉太平  金石教授 1963 年 4 月 25 日出生於中國江西省上饒市。 他於 1983 年獲北京大學學士學位, 1991 年獲亞利桑那大學博士學位。 1991 至 1993 年於紐約大學 Courant 數學研究所從事博士後研究, 之後任教於喬治亞理工學院。 自 2000 年起, 他擔任威斯康辛大學麥迪遜分校的正教授, 並曾擔任系主任 (2008$\sim$2011) 及 Vilas 傑出成就教授 (2015$\sim$2018)。 自 2009 年迄今, 金教授擔任上海交通大學講座教授, 曾任數學系主任 (2011$\sim$2014)、 自然科學研究院副院長 (2011$\sim$2018) 及院長 (2018 年迄今)。 金教授因在漸近保持方法 (asymptotic-preserving scheme)、 多尺度計算、 動力學理論和量子動力學等領域的奠基性工作, 榮獲多項殊榮, 包括美國數學會院士 (2012) 及工業與應用數學學會 (SIAM) 院士 (2013)。 2021 年, 他榮膺 Academia Europaea 外籍院士和 European Academy of Science 院士。 劉太平(以下簡稱「劉」)： 感謝你接受這訪談, 還有你在這次泛太平洋數學會議 PRCM (Pacific Rim Conference of Mathematics) 主持計算數學 session。 讓我從非常傳統的方式開始。 首先, 你的中文名字是金石, 真好。 「金」意為黃金。 「石」意為石頭。 我想你父親一定是經過深思熟慮才選出這個名字的吧？ 金石(以下簡稱「金」)： 我從沒問過他為什麼會選這個名字。 我不確定這是他的主意還是我媽的主意。 我母親畢業於江西師範大學, 主修數學。 其實, 我從來沒問過他們。 是的, 這是個好名字, 容易記。 它有很深的文化意涵 ⸺ 我相信你以你的文化背景應該更清楚。 劉： 金石, 黃金與石頭。 古代的「金」也指青銅, 「石」則指玉。 這樣的名字應只可能來自一個非常有文化背景的家庭。 青銅和玉是古代藝術的主要材料。 玉可以製成樂器磬。 青銅製成鐘。 合起來, 奏出美妙的音樂, 金石合鳴。 金： 你解讀得比我能做的好多。 河承烈(以下簡稱「河」)： 通常在中國, 人們喜歡用兩個字來命名? 金： 在 60 年代, 名字只用一個字似乎相當流行。 河： 我明白了。 劉： 用一個字作為名字, 很容易讓兩個人同名。 金： 是的, 沒錯。 劉： 在古代, 一個人的正式名字只有一個字, 例如關羽, 但人們會用兩個字的號來稱呼他, 例如關雲長。 你的家庭背景是怎麼樣的？ 金： 我父親是化學教授, 50 年代末畢業於北京師範大學。 之後, 他大部分職業生涯都在江西師範大學度過, 該大學位於江西省省會南昌市。 在我求學期間, 家人曾在一個村莊住了三年, 接著又在礦區住了幾年, 直到 1979 年才搬回南昌。 劉： 原來如此, 在那樣的環境中長大。 那時候你的學校生活是怎麼樣的？ 金： 我在一個沒有電力的村莊開始了我的小學教育。 我們在那裡待了三年, 然後搬到一個礦區, 在那裡繼續學業, 直到最後一年。 那一年, 父母送我去位於德興的祖父家, 在那裡待了一年, 準備大學入學考試。 上大學之前, 我的學校生活很輕鬆, 因為當時沒有人特別努力讀書。 直到高中最後一年, 我才開始認真讀書, 因為大學在 1977 年重新開學。 現在孩子們必須大量學習, 無論是在課內還是課後都如此。 河： 我知道, 現在有全國考試, 高考, 對吧？ 金： 是的。 河： 1970 年代有這樣的東西嗎？ 金： 1977 年, 全國高考恢復舉行。 我很幸運, 能夠透過這樣的制度直接從高中進入大學。 劉： 在你北京大學的同學中, 有不少成為數學家, 而且都很優秀。 那一班很好。 金： 我們那班非常傑出。 有像鄔似珏 1 1 鄔似珏 (Sijue Wu, 1964$\sim$), 華裔美國數學家, 任教於密西根大學數學系。 她在非線性水波方程卓然有成, 解決了任意維數水波方程的局部適定性。 專訪刊登於數學傳播 2012 年 12 月第 144 期。 這樣的人物, 你很了解她。 還有許多你很熟悉的人, 比如王立河 2 2 王立河 (Lihe Wang), 華裔美國數學家, 任教於美國愛荷華大學數學系, 主要研究偏微分方程、 幾何演化問題, 在橢圓型與拋物型方程的正則性理論方面做出過許多重要貢獻。 ,還有你以前的學生李彤 3 3 李彤 (Tong Li), 任教於美國愛荷華大學數學系, 主要研究非線性偏微分方程、 流體動力學及趨化性 (Chemotaxis) 數學理論。 。 所以沒錯, 我們班有很多非常有才華的同學, 我也很幸運能和這麼特別的一群人在一起。 我們接受了非常嚴格的教育, 大多數人都很努力。 那時我並不怎麼努力, 但大多數人, 比如鄔似珏, 都非常努力。 還有, 上一屆有像張益唐 4 4 張益唐 (1955$\sim$), 華裔美籍數學家。 他在 2013 年證明了「孿生質數猜想」的弱版本 (質數間的有界間隔小於 7000 萬)。 現受聘於中國中山大學香港高等研究院。 這樣的人物； 他比我高一年級。 我在大學的時候就已經知道他的名字了。 劉： 他只比你大一屆。 金： 就一屆而已。 他是 1978 屆的學生, 那是北京大學數學系重新開學後的第一年。 我是 1979 屆的。 劉： 我們來聊聊張益唐。 他是個好學生嗎？ 金： 他是頂尖學生。 當時他已經相當有名。 我雖然不認識他本人, 但我常常聽人提起他。 他和沈捷 5 5 沈捷(Jie Shen, 1959$\sim$), 中國數學家、 現任寧波東方理工大學講席教授兼數學科學學院院長。 主要研究偏微分方程數值解, 在譜方法數值分析理論和科學計算方面有傑出貢獻。 是大學時的好友。 我對沈捷很熟悉, 因為他家和我家鄉離得很近, 而且他比我高一屆, 所以我那時就認識他了。 河： 陳新富 6 6 陳新富 (Xinfu Chen), 中國數學家, 現為西南財經大學光華英才首席教授及美國匹茲堡大學教授, 研究偏微分方程與金融數學。 也是這樣嗎？ 金： 他比我低一年級。 他那一屆 (1980 屆)也有許多優秀數學家, 像是湯濤 7 7 湯濤 (Tao Tang, 1963$\sim$), 中國數學家, 現任廣州南方學院校長, 研究雙曲型方程計算方法誤差分析、 偏微分方程譜方法理論、 相場模型高精度算法以及計算流體力學。 、羅智泉 8 8 羅智泉 (Zhiquan Luo ,1963$\sim$), 華裔加拿大籍電腦科學家, 先後在McMaster 大學、 明尼蘇達大學任教。 現擔任香港中文大學 (深圳) 副校長及深圳市大數據研究院院長。 等, 後來都在多所知名大學擔任要職。 當時我們身邊有很多很優秀的學生。 我很幸運認識他們。 劉： 你一直就對計算有興趣嗎？ 金： 其實不是。 在北大前兩年, 我們都修了相同的課程。 從大三開始, 我們被分成純數學、 應用數學和計算數學三個方向。 我選擇了計算數學, 因為我喜歡做一些能看到實際應用的事情。 這就是我的動機。 我從沒想過自己最終會成為研究學者或數學家。 大學期間, 我做了很多事情, 也參加了很多課外活動。 我並不是一個特別專注的學生。 河： 我想在 1980 年代初期, 還沒有個人電腦。 金： 沒錯, 我們當時用的是穿孔紙帶電腦。 磁帶上的孔洞圖案對應程式語言。 我從來沒成功讓程式通過除錯階段。 多虧了老師的慷慨幫助, 這門課我勉強及格。 河： 我明白了。 劉： 但這並沒有讓你卻步, 對吧？ 金： 大學畢業後, 我有幸在中國科學院待了三年, 在那裡我開始使用 FORTRAN 語言。 我很喜歡 FORTRAN, 而且也能夠熟練它, 之後我的大部分科學研究生涯都使用它。 我喜歡 FORTRAN 的主要原因是它使用數學表達式, 這與穿孔紙帶截然不同。 劉： 我認識一些從事數值計算的人, 比如應隆安 9 9 應隆安 (Longan Ying, 1936$\sim$), 中國數學家, 主要研究領域為計算數學與偏微分方程數值解。 和滕振寰 10 10 滕振寰(Zhenhuan Teng, 1937$\sim$2018), 中國數學家, 在偏微分方程數值解、 雙曲型守恆律計算方法等領域做出原創工作。 。 你大學時有修過他們的課嗎？ 金： 不是他們, 因為那時他們可能正在美國訪問。 我想應教授當時在 Courant。 他列屬第一批被派往海外的中國人。 劉： 是這樣。 之後有韓厚德 11 11 韓厚德(Houde Han, 1938$\sim$), 中國數學家, 主要研究偏微分方程數值解及人工邊界法。 。 金： 他當時也沒教我。 但後來我和他們有很多交流, 在我成為專業應用數學家之後, 我們互相拜訪了很多次。 教過我的老師包括你可能認識的丁石孫 12 12 丁石孫 (Shishun Ding, 1927$\sim$2019), 中國數學家, 長期從事代數學、 代數數論與密碼學的研究, 曾於 1984 年至 1989 年擔任北京大學校長。 教授, 還有李正元 13 13 李正元 (Zhengyuan Li, 1939$\sim$2024), 中國數學家, 從事微分方程的研究。 教授、丘維聲 14 14 丘維聲 (Weisheng Qiu, 1945$\sim$), 中國數學家, 研究群論、 組合設計、 編碼理論及加密算法。 教授、雷功炎 15 15 雷功炎 (Gongyan Lei, 1941$\sim$2010), 中國數學家, 在數學建模的教學與研究領域有重要貢獻。 教授等等。 他們的教誨堪稱卓越。 劉： 你總是想做一些能看到應用前景的數學研究嗎？ 金： 其實當時我還不清楚。 我對很多事情都很感興趣, 包括數學、 文學和音樂。 我當時並沒有很專注。 即使在攻讀博士期間, 我也從未想過自己會成為一名專業數學家。 我對未來的職涯也沒有長期的規劃, 從未想過自己最終能成為一名專業數學家。 我很幸運遇到一位很特出的博士指導教授, 你們很熟識他, 對吧？我真的很幸運。 河： 其實, 我正想問：當初你為什麼會選擇David Levermore 16 16 David Levermore (1951$\sim$), 美國數學家, 現為馬里蘭大學學院市分校的榮譽退休教授, 研究偏微分方程、 動力論、 流體力學、 計算數學以及數學物理。 教授當你的論文指導教授？ 金： 我在亞利桑那大學攻讀博士。 當時應用數學系主任是David McLaughlin 17 17 David W. McLaughlin (1944$\sim$), 美國數學家, 任職於紐約大學 Courant 數學研究所, 研究非線性系統、 非線性波和視覺神經科學的數學模型。 , 你可能認識他。 後來他去了普林斯頓大學, 之後又去了 Courant 數學研究所。 事實上, 他現在還在跟我們研究所的一些同事一起從事計算神經科學的研究。 我通過了資格考試, 而且考得相當不錯, 之後就到了選擇指導教授的時候。 我去找他, 他問我想做什麼。 我說大概是數值分析, 那我該選誰呢？他接著說, 有個非常優秀的年輕人還沒來, 但馬上就來； 他叫 Levermore, 來自 Livermore 國家實驗室。 幾個月後, 他來了, 我和他聊了聊, 他收了我。 我是他在亞利桑那州的第一個學生。 這是一個非常幸運的選擇。 我之前並不認識他。 我當時也不知道亞利桑那的應用數學有多好；它列屬美國最優秀的應用數學課程, 擁有許多傑出的數學家。 如今, 大家在選擇學校時可以參考大量資訊和排名； 那時候沒有太多資訊, 選擇學校就純粹是隨機的, 全憑運氣。 河： 所以你成為他的首位博士生。 金： 亞利桑那州的首位。 他在Lawrence Livermore國家實驗室時, 有一位來自加州大學戴維斯分校的學生。 我正式成為第二位, 在亞利桑那州是首位。 河： 我明白了。 金： 我當時並不知道他有多傑出。 說實話, 那時候我對自己的研究能力並沒有十足的信心。 但我真的想拿到博士學位, 這樣畢業後多半回中國, 在大學任教。 我要別人叫我金博士, 你知道這是中國文化。 博士很特別, 有聲望。 那是我當時唯一的目標。 我根本沒想過未來會怎樣。 河： 你有很自然的心態。 劉： 你沒有心理障礙。 這非常重要, 我想。 金： 是的, 我當時沒有什麼雄心勃勃的目標。 我找不到可以效法的前輩, 也沒有可以借鑑的職涯道路。 在我們之前從中國大陸來美國的人, 都是 1949 年以前來的, 對我們來說太遙遠了, 無法效法。 但是我的學生們可以看到我的職業道路, 也能預見自己的未來。 在我那個年代, 沒有這樣的榜樣, 所以我一無所知。 劉： 這對你的學生來說非常美好。 金： 但對我的學生來說, 他們知道金教授身為數學家, 擁有一份不錯的工作。 如果他們覺得我的數學生涯很美好, 他們就有了可以效仿的榜樣。 當然我一直告訴他們, 數學職涯是一項人們能追求的最佳選擇。 但在我那個時代, 之前沒有這樣的先例, 對未來一無所知。 河： 我們稱之為榜樣。 劉： 某種程度上, 這是一個非常幸運的情況。 金： 我非常幸運。 許多選擇都是隨機做出的, 結果證明都是好選擇。 這樣的人生經驗也塑造了我的數學哲學：有很多問題我無法用確定性方法解決, 於是轉採隨機方法, 而這些方法總是奏效。 我的幾個演算法其實就是隨機演算法, 如果用確定性方法, 它們根本行不通。 劉： 我們可以談談 David Levermore 嗎？ 你說呢？ 金： 我認為, 就科學上的影響和品味而言, 他至今對我的影響最大。 我們關係非常親密, 常常一起出去, 例如吃飯、 健行等等。 健行的時候, 我很難追上他, 常接不上氣, 因為他腿很長。 這對我來說非常困難。 他開車帶我去參觀了一些研究機構, 每次都要花好幾個小時。 我們常聊, 從數學、 文化到人生百態。 我從他身上學到了很多。 他的品味和視野對我的影響非常深遠。 河： 我想這就是為什麼你可以從雙曲守恆律的鬆弛算法 (relaxation scheme) 進入動力學理論, 最後進入量子動力學, 現在則進到量子計算領域。 金： 沒錯。 他博學多才, 有學問。 尤其值得一提的是, 他是一位最早研究希爾伯特第六問題 (即從 Boltzmann 方程式到流體動力學方程式的嚴格推導) 的學者。 這對我研究的影響深遠, 因為我對所謂「漸近保持方法 (Asymptotic-Preserving Scheme)」的研究, 某種程度上是希爾伯特第六綱領的離散類比。 最近, 鄧煜 18 18 鄧煜 (Yu Deng, 1989$\sim$), 中國數學家, 現任美國芝加哥大學數學系教授。 他與馬驍及 Zaher Hani 合作, 嚴格證明了從微觀牛頓力學到 Boltzmann 方程的推導, 為希爾伯特第六問題取得重要突破。 他於 2026 年 7 月獲頒費爾茲獎 、 馬驍 19 19 馬驍 (Xiao Ma, 1998/1999$\sim$), 現任教於美國密西根大學, 並預計入職中國科學技術大學擔任教授。 對百年數學難題「希爾伯特第六問題」, 他、 鄧煜, 以及 Zaher Hani, 成功完成了 Boltzmann 方程長時間推導的關鍵突破。 和 Zaher Hani 20 20 Zaher Hani, 出生於黎巴嫩的數學家, 密西根大學教授, 對非線性偏微分方程、 湍流理論和希爾伯特第六問題貢獻卓著。 在這方面取得了重大突破。 如果我沒遇見他, 我不會有這樣的觀點, 這樣的視角。 此外, 正如他告訴我的, 他的寫作風格是繼承自他的博士論文指導教授 Peter Lax 21 21 Peter Lax (1926$\sim$2025), 匈牙利裔美國數學家, 2005 年獲頒 Abel 獎。 他在純數學與應用數學領域皆有重大的突破, 特別是在偏微分方程、 流體動力學、 雙曲守恆律以及科學計算等領域做出了奠基性的貢獻。 專訪刊登於數學傳播 2002 年 12 月第 104 期。 。 這也影響了我論文的寫作方式。 你了解他的寫作風格。 你曾經和他合著一篇關於雙曲鬆弛的著名論文。 劉： 是的。 金： 他對寫作的要求非常高, 對吧？我的意思是, 從數學符號到標點符號, 他都非常講究。 雖然我在這方面並沒有那麼嚴謹, 但這仍然影響了我。 我, 以及那些與他合作過, 如 François Golse 22 22 François Golse (1962$\sim$),法國數學家。 2004年, 他與數學家 Laure Saint-Raymond 合作, 證明了Boltzmann方程的弱解, 與不可壓縮Navier-Stokes方程的Leray 解之間的數學聯繫。 研究領域涵蓋量子動力學、 輻射傳輸、 熵不等式、 Landau 方程的規律性, 以及 Wasserstein 距離在量子力學中的應用。 專訪刊登於數學傳播2009年6月第130期。 , 都非常欣賞這一點。 劉： 他曾是聯邦政府科學顧問委員會的成員, 是哪位總統任內我已經記不清了。 金： 喬治· W· 布希。 我記得他曾在國家科學委員會的總統科學委員會任職, 類似這樣。 劉： 你有一個數值算法, 對所有尺度都同樣有效。 你如何稱呼它？ 金： 漸近保守方法。 劉： 是的, 你怎麼想到的？ 金： 這要歸功於我的指導教授 Levermore 以及他介紹給我的法國學派。 在 80 年代末, 法國著名數學家 Claude Bardos 23 23 Claude Bardos (1940$\sim$2026), 法國數學家, 對動力學理論、 流體力學以及氣體動力學的數學基礎做出了卓越貢獻。 他與合作者 (如 Fran\c cois Golse、 David Levermore) 在 Boltzmann 方程推導出流體力學方程的嚴格數學證明方面, 做出了奠基性的工作。 他也利用微局部分析 (microlocal analysis) 分析研究波的傳播理論, 並探討流體在接近邊界時的行為, 以及偏微分方程系統的精確可控制性。 專訪刊登於數學傳播 2004 年 9 月第 111 期。 (令人感傷, 他幾天前剛去世) 和 François Golse 發起了一項計劃, 旨在對 Boltzmann 方程推導 Navier-Stokes 方程的過程, 給出解析證明, 這正是希爾伯特第六問題的一部分。 我讀了那些論文。 我的博士論文研究的是帶有擴散尺度的線性傳輸, 這是由動力方程推導流體力學的方程, 但模型較為簡單。 我撰寫了一篇關於該問題數值邊界層的論文。 之後, 我去了 Courant 數學研究所做博士後, 與 George Papanicolaou 24 24 George Papanicolaou (1943$\sim$), 希臘裔美國數學家, 史丹佛大學數學教授。 他分析和預測自然界中具隨機性且跨越多元尺度的現象。 他研究隨機介質中的電磁波傳導、 水下聲學和相干干涉成像技術。 他也利用隨機微分方程的漸近分析法, 來評估並建構複雜的金融市場模型。 教授合作。 他給了我一些問題, 有些是關於弱解的大域存在性, 有些是關於聚焦薛丁格方程式 (focusing Schrödinger equation) 在隨機介質中的半經典極限 (semiclassical limit)。 一年下來, 我毫無進展, 我非常沮喪, 感受巨大壓力。 但是, 透過研究這些問題, 我確實學到了許多量子動力學中的有用工具, 例如 Wigner 變換, 這最終促成了我後來與 Peter Markowich 25 25 Peter Markowich (1956$\sim$), 奧地利數學家。 他深入研究薛丁格方程、 Wigner 變換及半經典漸近分析。 他將偏微分方程應用推廣至圖像處理、 機器學習及生物增殖過程等前沿領域。 他也對半導體元件中的電荷傳輸模型 (如漂移-擴散方程) 進行了開創性的數學論證。 的豐碩合作成果。 他是這方面的先驅。 劉： 你說過一個算法必須是美的。 這似乎有很多含義。 金： 我確實這麼說過。 我以前的一位博士生, 方迪 31 31 方迪 (Di Fang), 中國數學家, 美國杜克大學數學系教授。 她專精量子計算與應用數學的跨領域研究, 特別是量子演算法的數學分析、 多體量子模擬以及 Hamilton 量的模擬。 (目前是杜克大學的教授), 曾經問過我：「金教授, 您說的『優美的方法』是什麼意思？」 這個問題很難回答。 這就像音樂一樣。 當你聽到貝多芬、 莫札特、 蕭邦等人的優美旋律時, 很難說清楚它們為什麼美。 這是一種個人品味, 是在閱讀和欣賞了許多頂尖數學家的偉大作品之後逐漸形成的。 我認為它必須簡潔, 因為大自然本身就非常簡潔。 我常說「少即是多」。 但這很難用語言解釋, 就像你無法用語言解釋莫札特的音樂為什麼優美一樣。 河： 我想是因為你的算法有很強的理論基礎。 所以 $\cdots$ 金： 確實, 我開發的許多方法都是源自分析。 河： 所以一定是 $\cdots$ 金： 包括我最新的薛丁格化(Schrödingerization)方法, 它的靈感來自 François Golse 一篇鮮為人知的論文, 該論文發表在某個會議論文集中。 他在 Oberwolfach 聽完我關於動力學方程式不確定性量化 (uncertainty quantification) 的演講後, 告知我這個想法。 這是他來自均質化 (homogenization) 領域的概念, 而這概念原本與量子計算毫無關係。 動力學方程式不確定性也同樣與量子計算完全無關。 但這種維度提升的想法, 最終促成了我們用於偏微分方程量子模擬的薛丁格化方法。 劉： 我曾聽你說過, 在量子運算中, 你只能做線性運算。 至於非線性, 重點是如何讓它線性化。 金： 沒錯。 劉： 這不是一般數學家的線性化方法, 它會改變方程式, 對吧？ 金： 這取決於線性化的類型。 對於量子計算, 我用兩個字母來概括：L 和 U。 「L」代表線性 (linearity)。 「U」代表么正性 (unitarity)。 量子電腦的設計遵循量子動力學原理, 由薛丁格方程式支配, 它是線性的, 並且演化遵循么正性。 對於大多數其他非量子系統, 例如流體動力學系統, 它們既不是線性的也不是么正的, 因此必須先將它們轉換為「L」, 然後再轉換為「U」。 劉： 我明白了。 而且你們能夠對一些基本的非線性方程式進行這種轉換。 金： 是的。 首先對於「U」, 我們引入了薛丁格化方法, 它藉由增加一個額外的維度, 等價地將所有線性動力學 (包括所有線性常微分方程和偏微分方程) 轉換為薛丁格型系統。 這是一個相當通用的工具, 可以處理「U」的問題。 「L」的任務要困難得多, 我不認為可以找到一種靈丹妙藥來治癒所有非線性問題。 「線性化」方法必須取決於特定問題, 並且線性化後的系統必須保留最重要的非線性特徵。 我們熟知的一個很好的例子是 Cole-Hopf 變換, 它可以將 Burgers 方程式轉換為線性熱方程式。 但它僅適用於該方程式 (以及等價地適用於具有二次 Hamilton 量的黏滯性 Hamilton-Jacobi 方程式)。 然而, 最近有一篇論文針對具有一般凸 Hamilton 量的 Hamilton-Jacobi 方程, 採用了 Diogo Gomes 32 32 Diogo Gomes, 葡萄牙裔應用數學家, 現任沙烏地阿拉伯阿布都拉國王科技大學 (KAUST) 的應用數學與計算科學教授。 他的主要研究核心集中在非線性偏微分方程、 Hamilton-Jacobi方程以及平均場博弈理論。 (Craig Evans 33 33 Lawrence Craig Evans (1949$\sim$), 美國數學家, 加州大學柏克萊分校數學教授。 主要研究非線性偏微分方程、 變分法及最佳化問題。 他所撰寫的教科書影響深遠。 的前博士生) 提出的熵懲罰方法 (entropy penalization method)。 這使得我們能夠為這類 Hamilton-Jacobi 方程式開發一種量子演算法, 該演算法可以捕捉到奇異解 (例如焦散線 (caustics)) 的黏滯解。 我們還使用了水平集方法 (level set method)； 這是我大約 20 年前與 Stan Osher 34 34 Stan Osher (1942$\sim$), 美國數學家, 加州大學洛杉磯分校教授。 他與 James Sethian 共同開發水平集方法, 用於追蹤幾何形狀與介面的運動, 廣泛應用於電腦視覺、 醫學影像、 材料科學及流體力學。 關於震波捕捉, 他開發用於模擬跨音速流體與震波的高精度數值方法, 對航空航太工程影響深遠。 他與 L. Rudin 和 E. Fatemi 共同提出全變差影像處理的 ROF 模型, 成為現代數位影像去噪、 修復與反問題的主流數學工具。 一起使用的工具, 透過添加額外的維度, 將一般的 Hamilton-Jacobi 方程和純量守恆律等價地轉換為線性輸運方程, 從而可以捕捉焦散線和衝擊之外的多值解。 河： 剛剛談到量子運算, 你什麼時候開始對量子計算產生興趣？ 金： 我在George的指導下做博士後時, 開始大量研究薛丁格方程式的半經典極限(semiclassical limit)。 也正是在那時, 我學習了Wigner變換。 在本世紀的前二十年裡, 我與Peter Markowich、 François Golse、 Christof Sparber 35 35 Christof Sparber (1977$\sim$), 任教於伊利諾大學芝加哥分校, 研究數學物理學、 量子動力學及非線性薛丁格方程。 以及許多優秀的博士生 (例如方迪、 李勤 36 36 李勤 (Qin Li), 中國數學家, 任教美國威斯康辛大學麥迪遜分校, 研究科學計算、 機器學習理論、 多尺度分析與逆問題等。 2018 年獲頒 NSF CAREER獎。 、 Xiantao Li 37 37 Xiantao Li, 任教於賓州州立大學, 研究多尺度動力系統、 量子與經典的耦合、 隨機微分方程。 、 吳昊 38 38 吳昊 (Hao Wu), 中國數學家, 任教清華大學, 研究半導體、 量子效應、 非線性輸運。 、 Xu Yang 39 39 Xu Yang, 中國數學家, 任教加州大學 Santa Barbara 分校, 研究高階保結構格式、 Hamiltonian 方程。 、 張志文 40 40 張志文 (Zhiwen Zhang), 中國數學家, 任教於香港大學, 研究科學計算、 不確定性量化、 多尺度與隨機偏微分方程, 以及薛丁格方程等數值方法。 、周珍楠 41 41 周珍楠 (Zhennan Zhou), 中國數學家, 任教北京大學, 研究量子輸運、 Wigner 方程、 依賴 Hamilton 量的半經典極限時間模擬。 等合作, 研究量子動力學、 玻恩-歐本海默近似 (Born-Oppenheimer approximation)、 表面跳躍 (surface hopping)、 Ehrenfest 動力學等, 因此我對任何量子相關的東西有很敏銳的感覺。 但這些工作應該歸類為計算量子力學, 它與量子計算的計算技術截然不同。 後來, 我在一次研討會上遇到了我們學校一位非常優秀的年輕量子物理學家劉悅納 42 42 劉悅納 (Nana Liu), 華裔量子科學家, 任教於上海交通大學自然科學研究院, 研究薛丁格化算法, 模擬邊界條件。 , 她有牛津大學的博士學位, 從事量子計算方面的研究。 當時, 她在校內另一個研究中心工作, 但正在考慮轉學到其他大學。 在新冠疫情初期, 我成功聘請她到我的研究所工作, 並開始與她探討量子計算； 這對我來說是一個全新的領域和語言。 我們花了一年時間才意識到, 偏微分方程的量子計算是我們能夠合作的領域。 從那之後, 我們取得了一系列研究成果, 最終造就了今天的成就。 這是一次非常成功的合作。 劉： 一開始, 你說大學時期, 你並沒有特別執著於某件事, 也沒有刻意成為班上最優秀的學生, 或是某個數學領域, 對吧？ 金： 是啊, 我當時沒怎麼專心學習。 倒不是我不想成為最優秀的學生, 只是根本不可能。 高中時我在大部分科目都是表現最好的, 但到了北京大學這樣的地方, 我意識到, 無論我將來想從事哪個領域, 總會有人比我更優秀。 所以與其費盡心思成為某個領域的佼佼者, 不如去探索自己真正感興趣的東西, 享受這大學能提供的： 不僅是數學, 還有文化、 與才華橫溢的同學建立的友誼以及參與各種校園活動。 其實, 那段時間我花了很多時間閱讀文學作品, 古典的、 現代的、 中西方的, 我都讀。 有一段時間我還寫詩, 因為那時候寫詩在中國很流行, 詩人都是全國知名的人物。 劉： 但當某樣東西引起你的興趣時, 你不會害怕, 對吧？ 量子或其他任何東西。 金： 我只是努力去做我認為有趣、 重要的事, 不必然是時尚的。 這與我共事、 交往、 在學術上共同成長的人息息相關。 正如我之前提到的, 我的博士指導教授 Dave Levermore博學多聞, 不僅精通數學、 物理和電腦, 還了解文化。 太平, 你也給我留下了深刻的印象。 雖然我從未與你合作發表論文, 但你的數學造詣、 文化知識、 人生智慧和幽默感都深深影響了我。 劉： 聽你這麼說, 我覺得一個好的社會應該提供給年輕人的一件事, 就是讓他們感到輕鬆自在, 對吧？ 而你當時在某種意義下身處這樣的環境, 對吧？ 金： 我很幸運, 因為北京大學非常開明, 鼓勵學生追求自己感興趣的任何事物。 校園氣氛非常生氣活潑, 從理科到人文社科都有豐富的活動。 研討會很多, 我也參加了很多, 從科學到古典音樂都有涉及。 河： 它現在仍是不同於清華大學, 清華比較偏向科技, 對吧？ 金： 兩所大學的風格和特色確實截然不同。 我在清華大學擔任了近十年的訪問教授, 許多優秀的博士生都來自清華。 我上大學的時候正值中國蓬勃發展、 轉型的關鍵時期。 我們物質上雖然匱乏, 但精神上卻很富足, 對未來非常樂觀。 學生們都極具理想主義, 渴望努力奮鬥, 為國家和自己創造更美好的未來。 我確實受益於當時社會令人興奮的發展、 北京大學的博雅教育以及包容的校園環境。 我廣泛的興趣或許影響了我的研究方向, 我並不確定。 我學習這些知識並非為了某個特定目標。 人生和世界如此豐富多彩, 我應該學習並享受所有美好的事物, 這會讓人生成為一段愉快的旅程。 劉： 你倆是在威斯康辛州認識的。 你在威斯康辛州時, 最專注的是什麼？ 在到威斯康辛之前, 你在喬治亞理工學院。 金： 是的, 在 Courant 做完博士後之後, 我在喬治亞理工學院待了七年, 並在那裡獲得了終身教職。 擔任了兩年終身副教授後, 我於 2000 年以正教授的身份赴威斯康辛大學任教。 河： 我記得你和 Marshall Slemrod 43 43 Marshall Slemrod (1944$\sim$), 美國數學家, 現為威斯康辛大學麥迪遜分校榮譽教授, 研究非線性偏微分方程、 無限維動力系統、 連續介質力學以及氣體動力學動力論。 合作過一個叫做什麼的方程式？ 希爾伯特展開(Hilbert expansion)之後, 你考慮過 $\ldots\ldots$ 金： 哦, Burnett方程式。 有趣的是, 當你嘗試透過所謂的 Chapman-Enskog 展開, 從 Boltzmann 方程推導流體動力學方程時, 如果只展開到零階和一階, 會得到很好的方程, 也就是歐拉方程和 Navier-Stokes 方程。 但如果繼續展開, 就會得到不穩定的 Burnett 方程式。 所以大家試圖解決這個問題。 這方面有很多研究, 從矩閉合 (moment closure) (例如 Grad 44 44 Harold Grad (1923$\sim$1986), 美國應用數學家與物理學家, 在統計力學、 等離子體物理學以及磁流體動力學領域做出了奠基性的貢獻。 他提出Grad 矩方法。 、Levermore 和中國的李若 45 45 李若 (Ruo Li, 1973$\sim$), 中國數學家, 任教於北京大學, 解決了 Boltzmann 方程 Grad 矩方法的研究難題, 研究偏微分方程數值解、 計算流體力學。 等人就做過這方面的研究), 到 Ingo Müller 46 46 Ingo Müller (1936$\sim$), 德國數學物理學家, 研究理性熱力學和數學物理領域的工作, 特別是發展了擴展熱力學。 和 Tommaso Ruggeri 47 47 Tommaso Ruggeri (1947$\sim$), 義大利數學物理學家, 波隆那大學榮譽教授。 他研究擴展熱力學、 雙曲型方程組與非線性波、 相對論性流體力學。 在非線性波傳播與非平衡態熱力學領域做出了開創性的貢獻。 專訪刊登於數學傳播 2020 年 3 月第 173 期。 等人提出的所謂的理性廣義熱力學 (Rational Extended Thermodynamics), 都使用了大量的矩。 我們用鬆弛方法來將它正規化。 劉： 我看得出你做了很多事。 金： 是的。 如果我在一個領域工作幾年, 就會感到厭倦。 然而, 我一直專注於一個統一的主題。 我經常展示這張圖, 一個多尺度圖, 它展示了從量子力學、 經典力學、 統計力學到流體動力學的四個基本物理尺度。 與這四個尺度相關的主要方程式是薛丁格方程式、 牛頓方程式、 Boltzmann 方程式和流體動力學方程式。 我主要研究這些方程, 並且對它們都有所涉獵。 但是, 我並沒有深入研究這些已被充分研究的方程, 而是致力於研究這些方程之間的聯繫, 這些聯繫在之前很少有人研究, 至少在數值模擬方面是如此。 這本質上就是希爾伯特的第六綱領。 因此, 儘管我的研究跨越了多個領域, 但它有一個統一的主題, 即「多尺度計算」。 劉： 是的。 你能重複這四個方程式嗎？ 金： 薛丁格、 牛頓、 Boltzmann及流體 (歐拉與Navier-Stokes) 方程, 分別代表量子尺度、 經典尺度 (微觀)、 動力學 (中觀) 及流體動力學 (宏觀) 尺度。 劉： 現在, 讓我轉換一下話題。 AI 涉及大量計算, 而你正在做計算。 這兩種不同的計算差異很大嗎？ 金： 它們相當不同。 我對AI的應用很感興趣, 但理論方面我做得不多。 對我來說, 人工智慧的問題在於我對它缺乏好的理解。 對於經典計算 (以及量子計算), 我們可以用分析來證明其工作原理, 對吧？ 但人工智慧就像一個黑盒子。 你把方程式、 大量參數和資料輸入進去, 它可能運行得出奇地好, 但它也可能莫名其妙地失敗, 而且所得的結果可能對參數的選擇非常敏感。 這其中存在著一種叫做「幻覺 (hallucination)」的現象。 它不像經典數值方法那樣, 我們知道它何時有效 (例如在 CFL 穩定性條件下)。 人工智慧並不穩健。 這就是我沒有過多研究人工智慧理論和演算法方面的原因。 另一個原因是這個領域太擁擠了。 我喜歡在不太熱門的領域工作。 一旦某個領域變得熱門, 就會有太多聰明人投入, 而我卻不夠聰明, 無法與他們競爭。 我聰明的地方在於我知道自己不是最聰明的, 我知道自己的侷限性, 所以我盡量在自己感到舒適的領域工作, 並與能夠彌補我弱點的人一起工作。 劉： 你不去擁擠的領域； 我認為這是智慧。 河： 我記得著名物理學家 Freeman Dyson 48 48 Freeman Dyson (1923$\sim$2020), 英裔美籍數學物理學家, 普林斯頓高等研究院教授。 證明了Schwinger、 朝永振一郎的運算方法與費曼圖方法等價, 使量子電動力學成為完整可用的理論。 寫過 《鳥與青蛙》, 對吧？ 我想金教授很像鳥類類型的數學家。 金： 我不認為我屬於那種應該被歸類的領域。 雖然我並不投注大量心力於熱門領域, 但我確實會關注這些領域, 並嘗試借鑒他們的一些技術, 來解決我在其他領域遇到的問題。 例如, 我和李磊 49 49 李磊 (Lei Li), 中國數學家, 任教於上海交通大學自然科學研究院與數學科學學院, 研究科學計算與隨機算法、 機器學習的數學理論。 、劉建國共同提出的「隨機批次方法 (random batch method)」, 後來徐振禮 50 50 徐振禮 (Zhenli Xu), 中國數學家, 任教於上海交通大學自然科學研究院與數學科學學院, 研究聚焦於發展高效的數值演算法, 用以解決物理、 化學、 材料科學中的複雜多尺度計算問題。 將它發展得相當遠, 用於高效的分子動力學模擬。 這個方法借鑒了機器學習中的隨機梯度下降法, 我們將它應用於相互作用粒子系統, 這是一個我斷斷續續思考了十多年的難題。 我會關注這些領域優秀學者們的研究方向, 而後試著借鑒他們的想法, 看看能否應用在我自己的研究中, 而不是和他們在同一領域競爭。 這種策略對我的幫助很大。 河： 事實上, 除了數學之外, 我知道你曾擔任威斯康辛大學和上海交通大學的系主任, 現在又是你所在研究所的所長。 在我看來, 能夠同時在行政和科研方面都做得很好的人並不多, 所以你一定擁有特殊的才能。 金： 不, 我不認為自己有什麼特殊才能, 事實上, 我也不認為自己很擅長行政管理。 當必須處理行政事務時, 我會努力平衡行政工作和研究工作, 並且一直積極參與研究, 在一些新的、 不熟悉的領域持續產出研究成果。 對於行政工作, 我不會鉅細彌遺地管控。 我得到了很多優秀同事的幫助。 我專注於一些重要的事情, 例如聘任、 幫助年輕人、 確保資源等等, 而對於其他大部分事務, 我都信任那些能勝任工作的同事。 迄今這種方式效果極佳。 此外, 我研究所裡有很多傑出的年輕研究人員, 他們在我的研究計畫中發揮了關鍵作用, 對我很有幫助。 劉： 你最近有何夢想？ 我聽說你有一個團隊在做計算工作, 研究新的方法。 你夢想達成什麼？ 金： 嗯, 我已經過了做夢的年紀了。 不過, 我還是充滿熱情。 目前, 我主要熱衷於量子科學計算。 這是一個待探索的領域, 成果寥寥, 數學家也屈指可數, 因此蘊藏著巨大的機會。 無論你做什麼, 都會是第一個。 所以我認為這是一個非常值得投入的領域。 這個領域需要大量的數學家以及懂經典科學計算的人才。 我運用了我在偏微分方程和經典數值分析方面的知識, 在量子計算領域發展出了許多新想法。 這個領域需要優秀的數學思維, 例如我一直倡導的「維度提升」。 以前, 人們總是想著降低維度, 例如矩閉合、 取平均場極限等等, 因為經典電腦有維度災難 (curse of dimensionality)。 但現在, 我們反其道而行。 我們提升維度, 使那些量子計算無法解決的問題成為可解。 這需要紮實的數學基礎。 這個領域一直以來都被物理學家和電腦科學家所主導。 我是在數學裡工作, 我的論文也是用數學友善的方式撰寫的, 希望它們能吸引更多數學家進入這個領域。 劉： 你擴大了這個系統, 然後這個系統就變成了 $\cdots$ 金： 我們引入一個維度, 這是一種我們稱為「薛丁格化」的技術, 這樣非么正動力學就變成了么正動力學, 例如線性熱方程式就變成了薛丁格方程式。 我們的大部分想法實際上都源自於偏微分方程和數值分析的經典想法, 但我們使它們適用於量子計算, 所以我認為數學家在量子計算的發展中處於獨特且不可被取代的地位。 最近, 我們開始利用楊氏測度 (Young measure, 現代非線性偏微分方程中的重要理論工具) 來研究非線性偏微分方程的量子計算。 它將量子電腦無法求解的非線性偏微分方程式, 轉換為更高維度的線性規劃問題, 而量子電腦通常不會畏懼高維度問題。 我們可以在某些特定情況下獲得量子優勢。 劉： 這非常有力。 很高興聽你這麼說。 這在某種意義上是純粹的數學創造。 金： 是的, 我們量子運算的大部分想法都是數學想法。 劉： 我們換個話題, 談談量子電腦。 量子電腦的建造似乎有一些實質的進展。 金： 發展迅速。 幾乎每天都能聽到相關的新聞。 我認為它現在的發展速度非常快。 所有主要工業化國家的政府都在量子運算領域投入大量資源。 你無法想像它的發展速度有多快。 剛開始研究量子計算的時候, 並沒有考慮當時是否有量子電腦可用。 我只是想做, 因為相關的數學知識很有趣。 但很快, 它就會變得非常普及。 有了政府和產業界的投資和支持, 包括像 IBM、 Google 這樣的巨頭, 它的發展速度可能會比人們預期的快得多。 最好現在就加入, 以免為時過晚或市場競爭過於激烈。 河： 我知道作為研究者, 你迄今有成功的職業生涯, 同時作為一名教師和年輕學生的導師, 我也認為你是一位非常成功的 $\cdots$ 金： 我很幸運有許多優秀的學生。 河： 你有特別的訓練方式嗎？ 金： 我覺得我沒有特別的做法。 我確實關心他們, 並且希望能以嚴格的高標準幫助他們成功。 河： 是的。 金： 我努力讓他們看到, 不只是數學本身, 數學的職業本身也很美好。 你知道美國最佳職業排名嗎？數學通常名列前茅。 我試著透過自己的經驗向他們明示, 為什麼這是一份美好的職業。 我們有很大的自由去選擇研究主題。 我們在世界各地有很多朋友；我們到處旅行, 和他們交流, 一起工作。 這是一種美好的生活。 我努力讓他們看見這一面。 對社會上大多數的人來說, 他們根本不了解數學家的生活。 他們對數學家的印象來自電影、 小說, 但這些電影、 小說都經過了戲劇化處理, 並不代表我們大多數同事的真實生活。 Stan Osher 總是說, 沒有比當數學家更好的職業了。 這就是我努力向他們展現的。 至於其他方面, 他們自然而然地就明白了, 因為他們本來就是中國頂尖學校的優秀學生。 劉： 你用了兩個字： 美、 有趣。 不幸的是, 這可能不是一般大眾對數學的看法。 金： 這就像古典音樂, 對吧？我的意思是, 如果你去聽交響樂, 很多人會說： 喔, 很無聊, 我會睡著。 但一旦你真正理解它, 你會發現它非常美妙。 一旦你克服了某些障礙, 你就會欣賞它。 劉： 你不會逼學生吧？ 金： 不, 我給他們很多自由。 劉： 我認為這是必要的。 金： 如果我「逼」他們, 就是逼他們努力工作。 他們必須定期來我辦公室, 我會問問題, 有時在小組研討會上可能會刁難他們。 雖然他們有選擇自己工作方向的自由, 但我對他們的要求很高, 因為我覺得這對他們的未來有好處。 劉： 你培養了多少名博士生？ 金： 目前大概有 30 個左右。 人數不算多, 但他們大多在學術界非常成功。 大概四分之三在學術界。 許多在美國頂尖大學任教, 例如加州大學洛杉磯分校、 威斯康辛大學、 明尼蘇達大學、 華盛頓大學西雅圖分校、 杜克大學、 加州大學 Santa Barbara 分校、 賓州州立大學, 還有一些在中國頂尖大學任教。 他們中的許多人都獲得 Peter Lax 獎、 Sloan 研究獎和 CAREER 獎等獎項。 劉： 目前在中國有博士生？ 金： 我現在有 8 名博士生和5名博士後。 由於我事務繁忙, 年輕同事們幫了我很多忙來指導他們。 過去 15 年裡, 我們研究所一直在招募非常優秀的年輕人才。 研究所的跨學科研究非常廣泛, 不僅限於應用數學, 還包括量子物理、 等離子體科學、 神經科學、 軟物質、 機器學習和資料科學以及人工智慧等。 我在研究所的這種跨學科環境中獲益良多。 劉： 某種程度上, 你在督導這個研究實驗室, 可以這麼說嗎？ 金： 我領導的自然科學研究所是一個規模較小的、 以應用數學和物理為基礎的跨領域研究機構, 大約有 30 名成員。 我們採用同儕審查制度來評估和晉升成員。 我們是學校裡最早採用國際同儕審查招募和晉升制度的機構之一。 劉： 你有目標, 比如量子之類的, 對吧？ 金： 我最近才開始接觸量子計算, 而且是機緣湊巧的。 幾年前, 我一直在研究相互作用粒子系統的隨機批次方法, 這個問題我思考了很久, 承烈來麥迪遜拜訪我的時候, 我們還聊過這個。 河： 是的。 金： 我之前一直在做漸近保守方法 (AP), 從Boltzmann方程到流體力學, 從薛丁格方程到牛頓方程, 但始終無法填補牛頓方程到 Boltzmann 方程之間的空白。 這個問題困擾了我十多年, 直到我聽說了機器學習中的隨機梯度下降法, 這啟發了我研究隨機批次方法。 於是我開始和李磊、 劉建國一起研究這個方法。 這並非事先計劃好的。 就像這次的量子計算研究一樣, 也始料未及。 我在研討會上遇到了劉悅納, 純屬巧合, 後來我聘用了她, 然後我們開始在這個方向上合作。 劉： 自然就發生了。 金： 另一個原因是, 我身邊有很多優秀的年輕人, 他們來自數學、 物理、 機器學習和人工智慧等各個領域。 學校給了我們足夠的自由, 讓我們能夠聘請優秀的人才, 且允許他們在我們喜歡且認為重要的領域進行研究。 我們也鼓勵大家進行跨領域研究, 並在其他領域發表論文, 而不一定要發表在傳統的數學和物理期刊上, 這樣他們的研究成果就能與這些領域產生關聯。 在傳統的數學系很難做到這點。 我們可以聘請非數學專業的人才。 我們甚至還有實驗科學家。 我的同事洪亮 51 51 洪亮 (Liang Hong), 上海交通大學物理與天文學院及自然科學研究院特聘教授, 專攻生物物理、 高分子動力學及 AI 生物醫藥。 他致力於利用大模型技術進行蛋白質的「定向進化」與藥物分子設計。 在 AI 領域非常成功。 他創辦了一家專注於蛋白質設計的 AI 新創公司, 現在發展非常順利。 我們擁有各種各樣的人才。 我認為這對應用數學來說是一個絕佳的環境。 河： 所以, 貴所作為應用數學研究所, 在中國有著獨特的地位。 金： 我認為它被認為是一所實力非常強的應用數學研究所, 尤其是在應用數學的跨學科性方面, 擁有許多優秀的人才。 劉： 我想這些年來, 你累積了信譽, 所以他們才為你提供便利。 金： 學校給予我們非常大力的支持, 我們有相應的機制來鼓勵以興趣為導向的基礎研究和產業應用。 劉： 這是基於你過去出色的人才招攬。 金： 是啊, 你只需要把優秀的年輕人聚集起來, 讓他們互動交流, 好事就會發生。 劉： 只有像你這樣個性非常獨特的人, 才能改變這種非常非線性的道路。 我認識的一些其他人則比較傳統。 事實上, 你或許在 19 世紀也算是比較傳統的, 對吧？因為在那個年代, 知識分子本來就應該是這樣的, 對吧？ 金： 嗯, 我比較喜歡古典的東西。 在這個 AI 改變一切的時代, 我一直鼓勵年輕人學習一些具有長遠價值的知識, 這些知識不僅對當下有用, 對未來幾十年也同樣適用。 對於我的學生, 我總是建議他們學習物理系的量子力學和統計物理學。 他們應該了解那些由人類最傑出的心智所創造的偉大文明。 劉： 的確, 古典的東西之所以存在這麼久是有其道理的。 現在有人說 AI 會取代數學, 但這是一種非常狹隘的觀點。 數學家的職責是讓社會變得「數學化」, 讓人們能夠清晰地推理, 能夠判斷事物的大小和形狀, 對吧？ 這就是我們的工作。 金： 沒錯。 在交響樂團裡, AI 可以演奏多種樂器, 但我們才是指揮。 你要選擇演奏什麼好音樂, 以及如何演奏。 劉： 那麼在這方面, 如何培養下一代, 讓他們像你所說的那樣, 既快樂又有智慧等等呢？ 數學家需要理清我們的重點。 金： 我們必須這樣做。 很多事情都會改變, 例如, 我們教導學生的方式。 我不知道未來會是什麼樣子, 但有一點可以肯定, 我們需要利用 AI 來進行教學和研究。 河： 如今, 沒人做筆記, 沒人帶書, 只帶筆記型電腦。 而且他們交作業的時候, 很可能是 AI 代勞的。 金： 我們以前做過的很多事情, 以後都將不同於既往, 所以我真的很困惑。 AI 正以驚人的速度解決複雜的數學問題。 我們必須應對這種情況。 河： 是的。 劉： 或許我們就此打住, 將很多事留給未來。 本文訪問者劉太平任職於中央研究院數學研究所、 河承烈任教首爾國立大學數理科學部 |
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2026年9月 50卷3期
有朋自遠方來——專訪金石教授